直線的傾斜角與斜率題型歸納與練習(xí)

1、直線的傾斜角與斜率重點(diǎn)一、傾斜角定義當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上方向之間所成的角 叫做直線,的傾斜角.規(guī)定當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為0。.圖示范圍0°<a<180°作用(1)用傾斜角表示平而直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度(2)確定平而直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可重點(diǎn)二、斜率(傾斜角為幻定義存90。一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率a=90。斜率不存在記法斜率&=tana范圍R公式經(jīng)過兩點(diǎn)PGl，川)，尸2。2, *)(X#X2)的直線的斜率為

2、左=臺普作用用實(shí)數(shù)反映了平而直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度重點(diǎn)三、兩條直線平行對于兩條不重合的直線小其斜率分別為木、心,有八/2=木=h. 歸納總結(jié)(1)當(dāng)直線6直線，2時(shí)，可能它們的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在.(2)直線八、/2的斜率分別為內(nèi)、好,當(dāng)一 =一時(shí),一/2或一與一重合.(3)對于不重合的直線人、其傾斜角分別為B，有l(wèi)h=a=S-重點(diǎn)四、兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于- 1;如果它們的斜率之積等于一 1， 那么它們互相垂直.歸納總結(jié)當(dāng)直線八_L直線上時(shí)，可能它們的斜率都存在且乘積為定值一 1,也可能一條直線的斜率不存 在，而另一條直

3、線的斜率為0：較大的傾斜角總是等于較小傾斜角與直角的和.(1)平行：傾斜角相同，所過的點(diǎn)不同：(2)重合：傾斜角相同，所過的點(diǎn)相同：相交：傾斜角不同；(4)垂直：傾斜角相差90。.【典題精練】考點(diǎn)1、直線的傾斜角例1.下列命題正確的是().A.若直線的傾斜角為則此直線的斜率為tanaB.若直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為。C.若直線的傾斜角為。，貝iJsinaNOD.若直線的斜率為0,則此直線的傾斜角為0或江【解析】傾斜角為90。的直線，其斜率不存在，故A錯(cuò)誤；若直線的斜率為tana,只有當(dāng)。<0,乃)時(shí)， 其傾斜角才為a,故B錯(cuò)誤：直線的斜率為0,其傾斜角為。而不是乃，故D錯(cuò)誤

4、.故選C. 所以本題答案為C.考點(diǎn)點(diǎn)睛：1 .求直線的傾斜角(1)根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找出傾斜角，再通過解三角形或其它方法求之；(2)先求出直線的斜率k,再由k=tana,求傾斜角a.2 .傾斜角a與直線斜率值的關(guān)系：把傾斜角a分為以下四類討論：a=0°, 0°<a<90°, a=90°, 90。<仁V180。.對應(yīng)的斜率k的值依次為0,正值，不存在，負(fù)值.考點(diǎn)2、已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求傾斜角和斜率例2.過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為()【解析】直線AB的斜率女=口6=叵=立,故直線AB的傾斜角。=30，故選A 4-13考點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）對

5、求斜率的兩個(gè)公式注意其應(yīng)用的條件，必要時(shí)應(yīng)分類討論；（2）當(dāng)直線繞定點(diǎn)由與x軸平行（或重合）位 置按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與），軸平行（或重合）時(shí)，斜率由0逐漸增大到+8；按順時(shí)針方向時(shí)，斜率由0逐漸 減小到一 8,這種方法即可定性分析傾斜角與斜率的關(guān)系，也可以定量求解斜率和傾斜角的取值范圍.考點(diǎn)3、兩直線平行關(guān)系的判斷與應(yīng)用 例3.已知直線：x + ysin6 = 0與直線，2 ：2xsin6 + y + l =0,試求。的值，使/丁【解析】sin<9 = ±,故6 = ±（ +攵"（攵wZ）lxl-2sin，xsin8 = 0 v/j /7,lxl-2sin8

6、x0 00考點(diǎn)4、兩條直線垂直關(guān)系的判斷與應(yīng)用例4.已知A（+2,/3）, 8（3-"一六2時(shí)，。（2 + 1,3-2）三點(diǎn)，若直線48的傾斜角為45。,且直線AC_LA3,求點(diǎn)4 8, C的坐標(biāo).w" 3 2/7?【解析】/=（/+2H3-，-/）3一2-1 =2 + 1 6解得? = 一1 （舍去），7 = -2,.點(diǎn)4（6,1）, 8（1,-4）.=一1,解得=g, .點(diǎn)2 w/ ° J考點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線垂直的判定條件：如果兩條直線的斜率都存在且它們的積為一1,則兩條直線一定垂直；兩條直線中，如果一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率為0,那么這兩條直線

