自動(dòng)控制原理根軌跡法

1、第四章 根軌跡法反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)確定。研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特性的影響，是分析系統(tǒng)和設(shè)計(jì)控制器的重要內(nèi)容。參數(shù)變化的作用，體現(xiàn)在對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的影響上。對(duì)于高階系統(tǒng)，用解析方法說明這種影響，很困難，且不易理解。圖解法是一種方便的近似方法。l、基本內(nèi)容和要點(diǎn)（l）根軌跡的基本概念 根軌跡的定義。以二階系統(tǒng)為例說明什么是根軌跡，怎樣從根軌跡分析閉環(huán)零、極點(diǎn)與系統(tǒng)的性能。（2）繪制根軌跡的基本規(guī)則 根軌跡的特點(diǎn)和性質(zhì)。繪制以系統(tǒng)開環(huán)增益K為變量的根軌跡的規(guī)則與方法。常見的幾種典型系統(tǒng)的根軌跡圖。（3）參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡的定義。多參變量根軌跡。多環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。（4）非最小相位系統(tǒng)的

2、根軌跡最小相位和非最小相位系統(tǒng)的定義和特點(diǎn)。非最小相位系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)和繪制規(guī)則。 （5）含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的根軌跡 有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的極軌跡特點(diǎn)及繪制規(guī)則。延遲環(huán)節(jié)的近似表達(dá)式及使用條件。 （6）基于根軌跡分析系統(tǒng)的響應(yīng) 根軌跡的形狀，零極點(diǎn)的位置與系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo)間的關(guān)系。幾種常見的典型系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布與其暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)。 2、重點(diǎn)（l）最小相位系統(tǒng)的以開環(huán)增益K為變量的根軌跡的特點(diǎn)及其繪制的規(guī)則和方法。（2）系統(tǒng)根軌跡的形狀，零、極點(diǎn)的分布與其時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo)的關(guān)系。 3、難點(diǎn) 對(duì)“根軌跡上所有的點(diǎn)只是可能的閉環(huán)極點(diǎn)”的理解以及非最小相位系統(tǒng)中含最高次冥項(xiàng)系數(shù)為負(fù)的因子時(shí)根軌跡的

3、繪制。4-1 根軌跡法的基本概念1 根軌跡概念根軌跡法：根據(jù)參數(shù)變化，研究系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)變化軌跡的一種圖解方法。即在參數(shù)變化時(shí)圖解特征方程。近似作圖；重要區(qū)域，如與虛軸的交點(diǎn)與實(shí)軸的交點(diǎn)等，根軌跡要準(zhǔn)確；依據(jù)根軌跡圖，可以確定合適的系統(tǒng)參數(shù)，為設(shè)計(jì)控制器提供依據(jù)。例圖4-1，研究系統(tǒng)的開環(huán)增益的變化， 對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的影響。開環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)傳遞函數(shù)，特征方程，根軌跡方程，。該例的解析分析為，。參見圖4-2。開環(huán)極點(diǎn)X，開環(huán)零點(diǎn)O；根軌跡上的箭頭表示參數(shù)增大的方向。2 根軌跡與系統(tǒng)性能以圖4-2為例，(1) 穩(wěn)定性： 根軌跡始終都處于S平面左半部，則無論參數(shù)取多大的值，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若在參數(shù)的某些取

4、值范圍，有根軌跡段(閉環(huán)極點(diǎn))處于S平面右半部，則閉環(huán)系統(tǒng)在該參數(shù)范圍不穩(wěn)定。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)出的參數(shù)值，為參數(shù)臨界值。(2) 穩(wěn)態(tài)性能：在研究開環(huán)增益對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)作用時(shí)，據(jù)在原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)就可以知道系統(tǒng)的誤差型別。(3) 動(dòng)態(tài)性能：從根軌跡上的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，能夠知道該振蕩模態(tài)的阻尼系數(shù)，對(duì)高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有粗略估計(jì)。3 根軌跡方程根軌跡方程實(shí)際上是便于應(yīng)用規(guī)則繪制根軌跡圖的標(biāo)準(zhǔn)形式的特征方程。例 已知負(fù)反饋開環(huán)傳遞函數(shù)：；根軌跡方程。變化參數(shù)；需要知道開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。例 已知負(fù)反饋開環(huán)傳遞函數(shù)：； 研究參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的作用。特征方程；根軌跡方程，。例已知負(fù)反饋開環(huán)傳遞函數(shù)：；

