定積分及其應(yīng)用3

1、第七章 定積分（30課時）教學(xué)目的與要求1 知道定積分的客觀背景: 曲邊梯形的面積和物體運動的路程以及解決這些實際問題的思想方法， 深刻理解定積分的意義;2 掌握小和與大和的概念及其性質(zhì);3 理解可積準則的分析意義及幾何意義;4 會應(yīng)用可積準則證明三類函數(shù)的可積性, 能獨立證明可積性問題;記住定積分的性質(zhì)并掌握每個性質(zhì)的證明方法； 5 掌握應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關(guān)問題6 深刻理解微積分基本定理的意義，并具有應(yīng)用積分基本定理證明有關(guān)的定積分的能力；7 熟練地應(yīng)用NewtonLeibniz公式，定積分的分部積分公式和換元公式計算定積分；8熟練應(yīng)用本節(jié)給出的公式，計算平面區(qū)域的面積、平面曲線

2、的弧長、用截面面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體體積及它的側(cè)面積；9 掌握曲率及曲率半徑的計算方法，會求曲率圓方程。教學(xué)重點與難點重點： 1定積分的性質(zhì)，微積分基本定理；2定積分的分部積分公式和換元公式計算定積分；3計算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長、用截面面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體體積及它的側(cè)面積。難點：1小和與大和的概念及其性質(zhì);2可積準則的分析意義及幾何意義;3 應(yīng)用積分基本定理證明有關(guān)的定積分的能力。 第一節(jié) 定積分的概念與可積條件教學(xué)目的：1. 知道定積分的客觀背景: 曲邊梯形的面積和物體運動的路程以及解決這些實際問題的思想方法;2. 深刻理解定積分的意義;3. 掌握小和與大和的概念及其性質(zhì);4. 理解

3、可積準則的分析意義及幾何意義;5. 會應(yīng)用可積準則證明三類函數(shù)的可積性, 能獨立證明可積性問題;教學(xué)過程1 定積分的背景例1. 求曲邊梯形的面積及非勻速直線運動的物體在一段時間內(nèi)的位移.2 定積分的定義（P275276） ，. f(x)在a,b上的定積分是為了運算的需要，規(guī)定：a=b時 3 Darboux 和性質(zhì)1對a, b的一個分法T，增加某些新分點構(gòu)成a, b的一個新分法T，有證明：只增加一個新分點，區(qū)間分成，上的最小值記為， 上的最小值記為，則，從而此即性質(zhì)2對任意分法，有證明：合成，由性質(zhì)1，可得性質(zhì)3：從性質(zhì)3，可以直觀地看出，當時，函數(shù)可積。因為4 Riemann可積的充要條件定理

4、1（可積準則）f(x)在a, b上可積當且僅當證明：必要性得到，或充分性（略）定義振幅定理1（可積準則）f(x) 在a, b上可積當且僅當5 三類可積函數(shù)定理2閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可積。定理3f(x)在a, b上單調(diào)，則f(x)在a, b上可積。證明：不妨設(shè)f(x)在a, b上單調(diào)增加，對a, b的任意分法T，函數(shù)f(x)在小區(qū)間上的下確界mk與上確界Mk分別是則，對a, b的任意分法T，當時，即時，有根據(jù)可積準則的充分性，單調(diào)函數(shù)f(x)在a,b上可積定理4.f (x)在閉區(qū)間a,b上有界，且存在有限個不連續(xù)點，則f (x)在a,b上可積證明：不妨設(shè)是一個不連續(xù)點，其余都為連續(xù)點w=M-m,