7、也垂直.課后訓(xùn)練：1.若直線4：x 2y + l =。與直線/2：忒+丁一3 =?；ハ啻怪?，則實(shí)數(shù)加的值為（）A. -2B. -C. -D. 222【解析】因?yàn)橹本€6：x 2y + l = O與直線/2：忒+）3 = 0互相垂直,所以加一2 = 0,得m=2.故選：D.2.直線x+y +JJ = 0的傾斜角為（）、5萬D 3乃乃n 不6434【答案】B【解析】由題得直線的斜率為-1,故其傾斜角為辿,故選B。 43 .經(jīng)過點(diǎn)二（一2,加）、N（"?,4）的直線的斜率等于1,則川的值為A. 1B. 4C I 或 3D. 1 或44 - w【解析】kg =二L即4一優(yōu)二苗+ 2；得優(yōu)=1選

8、A一 優(yōu)十24.若直線x + y + l=0與直線4x + ay - 2 = 0平行，則實(shí)數(shù)。的值為（）1 . 2B. 1C. 0D. -2【解析】因?yàn)橹本€，優(yōu)+ 丁 + 1 = 0與直線4工+少一2 = 0平行，所以與,4 。 一2a2 = 4所以 C，解得。=2,故選：Aa工一25 .直線x + JJ-v 5 = 0的傾斜角為（）A. -30°B. 60°C. 120°D. 150°【解析】由題，因?yàn)閤 + a， 5 = 0,則>，=一正x + Mt'33設(shè)傾斜角為所以tana =-正，所以a = 150。.故選:D36 .點(diǎn)H（2；-

9、3）、8（3,2）若直線過點(diǎn)產(chǎn)QJ），且與線段AB相交，則直線I的斜率的取值上范 困是（）A. （-（x>,-4U + oo）B. （-oo,-iu + oo）C. -4,D. ,43_【解析】數(shù)形結(jié)合如上圖所示.可得，kPA = kPB = -.要使直線I過點(diǎn)EQJ）,且與線段AB相交，由3T圖象知，k之二或kM-4 .故選A.7.已知點(diǎn)以一1,36），則直線A3的傾斜角為（）A. 60B. 30C. 120D. 150【解析】因?yàn)橹本€A3的斜率為= 所以傾斜角為120：，選c.-1-18.已知點(diǎn)A（2,3）在直線L：2x + a廠1=0上，若12卜 則直線6的斜率為（ ）A. 2B.

10、 -2C. -D. -122【解析】點(diǎn) A （2, 3）在直線 li： 2x+ay- 1=0 ±,，2x2+3a - 1 =0, 解得“=-1, I直線八：2r-y- 1=0,，直線/2的斜率k=2.故選：A.9 .直線卬+ay+6 = 0與12：（Q2）x+3y + 2a = 0平行,則q的值等于（）A. -1 或 3 B. 1 或 3 C. -3 D. -1選 D.10 .若三點(diǎn)A（3, 1）, B（2, b）,。（8, 11）在同一直線上，則實(shí)數(shù)力等于A. 2B. 3 C. 9 D. -9【解析】由二二二?得，b的值為-9,故選D.-2-3 8-SA. a<a2<a

11、311 .如圖直線04, 4的傾斜角分別為， %，則有（）B. a<a3<a2 C. a3<a2<a D. a2<a<a3【解析】由圖象可知小44的傾斜角依次增大，故生,故選b12.圖中的直線44%的斜率分別是占是2，13,則有（）【解析】由圖可知：K0,卜0,自0,且直線A的傾斜角大于直線的傾斜角，所以23心，綜 上可知：k2k3k9故選D.13 .直線），="與直線y = 2x+l垂直，則等于.【解析】直線），=匕與直線y = 2x+i垂直，=一1,解得 =一!,故答案為：一?.2214 .若直線2%+機(jī)），-2m+4 = 0與直線氏+ 2丁一

12、? + 2 = 0平行，則實(shí)數(shù)m=.【解析】直線2x +，町，-2? + 4 = 0與直線a+ 2），一? + 2 = 0平行，則有2x2 = /.? = 2或? = 2,當(dāng)"? = 2時(shí)，兩直線重合，所以舍掉，m=2符合題意；故答案為-215 .直線xsina-y + 2 = 0的傾斜角的取值范圍是.=7-，乃）.故答案為：。,【解析】設(shè)直線的傾斜角為夕（0夕乃），則tane = sina.-lsinaKl,.一lKtan6Wl,048巴.0«6«2或把8江,即0,44L 416 .已知點(diǎn)4（-2,-1）和點(diǎn)3（2,0）,過點(diǎn)尸（一1,3）點(diǎn)的直線/與線段A3相

