勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一

2、定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和

3、題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過程中易犯的主要錯(cuò)誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)加深

4、對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡(jiǎn)得證6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中

5、，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長(zhǎng)已知，求的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理解：題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.

6、例題2 如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.解析：同例題1一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2. 由題意可知ACD中,ACD=90,在RtACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2 設(shè)水深A(yù)C= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊

7、上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由可以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=2

8、5a2在DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90.注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題4 如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過程如下：解：根據(jù)題意得RtADERtAEFAFE=90, AF=10cm, EF=DE設(shè)CE=xcm，則DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102

9、，BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5 如圖5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來驗(yàn)證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在

10、AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？)，連結(jié)MN，測(cè)量MN的長(zhǎng)度。如果MN=15,則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；如果MN=a15,則92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問題例題6 有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，

11、BCMN,BCAN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長(zhǎng)。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長(zhǎng).分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.變式2、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的點(diǎn)，且EAF=45

12、，試探究間的關(guān)系，并說明理由. 題型七：關(guān)于翻折問題例1、 如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，