確界原理的證明

1、§2 數(shù)集. 確界原理(一) 教學(xué)內(nèi)容：實(shí)數(shù)的區(qū)間與鄰域；集合的上、下界，上確界和下確界；確界原理難 點(diǎn)： 上、下確界定義的理解、數(shù)集確界的證明二) 教學(xué)目的：1）正確使用區(qū)間和鄰域概念，掌握集合的有界性的證明；2）初步理解上下確界的定義及確界原理的實(shí)質(zhì)。（三）基本要求：1）掌握實(shí)數(shù)的區(qū)間與鄰域概念；分清最大值與上確界的聯(lián)系與區(qū)別；結(jié)合具體集合，能指出其確界；2）能用定義證明集合的上確界為即：有，且 使得 (三) 教學(xué)建議：(1) 此節(jié)重點(diǎn)是確界概念和確界原理不可強(qiáng)行要求一步到位，對(duì)多數(shù)學(xué)生可只布置證明具體集合的確界的習(xí)題(2) 此節(jié)難點(diǎn)亦是確界概念和確界原理對(duì)較好學(xué)生可布置證明抽象

2、集合的確界的習(xí)題一 區(qū)間與鄰域: 區(qū)間鄰 域設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，稱點(diǎn)集 為點(diǎn) 的鄰域，記作 稱點(diǎn)集 為點(diǎn) 的去心鄰域記作的右鄰域 的右空心鄰域 的左鄰域 的左空心鄰域 鄰域 鄰域 鄰域 二 有界數(shù)集 . 確界原理:1. 有界數(shù)集: 定義(上、下有界, 有界) 設(shè) S為實(shí)數(shù)R上的一個(gè)數(shù)集，若存在一個(gè)數(shù)M（ L）, 使得對(duì)一切 都有 ，則稱S為有上界(下界)的數(shù)集。若集合S既有上界又有下界，則稱S為有界集。例如，區(qū)間 、為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 也是有界數(shù)集. 無界數(shù)集: 若對(duì)任意，存在 ，則稱S為無界集。 例如，有理數(shù)集等都是無界數(shù)集, 例1 證明集合 是無界數(shù)集.證明：對(duì)任意, 存

3、在 由無界集定義，E為無界集。MM+1確界，先給出確界的直觀定義：若數(shù)集S有上界，則顯然它有無窮多個(gè)上界，其中最小的一個(gè)上界我們稱它為數(shù)集S的上確界，記作 ；MM2M1上確界上界同樣，有下界數(shù)集有無窮多個(gè)下界，稱最大下界為該數(shù)集的下確界，記作 。 m2mm1下確界下界精確定義定義2 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足以下兩條：（1） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集S 的上界；（2） 對(duì)任意，存在 使得（即是S的最小上界），則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作 S定義3 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集，若數(shù) 滿足以下兩條：（3） 對(duì)一切 有 ，即 是數(shù)集S 的下界；（4） 對(duì)任意，存在 使得（即是S的最大下界），S則稱數(shù)

4、為數(shù)集S的下確界。記作 例2 （1） 則 （2） 則注1 由確界定義，若數(shù)集S的上（下）確界存在，則一定是唯一的，且 注2 由上面例子可知，數(shù)集S的確界可以屬于S，也可以不屬于S。例3 設(shè)數(shù)集S有上確界，證明 證明 （略）定理1.1 (確界原理). 設(shè) S 為非空數(shù)集，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。證明 不妨設(shè) S包含非負(fù)數(shù)，S有上界 存在自然數(shù) ，使得1）； 2）存在在 內(nèi)作10等分，分點(diǎn)分別為： 存在自然數(shù) 使得 1） 2）存在 1） 2）存在 按上述辦法無限作下去，得到實(shí)數(shù) ，可以驗(yàn)證。例4 設(shè)和是非空數(shù)集. 若對(duì)和都有 則有 證 和都有 是的上界, 而 是的最小上界 此式又是的下界, （B的最大下界）例5 和為非空數(shù)集, 試證明: 證 有 或 由 和 分