13、交，則直線/斜率的取值范圍f 3-(-1)3-0【解析】由題/= , / ；=4/=二=一1,如圖所示,-1-(-2)-1-2所以 24或心1,故答案為:(7D,-1U4,”)17 .當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，過兩點(diǎn)A(?-3,l), 3(九2)的直線:(1)與過兩點(diǎn)(3,2), (0,-7)的直線垂直(2)與過兩點(diǎn)(2,-3), (-4,9)的直線平行.7 21 2 + 1iti 11【解析】口 = 3,北產(chǎn)一葭即訴E = h = -5,解得：2 = 09 + 3/h -2 + 1m-1 八.工=2kAli = -2 ,即a解得：團(tuán)18 .已知直線/平行于直線4工+ 3)，-7 =。，直線/與兩坐標(biāo)軸圍

14、成的三角形的周長是15,求直線/的方程.447【解析】解法一：:直線/與直線4工+3)7 =。平行，用=一1.設(shè)直線/的方程為y =-工+ 3工1), 則直線/與x軸的交點(diǎn)為,()，與y軸的交點(diǎn)為8(0,勿.ab i=35 直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形周長是5.於+加+7=0.如=5'.” = ±5.4 直線/的方程是y = 一7工±5,即4x + 3y±15 = 0.解法二: :直線/與直線4x + 3y - 7 = 0平行，設(shè)直線/的方程為4x+3y + C = 0(Cw-7),cc令行。得令得尸.不= HC， 直線/與X軸的交點(diǎn)為a1 三,。,與 &

15、gt;,軸的交點(diǎn)為40,C C 5;直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形周長是15，J 一萬十 一工+不一。=15.D1 乙，ICI=15,，C = ±15 .，直線/的方程是 4x + 3y±15 = 0.19.已知兩條直線八：。%+2)-1=0, /2： 3工+3+1'+1=0.（1）若八/2,求實(shí)數(shù)的值；若,/2,求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）由題可知，直線/i： ax+2y-1 =0, h： 3x+3+l）y+1 =0.若八12,則三=二+F解得a=2或a=-3（舍去）綜上，則a=2； 3a+11（2）由題意，若則3a+2（a+l）=0,解得a=g20.已知兩直線4：

16、忒+ 8y + “ = 0和/?： 2x+/ny-l = 0.（1）若乙與，2交于點(diǎn)P（加，T），求加，的值；（2）若2,試確定加，需要滿足的條件： （3）若試確定W，需要滿足的條件.【答案】(1) 1/1 = 1 f 1 = 7 ； (2)團(tuán)=4, 工 -2 或， =-4, n * -2 ； (3) ？ = 0, n w R .【解析】 將點(diǎn)尸（團(tuán),一1）代入兩直線方程得：，一8 + “ =。和2"?-加1=0,解得加=1, = 7.(2)由“兒得:- =,2 m - 1m=4 (m = -4或4n *2 h 2所以當(dāng)m=4 , " -2或m = -4 , =-2時(shí)，/J

17、/2.（3）當(dāng)加=0時(shí)，直線/”），= 一。和/2： x = - 9 此時(shí) 82當(dāng)m w 0時(shí)此時(shí)兩直線的斜率之積等于4，顯然4與/,不垂直,所以當(dāng)m=0，"£/?時(shí)，直線乙與垂直.21.已知兩直線6 ：ca + 2y + 6 =。和，2：工 +（。-1）' + /-1 =。（1）若4U，求實(shí)數(shù)。的值；（2）試判斷乙與-是否平行。22【解析】（1）由已知條件得a4+ 2.g 1） = 0 =。=大，故所求實(shí)數(shù)。的值為（2）由4鳥一&q二。，得（一1）一以2 = 0,即一一2 = 0,解得。=一1 或a = 2.當(dāng)” 二一1時(shí)，/1的方程為不一2）-6 =。，/2的方程為工一2丁 =。，顯然兩直線平行.當(dāng)。=2時(shí)，乙的方程為x + y + 3 =。，的方程為x + y + 3 =。，顯然兩直線重合.所以，當(dāng)n = T時(shí)，4公