群的自同構(gòu)群

1、§8 群的自同構(gòu)群 給定一個(gè)群，可以有各種方式產(chǎn)生新的群。比如，給定群的任何一個(gè)正規(guī)子群，就可以產(chǎn)生一個(gè)商群，它就是一種新的群。本節(jié)要講的自同構(gòu)群也是一種產(chǎn)生新的群 的方法。1. 自同構(gòu)群的定義：定理1 設(shè)是一個(gè)有代數(shù)運(yùn)算的集合（不必是群），則的全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱為的自同構(gòu)群。證明 設(shè)是的任意兩個(gè)自同構(gòu)，則，有 ，即也是的一個(gè)自同構(gòu)。這表明，全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法封閉。 又因?yàn)橛?，故即也是的一個(gè)自同構(gòu)。群的定義的第3條成立。另外，變換的乘法顯然滿足結(jié)合律，且恒等變換就是單位元，群的定義的第1、2條也成立。所以，的全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群。注意：前面有的

2、全體雙射關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，記為，稱為的對(duì)稱群。定理1表明的自同構(gòu)群是的一個(gè)子群。推論1 群（在定理1中?。┑娜w自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群。這個(gè)群叫作群的自同構(gòu)群，記作。由上面，如果，則。例1 求Klein四元群 的自同構(gòu)群。 解 。由于是自同構(gòu)，必有（幺元變成幺元）。又由于是雙射，因此，其中 是的全排列。每個(gè)全排列不一定都是自同構(gòu)，但根據(jù)的運(yùn)算特點(diǎn)，可以驗(yàn)證這些全排列都是的自同構(gòu)。 例如，設(shè)，則可以驗(yàn)證它是的自同構(gòu): ,.由于的全排列共有6 個(gè)，與同構(gòu)，因此的全體自同構(gòu)也有6 個(gè)，。2.循環(huán)群的自同構(gòu)群 定理2 （1）無(wú)限循環(huán)群的自同構(gòu)群是一個(gè)2階循環(huán)群； （2）階循環(huán)群的自同構(gòu)

3、群是一個(gè)階的群，其中 是歐拉函數(shù)（即小于且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)）。證明 由于在同構(gòu)映射下，循環(huán)群的生成元與生成元相對(duì)應(yīng)，而生成元的對(duì)應(yīng)關(guān)系完全決定了群中其它元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，一個(gè)循環(huán)求有多少個(gè)生成元就有多少個(gè)自同構(gòu)。例如，設(shè)是由生成的循環(huán)群，則當(dāng)是小于且與互素的正整數(shù)時(shí)，也是的生成元，即。此時(shí)，令，則有，且時(shí)，即是的自同構(gòu)。由于無(wú)限循環(huán)群只有2個(gè)生成元，階循環(huán)群只有個(gè)生成元，所以其自同構(gòu)群分別為2階循環(huán)群和階的群。 例2 （1）求，4階循環(huán)群的自同構(gòu)群。解 ，兩個(gè)生成元為，從而，其中是恒等置換，。（2）求，5階循環(huán)群的自同構(gòu)群。 ，4個(gè)生成元為，從而，其中，是恒等置換， ，。推論2 無(wú)限循

4、環(huán)群的自同構(gòu)群與3階循環(huán)群的自同構(gòu)群同構(gòu)。證明 由定理2知，這兩種群的自同構(gòu)群都是2階群，2是素?cái)?shù)，所有2階群都彼此同構(gòu)，都與2次單位根群同構(gòu)。注意：定理2說(shuō)明一件事實(shí)，即不同的循環(huán)群其自同構(gòu)群可以相同。3. 內(nèi)自同構(gòu)群定理3 設(shè)是一個(gè)群，則（1）是的一個(gè)自同構(gòu)，稱為的內(nèi)自同構(gòu)；（2）的全體內(nèi)自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱為 的內(nèi)自同構(gòu)群，記為；（3）。證明 （1）易知是的一個(gè)雙射變換。又 ，所以是的一個(gè)自同構(gòu)。（2）設(shè)與是的任何兩個(gè)自同構(gòu)，則， ， 即有仍是一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)，此表明關(guān)于變換的乘法封閉。又易知，且是幺元，結(jié)合律顯然成立，所以關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群。（3），。令，即，則，由的任

5、意性有，所以。 注意：設(shè)，則有，即，亦即對(duì)的任何內(nèi)自同構(gòu)都保持不變；反之，若的一個(gè)子群有此性質(zhì)，則它必是的正規(guī)子群。這就是說(shuō)，的正規(guī)子群就是對(duì)的任何內(nèi)自同構(gòu)都保持不變的子群：。因此，也常稱正規(guī)子群為不變子群。群的中心： 稱為群的中心，即群的中心就是與的所有元素都可交換的元素組成的集合。 根據(jù)中心的定義，顯然有。定理4. 證明 利用同態(tài)基本定理。 令 ，顯然，這樣定義的是滿射。由定理3知，即 ，所以是滿同態(tài)。又 。由同態(tài)基本定理，有注意：定理4表明，要求的內(nèi)自同構(gòu)群，只需求出的中心，再作商群,即得，所以求一個(gè)群的內(nèi)自同構(gòu)群相對(duì)容易些。但是要求出一個(gè)群的自同構(gòu)群，一般來(lái)說(shuō)是非常困難的。這是因?yàn)?，?/p>

6、大多數(shù)情況下，一個(gè)群本身的性質(zhì)不能轉(zhuǎn)移到它的自同構(gòu)群上去。例如，由例1知，交換群的自同構(gòu)群可以是非交換群，；推論2表明，不同構(gòu)的群它們的自同構(gòu)群可以同構(gòu)。但是，有些群如素?cái)?shù)階循環(huán)群的自同構(gòu)群能夠完全確定。定理4. 設(shè)是由生成的階循環(huán)群，是素?cái)?shù)，則是階的群，且。 這里，乘法指模乘法。 證明 略。4。正規(guī)子群的推廣 前面有，正規(guī)子群就是對(duì)的所有內(nèi)自同構(gòu)都保持不變的子群，將這一概念推廣就得到：（1）特征子群：對(duì)群的所有自同構(gòu)都保持不變的子群叫做的一個(gè)特征子群，即都有。 例3，任何群的中心都是的特征子群。 證明 只需證明都有，亦即，都有。驗(yàn)證：， ， 所以，結(jié)論成立。 注意：顯然，特征子群一定是正規(guī)子

7、群；但反之不成立， 即正規(guī)子群不一定是特征子群。 例如，取，則（是交換群）。取，則前面例1已驗(yàn)證是的一個(gè)自同構(gòu)，對(duì)此自同構(gòu) ，所以不是特征子群。（2）全特征子群：設(shè)。如果對(duì)的所有自同態(tài)都保持不變，即對(duì)的每個(gè)自同態(tài)都有，則稱為 的一個(gè)全特征子群。 例4 證明：循環(huán)群的子群都是全特征子群。 證明 由于循環(huán)群的子群還是循環(huán)群，所以可設(shè)。例是任何自同態(tài)，則存在，使得 。于是，有，所以是的一個(gè)全特征子群。 注意：顯然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成立，即特征子群不一定是全特征子群。 例如，群的中心總是特征子群（例3），但不一定是全特征子群。 例5 有理數(shù)域上的2階線性群的中心（高等代數(shù)結(jié)論）， 則不是全特征子群。 證明 首先，即為有理數(shù)域上的2階