5、 研究參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的作用。特征方程；根軌跡方程，。根軌跡方程(180o)等式右邊為-1(0o,+1)；分母的階次大于等于分子的階次；變化的參數(shù)以規(guī)范形式出現(xiàn)在分子上。幅值條件：；相角條件：。復(fù)平面S上的一點(diǎn)處于根軌跡上，必須滿足根軌跡方程；幅值條件：幅值等于1，由于是變化的，幅值條件總能滿足；相角條件：相角應(yīng)等于180o(或0o)。繪制根軌跡時(shí)，依據(jù)的條件是相角條件。4 根軌跡法中常用術(shù)語(1) 根軌跡；(2) 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)；(起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處)(3) 根軌跡的分支數(shù)；(等于開環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，兩條根軌跡不相交)(4) 根軌跡的分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)。(閉環(huán)重極點(diǎn)，重和

6、點(diǎn)) 4-2 根軌跡繪制的基本規(guī)則(180O)遵循一些作圖規(guī)則，能夠方便地繪制近似的根軌跡圖形。根據(jù)系統(tǒng)的方框圖，列寫系統(tǒng)的特征方程，再根據(jù)變化的參數(shù)寫出規(guī)范的根軌跡方程。1. 繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則1：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)；根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處；證明見P141的式(4-11)及其變換形式。規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)對(duì)稱性和連續(xù)性；分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相等；根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；根軌跡是連續(xù)的。利用對(duì)稱性，只需認(rèn)真繪制(計(jì)算)一半根軌跡另一半對(duì)稱畫出。規(guī)則3：根軌跡的漸近線(與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角)；在開環(huán)極點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)時(shí)，有條漸近線，表示終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡分支所漸近的

7、直線。這些漸近線與實(shí)軸相交與同一點(diǎn)，與實(shí)軸的夾角滿足相角條件。簡要說明如下：對(duì)于S平面上無窮遠(yuǎn)處的閉環(huán)極點(diǎn)來說，系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)，近似重疊在一點(diǎn)，又考慮到極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)相角的作用相反，即等效于個(gè)開環(huán)極點(diǎn)重疊在一起，則有；，。注：只有在時(shí)，需要計(jì)算漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角。規(guī)則4：根軌跡在實(shí)軸上的分布；實(shí)軸上的一點(diǎn)在根軌跡上的充要條件是，該點(diǎn)右側(cè)實(shí)開環(huán)極點(diǎn)和實(shí)開環(huán)零點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)。規(guī)則5：根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)；交點(diǎn)為重極點(diǎn)，滿足方程 ，；例4-1 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，。* ，；* 兩條漸近線，；* 實(shí)軸上的根軌跡，；p1z1p2p3* 與實(shí)軸的交點(diǎn)，；(試探法計(jì)算實(shí)數(shù)交點(diǎn))例4-2負(fù)

8、反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，；* ，；1p1* 實(shí)軸上的根軌跡，；* 與實(shí)軸的交點(diǎn)，-1z1，；(舍去)-1p2注：具有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)的二階根軌跡方程，實(shí)軸外的根軌跡是圓周的一部分。規(guī)則6：根軌跡的起始角和終止角(開環(huán)極點(diǎn)的出射角和開環(huán)零點(diǎn)的入射角)由相角條件導(dǎo)出；Im2-21-1-3 -2 -1 0 Re記為 ；同理有 。例4-3負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為* ， ，；* 實(shí)軸上的根軌跡，；* 與實(shí)軸的交點(diǎn)， 方程無實(shí)根。，* 。規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；即虛軸上的點(diǎn)，滿足特征(根軌跡)方程。由實(shí)部和虛部方程解出交點(diǎn)和。例4-4 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為*，；*漸近線，；*實(shí)軸上的根軌跡，；*

9、與實(shí)軸交點(diǎn)，。* 起始角；* 與虛軸交點(diǎn)， Re: ；Im：；，；根軌跡圖見P151圖4-13。規(guī)則8：閉環(huán)極點(diǎn)之和，在的條件下，閉環(huán)極點(diǎn)之和與開環(huán)極點(diǎn)之和相等。即隨著增大，一部分極點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，另一部分極點(diǎn)向右移動(dòng)。2. 閉環(huán)極點(diǎn)的確定據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)與多項(xiàng)式零點(diǎn)的關(guān)系，在已知部分極點(diǎn)時(shí)，可以求出剩余極點(diǎn)。例4-5 繼例4-4，(1) 已知閉環(huán)極點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的，計(jì)算剩余的2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。；，；解得 (2) 已知閉環(huán)極點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的，計(jì)算剩余的2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。，；解得 (3) 試確定的閉環(huán)極點(diǎn)。特征方程；由，得知：該方程在和區(qū)間上各有一個(gè)接近的實(shí)根。試探法計(jì)算出實(shí)根，后，得 。四次代數(shù)方程有解析解，即有求解公

