八上培優(yōu)5 半角模型

1、八上培優(yōu)5 半角模型 方法 ：截長補短圖形中，往往出現(xiàn)90°套45°的情況，或者120°套60°的情況。還有套的情況。求證的結論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補短構造全等三角形。旋轉移位造全等，翻折分割構全等。截長法，補短法。勤學早和新觀察均有專題。勤學早在第49頁，新觀察在第34頁，新觀察培優(yōu)也有涉及，在第27頁2兩個例題，29頁有習題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過程一般要證明兩次全等。下面是新觀察第34頁14題1.如圖，四邊形ABCD中，A=C=90，D=60，AB=BC，E、F，分別在AD、CD上，且EBF=60求證：EF=

2、AE+CF2.如圖2，在上題中，若E、F分別在AD、DC的延長線上，其余條件不變，求證：AE=EF+CF3.如圖 ，A=B=90°, CA=CB=4, ACB=120°，ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五邊形ABCDE的面積.4如圖1在四邊形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分別是邊BC、CD上的點，且BAD=2EAF（1）求證：EF=BE+DF；（2）在（1）問中，若將AEF繞點A逆時針旋轉，當點E、F分別運動到BC、CD延長線上時，如圖2所示，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關系3.如圖3，在四邊形ABDC中，B+C=180°，D

3、B=DC，BDC=120°，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，并加以證明勤學早第40頁試題1.（1）如圖，已知AB= AC, BAC=90°，  MAN=45°, 過點C作NC AC交AN于點N，過點B作BM 垂直AB交AM于點M，當MAN在BAC內部時，求證：BM+CN =MN; 證明: 延長MB到點G，使BG=CN,連接AG，證ABGACN(SAS),AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BA

4、M=CAN+ BAM=45°= LMAN,證AMNAMG(SAS), 'MN= MG= BM + BG= BM十NC.證明二：(此證明方法見新觀察培優(yōu)第27頁例3)(2)如圖,在(1)的條件下，當AM和AN在AB兩側時，(1)的結論是否成立?請說明理由.解:不成立，結論是:MN=CN一BM,證明略.基本模型二 120°套 60°2. 如圖，ABC中,CA=CB,ACB=120°,E為AB上一點，DCE=60°,DAE= 120°，求證:DE=BE證明:(補短法)延長EB至點F,使BF=AD,連接CF,則CBFCAD，CEDCE

5、F,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如圖,ABC中,CA=CB,ACB=120°，點E為AB上一點，DCE=DAE= 60°，求證:AD+DE= BE.證明:(截長法)在BE上截取BF=AD,連接CF，易證CBFCAD，CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：新觀察培優(yōu)版27頁 例4如 圖，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角，BDC= 120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于M、N, 連結MN, 試求AMN的周長. 分析:由于MDN=60°,BDC=120

6、76;，所以BDM十CDN=60°，注意到DB=DC，考慮運用“旋轉法”將BDM和CDN移到一起，尋找全等三角形。另一方面,AMN的周長AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,證三角形全等解決.新觀察培優(yōu)68頁 例5 如圖， 點A、B(2,0)在x軸上原點兩側, C在y軸正半軸上, OC平分ACB.(1)求A點坐標;(2)如圖1, AQ在CAB內部，P是AQ上一點， 滿足ACB=AQB, AP=BQ. 試判斷CPQ的形狀，并予以證明;(3)如圖2. BDBC交y軸負半軸于D. BDO=60°, F為線段AC上一動點，E在CB延長線

7、上，滿足CFD+E=180°. 當F在AC上移動時，結論: CE+CF值不變; CE- CF 值不變，其中只有一個正確結論，請選出正確結論并求其值.分析:(1)由A0CBOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由ACPBCQ得CP=CQ.(3)由BDBC,BDO=60°，可證得等邊ABC.由角平分線和DB_BC的條件,運用對稱性知DA AC, 連結DA, 加上條件CFD+E=180°，可證得ADFBDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2°套°4.(1)如圖1，在四邊形ABCD中， AB=AD,B+D=180&#

8、176;, E,F分別是BC,CD上的點，且EAF= BAD, 求證:EF= BE+ DF;(2)如圖2,在(1)的條件下,若將AEF繞點A逆時針旋轉，當點E,F分別運動到BC,CD延長線上時，則EF,BE,DF之間的數(shù)量關系是EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF, 延長FD到點G，使DG=BE,連接AG,證ABEADG (SAS), .AE = AG,BAE=DAG，EAF=BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF, 'EAF= GAF,證AEFGAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)

9、EF=BE DF.外地試題：4探究：如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45°，連結EF，求證：EF=BE+DF應用：如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，AB=AD，B+D=90°，EAF=BAD，若EF=3，BE=2，則DF= 5通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的下面是一個案例，請補充完整原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45°，連接EF，求證：EF=BE+DF（1）思路梳理AB=AD，把ABE繞點A逆時針旋轉90°至ADG，可使AB與AD重合ADG=

10、B=90°，F(xiàn)DG=ADG+ADC=180°，則點F、D、G共線根據 SAS，易證AFG AFE，從而得EF=BE+DF；（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，EAF=45°若B、D都不是直角，但當B與D滿足等量關系 B+D=180°時，仍有EF=BE+DF，請給出證明；（3）聯(lián)想拓展如圖3，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且DAE=45°，猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程7（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD

11、，B=D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且AE=AF，EAF=BAD現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：延長EB至G，使BG=BE，連接AG；延長FD至G，使DG=BE，連接AG；過點A作AGEF，垂足為G；選擇其中一種方法添加輔助線，求證：EF=BE+FD；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，若B+D=180°，EAF=BAD，證明（1）中結論是否還成立？（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且EAF=BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關