5、M,m分別為f (x)在a,b上的最大最小值去掉小區(qū)間后，f (x)在，上連續(xù)，從而一致連續(xù)，時 同樣時 取當時，（）當時（）同樣滿足對a,b的一個分劃T只要L(T)將區(qū)間分成兩類：（I）全部落在或中 （II）至少有一點落在中其余見教材P283284作業(yè)：P285 5 、6、7、9 第二節(jié) 定積分的基本性質(zhì)教學(xué)目的：1、記住定積分的性質(zhì)并掌握每個性質(zhì)的證明方法； 2、掌握應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關(guān)問題教學(xué)過程1 定積分的性質(zhì)由定積分的幾何意義得1.1 在a,b上，f (x)c（const）則f (x)c在a,b上可積，且證明：f (x)c在a,b上的積分和c=c(b-a)則c(b-a)即

6、1.2 (線性性) ,在a,b上可積，則在a,b上也可積，且證明：+在a,b上的積分和+ =+即 推論1 f(x)在a,b上可積，則c f(x)在a,b上也可積，且c證明：推論2 n個函數(shù)都在區(qū)間a,b上可積，則它們的線性組合. 在a,b上也可積1.3 區(qū)間的可積性 (1) f (x)在a,b上可積 ，則f (x)在,a,b上可積(2) f (x)在a, c與c,b上可積，則f (x)在a,b上可積推論3若f (x)在A,B上可積，且a,b,c 是A,B上任意三點則推論4若f (x)在區(qū)間(k=1,2,n)上都可積，則f (x)在上可積，且1.4 (保序性) f (x), g (x)ka,b,

7、xa,b有f (x)g (x)，則思考題：P293 第4題。(保號性) f(x)ka,b,xa,b有f (x)0(f (x) 0), 則().證明：因為由f (x)在a,b上可積與極限的保號性可得證。1.5 (絕對可積性) f (x)ka,b ka,b且。推論5設(shè)f (x)ka,b, f (x)k (const)，則2 積分第一中值定理設(shè)和都在上可積, 在上不變號, 則存在, 使得 .這里和分別表示在上的上確界和下確界.特別地有：（1）設(shè)f (x)Ca,b，則ca,b使f (c)(b-a)證明：已知f(x)Ca,b，則f (x)在a,b上必取到最大最小值，mf (x)M , axb，有m(b-

8、a) M(b-a)， 即m，由介值定理，得到在a, b內(nèi)至少一c, 使f (c)= （axb）即f(c)(b-a)幾何意義圖7.1圖7.1（2） f (x),g (x)Ca, b. g (x)在a, b上不變號，則ca, b使 f (c) 證明：不妨設(shè)g (x)0 ， 所以 mM若；若。思考題：P293 第2題。閱讀教材P291293。作業(yè)：P293 P293294 5、6、7、9、10 第三節(jié) 微積分基本定理 教學(xué)目的：1、深刻理解微積分基本定理的意義，并具有應(yīng)用積分基本定理證明有關(guān)的定積分的能力；2、熟練地應(yīng)用NewtonLeibniz公式，定積分的分部積分公式和換元公式計算定積分。教學(xué)過

9、程1 微積分的基本定理：NewtonLeibniz公式1.1 積分上限函數(shù)定義、性質(zhì)、應(yīng)用P2962981.2 微積分的基本定理：NewtonLeibniz公式P298299注意定理的條件, 見教材P307例2 定積分的計算2.1定積分的分部積分 2.2 定積分的換元積分法2.3 利用定積分的奇偶性和周期性計算閱讀教材:P300-306, P308-309例1 求下列定積分(1) (2) (3) 例2 見教材P311 第9、10題例3 見教材P312 第12題例4 見教材P313 第20、23題作業(yè)：P312313 13、14、15、16、22、24 第四節(jié) 定積分在幾何中的應(yīng)用 教學(xué)目的1

10、熟練應(yīng)用本節(jié)給出的公式，計算平面區(qū)域的面積；平面曲線的弧長；用截面2 面積計算體積、旋轉(zhuǎn)體體積及它的側(cè)面積。教學(xué)過程1 求平面圖形的面積1.1 直角坐標系下平面圖形的面積 ：（1）簡單圖形： 型和型平面圖形 . 給出型和型平面圖形的面積公式. 對由曲線和圍成的所謂“兩線型”圖形, 介紹面積計算步驟. 注意利用圖形的幾何特征簡化計算. 例1 求由曲線 圍成的平面圖形的面積.例2 求由拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積.1.2 參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式： 設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程給出 . 又設(shè), 就有, 于是存在反函數(shù) . 由此得曲邊的顯式方程 , 即 .例3求橢圓x=a cost, y