10、式。關(guān)于“圖4-15 開環(huán)零極點(diǎn)分布及相應(yīng)的180°根軌跡圖”：(1) 依據(jù)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布，列寫系統(tǒng)的根軌跡方程；(2) 未知參數(shù)以最短(或方便)的線段作為長度單位，記為1(或)；(3) 根據(jù)基本規(guī)則繪制概略根軌跡圖；(4) 千萬不要死記硬背。；。討論：開環(huán)極點(diǎn)分布在四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)上的根軌跡，四邊形的一條對(duì)角線在實(shí)軸上。(1) 正方形: ； 計(jì)算閉環(huán)重極點(diǎn)的方程 ，即閉環(huán)系統(tǒng)只在平面的處有4重極點(diǎn)，；，。(2) 長對(duì)角線與實(shí)軸垂直； ；，；，；即，當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為，；(2) 長對(duì)角線在實(shí)軸上； ；，；，；即，當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為，；4-3 廣

11、義根軌跡控制系統(tǒng)關(guān)于開環(huán)增益的根軌跡稱為基本的根軌跡，關(guān)于系統(tǒng)其他參數(shù)的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。繪制廣義根軌跡的方法是，列寫出規(guī)范的根軌跡方程，按規(guī)則繪圖。1 參數(shù)根軌跡例4-6 系統(tǒng)和的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為，；，；兩系統(tǒng)的根軌跡方程相同。根軌跡圖見P155的圖4-17。由特征多項(xiàng)式知，解得。性能比較為時(shí)域分析的內(nèi)容，見表4-2。例4-7 已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，其中 開環(huán)增益可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。根軌跡方程為，；特征方程 *，當(dāng)時(shí)，根軌跡方程有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算得，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即或時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，也有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)，但根軌跡與虛軸無交

12、點(diǎn)，無論或取任何正值閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；p1p2p3z1kxjz2當(dāng)時(shí)，根軌跡方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)零點(diǎn)，根軌跡與虛軸無交點(diǎn)，無論或取任何正值閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；取作關(guān)于的根軌跡；*，*實(shí)軸上，；*與實(shí)軸交點(diǎn)，；2 附加開環(huán)零點(diǎn)的作用附加零點(diǎn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能的作用體現(xiàn)在改變根軌跡的形狀和走向；適當(dāng)?shù)母郊恿泓c(diǎn)減少漸近線條數(shù)，能夠改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。附加零點(diǎn)位置的選擇應(yīng)兼顧穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。例 圖4-22；例 圖4-23。3 零度根軌跡非最小相位系統(tǒng)：有開環(huán)極點(diǎn)或開環(huán)零點(diǎn)位于S平面右半部的系統(tǒng)。零度根軌跡：根軌跡方程等號(hào)右邊為+1時(shí)，相角條件為0o，需要繪制零度根軌跡。零度根軌跡與180度根軌跡僅僅是相

13、角條件相差180o，繪制根軌跡的規(guī)則相似，僅與相角有關(guān)的規(guī)則不同(相差180o)，即修改規(guī)則3：根軌跡的漸近線夾角；。規(guī)則4：根軌跡在實(shí)軸上的分布；實(shí)軸上的一點(diǎn) 在根軌跡上的充要條件是，該點(diǎn)右側(cè)實(shí)開環(huán)極點(diǎn)和實(shí)開環(huán)零點(diǎn)的總數(shù)為偶數(shù)。規(guī)則6：根軌跡的起始角和終止角(開環(huán)極點(diǎn)的出射角和開環(huán)零點(diǎn)的入射角)；。例4-8 已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。*，；*漸近線，；(不需要計(jì)算交點(diǎn))；*實(shí)軸上根軌跡，；*與實(shí)軸的交點(diǎn)， ，；*起始角，；*與虛軸的交點(diǎn)，；Re：，Im：；解得，；根軌跡見圖4-25因，為保證該系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的開環(huán)增益應(yīng)為。例4-9 說明非最小相位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡可能是0度根軌跡。4-4 系統(tǒng)性能的分析高階系統(tǒng)的近似分析，應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。1 閉環(huán)零極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)距離虛軸較遠(yuǎn)的零極點(diǎn)的作用可以忽略；相對(duì)距離很