12、系，并證明8（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，B=D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD求證：EF=BE+FD（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關系，并證明（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且EAF=BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它

13、們之間的數(shù)量關系，并證明半角模型問題放到平面直角坐標系中是什么樣子？1如圖1，在平面直角坐標系中，AOB為等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B點坐標；（2）如圖2，若C為x正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角ACD，ACD=90°，連接OD，求AOD的度數(shù)；（3）如圖3，過點A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰RtEGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請說明；若不成立，說明理由解：（1）如圖所示，作AEOB于E，A（4，4），OE=4，AOB為等腰直角三角形，且AEOB，OE=EB=

14、4，OB=8，B（8，0）；（2）如圖所示，作AEOB于E，DFOB于F， ACD為等腰直角三角形，AC=DC，ACD=90°即ACF+DCF=90°，F(xiàn)DC+DCF=90°，ACF=FDC，又DFC=AEC=90°，DFCCEA（AAS），EC=DF=4，F(xiàn)C=AE，A（4，4），AE=OE=4，F(xiàn)C=OE，即OF+EF=CE+EF，OF=CE，OF=DF，DOF=45°，AOB為等腰直角三角形，AOB=45°，AOD=AOB+DOF=90°；（3）AM=FM+OF成立，理由：如圖所示，在AM上截取AN=OF，連ENA（4

15、，4），AE=OE=4，又EAN=EOF=90°，AN=OF，EANEOF（SAS），OEF=AEN，EF=EN，又EGH為等腰直角三角形，GEH=45°，即OEF+OEM=45°，AEN+OEM=45°又AEO=90°，NEM=45°=FEM，又EM=EM，NEMFEM（SAS），MN=MF，AM-MF=AM-MN=AN，AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定、等腰三角形的性質和坐標與圖形性質的綜合應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型2如圖，直線

16、L交x軸、y軸分別于A、B兩點，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0（1）求A、B兩點坐標；（2）C為線段AB上一點，C點的橫坐標是3，P是y軸正半軸上一點，且滿足OCP=45°，求P點坐標；（3）在（2）的條件下，過B作BDOC，交OC、OA分別于F、D兩點，E為OA上一點，且CEA=BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關系，并說明理由（1）解：（a-b）2+|b-4|=0，a-b=0，b-4=0，a=4，b=4，A（4，0），B（0，4）；（2）3如圖，已知A（a，b），ABy軸于B，且滿足|a-2|+（b-2）2=0，（1）求A點坐標；（2）如圖1，分別以AB

17、，AO為邊作等邊三角形ABC和AOD，試判定線段AC和DC的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（3）如圖2，過A作AEx軸于E，點F、G分別為線段OE、AE上兩個動點，滿足FBG=45°，試探究的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，請說明理由2017-2018江漢期中 如圖點P為ABC的外角BCD的平分線上一點，PA=PB（1）求證：PAC=PBC；（2）作PEBC于E，若AC=5，BC=11，求SPCE：SPBE；（3）若M、N分別是邊AC、BC上的點，且MPN=APB，則線段AM、MN、BN之間有何數(shù)量關系，并說明理由解：（1）如圖1，過點P作PEBC于E，PFAC于F，P

18、C平分DCB，PE=PF，在RtPAF和RtPEB中，PFPEPAPB，RtPAFRtPEB，PAC=PBC，（2）如圖2，過點P作PFAC于F，PEBC，CP是BCD的平分線，PE=PF，PCF=PCE，PC=PC，PCFPCE，CF=CE，由（1）知，RtPAFRtPEB，AF=BE，AF=AC+CF，BE=BC-CE，AC+CF=BC-CE，5+CF=11-CE，CE=CF=3，PFCPEC，SPFC=SPEC，RtPAFRtPEB，SPAF=SPEB，SPCE：SPBE=SPFC：SPFA=CF×PF：AC×PF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如圖3，在

19、BC上截取BQ=AM，在PMA和PQB中， PMAPQB，PM=PQ，MPA=QPB，APM+QPA=APQ+QPB，即：APB=MPQ，MPN=APB，MPN=MPQ，MPN=QPN，在MPN和QPC中，MPNQPC，MN=QN，BN=AM+MN【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，角平分線定理和角平分線的定義，解（1）的關鍵是判斷出PE=PF，解（2）的關鍵是求出CE=CF=3，解（3）的關鍵是構造全等三角形判斷出APB=MPQ，是一道中等難度的中考?？碱}2015-2016江岸八上期末 已知在ABC中，AB=AC，射線BM、BN在ABC內部，分別交線段AC于點G、H

20、（1）如圖1，若ABC=60°、MBN=30°，作AEBN于點D，分別交BC、BM于點E、F求證：CE=AG；若BF=2AF，連接CF，求CFE的度數(shù)；（2）如圖2，點E為BC上一點，AE交BM于點F，連接CF，若BFE=BAC=2CFE，直接寫出= 【分析】（1）由AB=AC，ABC=60°得到ABC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到BAC=ACB=60°，AB=CA，求得BFD=AFG=60°，推出EAC=GBA證得GBAEAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；如圖1，取BF的中點K連接AK，由BF=2AF，推出FAK是等腰三角形，根據等腰三角形的性質得到FAK=FKA，求得AKFBFD30°，根據全等三角形的性質得到AG=CE，BG=AE，AGB=AEC，推出GAKEFC，根據全等三角形的性質得到CFE=AKF即可得到結論；（2）如圖2，在BF上取BK=AF，連接AK，推出EAC=FBA，根據全等三角形的性質得