11、=b sint 的面積。 解： S= =ab = =(x-sin2x) = a b例4、旋輪線：x=a(t-sint) , y=a(1-cost) (a )一拱與x軸圍成的區(qū)域的面積解：S=3具體計算時常利用圖形的幾何特征 .例5 由擺線 的一拱與軸所圍平面圖形的面積. 1.3 極坐標下平面圖形的面積 : 推導(dǎo)由曲線 和射線 所圍“曲邊扇形”的面積公式 . (簡介微元法 ，并用微元法推導(dǎo)公式 . 半徑為, 頂角為的扇形面積為 . ) 。 . 例6 求由雙紐線 所圍平面圖形的面積 .解 或. ( 可見圖形夾在過極點, 傾角為的兩條直線之間 ) . 以代 方程不變, 圖形關(guān)于軸對稱 ; 以代, 方

12、程不變, 圖形關(guān)于軸對稱 . 因此 .例7三葉玫瑰線:解 =2 平面曲線的弧長2.1 弧長的定義定義曲線弧長的基本思想是局部以直代曲 , 即用折線總長的極限定義弧長 .可求長曲線 .2.2 弧長計算公式 光滑曲線的弧長. 設(shè) ， 又，和在區(qū)間 上連續(xù)可導(dǎo)且. 則上以和為端點的弧段的弧長為 .為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對,有 , 其幾何意義是: 在以點和為頂點的三角形中,兩邊之差不超過第三邊 . 事實上， .為證求弧長公式, 在折線總長表達式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對式插項進行估計 . 如果曲線方程為極坐標形式 連續(xù)可導(dǎo), 則可寫出其參數(shù)方程 . 于是 .2.2.

13、1 直角坐標系下的情形 定義：若當時，L（T）=LMN可求長，其長為L f (x)在區(qū)間a , b上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在a,b上的曲線可求長，且弧長L= （1）（1）式是弧長公式。證明： = =, L= 例8 f (x)=在0,a上的弧長解： = =例9 求曲線的全長 解：由已知有：， ，所以 從而由公式（1） 曲線的全長為：令= ，則dx=2tdt ， 當x=0時，t=0；當x=1時，t=1所以= =1+ 參數(shù)方程參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則例 10 求半徑為r的圓的周長解：*例 11 星形線的全長 極坐標 表示在上連續(xù) 例12 求心臟線的全長 解：3 求某些特殊形狀的幾何體的體積3.1 已知冪

14、勢立體的體積 設(shè)立體之冪為. 推導(dǎo)出該立體之體積 .祖暅原理: 夫冪勢即同 , 則積不容異 . ( 祖暅系祖沖之之子 , 齊梁時人 , 大約在五世紀下半葉到六世紀初 )例13求由兩個圓柱面 和 所圍立體體積 . ( )例14 計算由橢球面 所圍立體 (橢球 )的體積 . ( )3.2 旋轉(zhuǎn)體的體積: 定義旋轉(zhuǎn)體并推導(dǎo)出體積公式. .例15 推導(dǎo)高為, 底面半徑為的正圓錐體體積公式.例16 求由曲線和所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積.例17 求由圓繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積. ( 1000 )例18 軸正半軸 . 繞軸旋轉(zhuǎn) . 求所得旋轉(zhuǎn)體體積.4求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 用微元法推出旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式 ：曲線方程為 時，；曲線方程為 時，.例19 求 例16、17中側(cè)面積。5 曲線的曲率：（閱讀教材P326329）作業(yè)：P331 8、11、12、13（5）（6）及體積、17（1）（3）、18 第五節(jié) 微積分實際