課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題

1、七年級(jí)七年級(jí) 上冊(cè)上冊(cè)2.32.3 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題最短路徑問題引言：引言： 1 1、“兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短” 2 2、“垂線段最短垂線段最短”等的問題等的問題 我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}，現(xiàn)實(shí)我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}，現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的中著名的 “ “將軍飲馬問題將軍飲馬問題” 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？FEDCBA

2、 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間,線段最短線段最短 垂線段垂線段是垂線上的一部分，它是線段是垂線上的一部分，它是線段，一端是一個(gè)點(diǎn)，另一端是垂足。線段，一端是一個(gè)點(diǎn)，另一端是垂足。線段PDPD叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P P到直線到直線ABAB 的的垂線段垂線段ABPD 垂線段定義垂線段定義C點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離： 直線外一點(diǎn)到直線的直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度垂線段的長度，叫，叫做做點(diǎn)到直線的距離。點(diǎn)到直線的距離。垂線段垂線段ABAB的長度就是點(diǎn)的長度就是點(diǎn)A A到直線到直線的距離的距離拓 展 應(yīng) 用理由理由:垂線段最短垂線段最短AO如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A A處是一座小屋，處是一座小屋，BCBC是一條公路是一條公

3、路，一人在，一人在O O處。處。（1 1）此人到小屋去）此人到小屋去，怎樣走最近？為，怎樣走最近？為什么？什么？（2 2）此人要到公）此人要到公路去，怎樣走最近路去，怎樣走最近？為什么？為什么？B BC C如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)P把兩條筆直的公路連接起把兩條筆直的公路連接起來，在圖中畫出最短連接的路線來，在圖中畫出最短連接的路線.mnP . .B B 已知：如圖，已知：如圖，A A，B B在直線在直線L L的側(cè)，在的側(cè)，在L L上上求一點(diǎn)求一點(diǎn)P P，使得，使得PA+PBPA+PB最小。最小。 A A . .P P根據(jù)：根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短. .應(yīng)用應(yīng)用 要在燃?xì)夤艿酪谌細(xì)夤?/p>

4、道L L上修建一個(gè)泵站，分別向上修建一個(gè)泵站，分別向A A、B B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？所用的輸氣管線最短？P泵站建在點(diǎn)泵站建在點(diǎn)P P處輸氣管線最短。處輸氣管線最短。 作法：作法： 作點(diǎn)作點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線l l的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B.B. 連接連接AB,AB,交直線交直線l l于于 點(diǎn)點(diǎn)P.P. 點(diǎn)點(diǎn)P P的位置即為所求的位置即為所求. .ABl BP已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線在直線L L的同一側(cè)，在的同一側(cè)，在L L上上求一點(diǎn)，使得求一點(diǎn)，使得PA+PBPA+PB最小最小. . ABl BPM 為

5、什么這樣做就能得到最短距離呢？為什么這樣做就能得到最短距離呢？ MA + MBMA + MBPA+PBPA+PB 即即MA + MBMA + MBPA+PBPA+PB 三角形任意兩邊之和三角形任意兩邊之和大于第三邊大于第三邊比一比，誰想的最快：比一比，誰想的最快：問題問題1 1：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的題：從圖中的A A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l l 飲馬，

6、然后到飲馬，然后到B B 地到河邊什么地方飲馬可使地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？他所走的路線全程最短？BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ BAl將將A A，B B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l l 抽象為一抽象為一條直線條直線 BAl已知：如圖已知：如圖A A是銳角是銳角MONMON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MONMON的兩邊的兩

7、邊OMOM，ONON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B B，C C，組成，組成三角形三角形ABCABC，使三角形周長最小，使三角形周長最小. .BCDE分析：當(dāng)分析：當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長最直線上時(shí)，三角形的周長最小。小。 運(yùn)用新知運(yùn)用新知1.1.如圖，一個(gè)旅游船從大橋如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB AB 的的P P 處前往處前往山腳下的山腳下的Q Q 處接游客，然后將游客送往河岸處接游客，然后將游客送往河岸BC BC 上，再返回上，再返回P P 處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑ABCPQ山山河岸河

8、岸大橋大橋基本思路：基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQPQ，線，線段段PQ PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一條直線一條直線BCBC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)點(diǎn)P P，Q Q 在直線在直線BC BC 的同側(cè)，如何在的同側(cè)，如何在BCBC上找到一點(diǎn)上找到一點(diǎn)R R，使，使PRPR與與QR QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大橋大橋3 3. .某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條( (如圖如圖中的中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上擺滿了桔

9、子，桌面上擺滿了桔子，OBOB桌面上擺滿了糖果，坐在桌面上擺滿了糖果，坐在C C處的學(xué)生處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？所走的總路程最短？A AO OB B. . 作法：作法： 1. 1.作點(diǎn)作點(diǎn)C C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA OA 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D,D, 2. 2.作點(diǎn)作點(diǎn)C C關(guān)于直線關(guān)于直線 OB OB的對(duì)的對(duì) 稱點(diǎn)稱點(diǎn)E,E, 3. 3.連接連接DEDE分別交直線分別交直線OA.OBOA.OB 于點(diǎn)于點(diǎn)M.NM.N，則，則CM+MN+CNCM+MN+CN最短

10、最短AOB. .EDMNGHABA/B/PQ最短路線：最短路線：A P Q BA P Q BlMN4. 如圖：牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到如圖：牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。作法：作法：1.1.作點(diǎn)作點(diǎn)C C關(guān)于直線關(guān)于直線 OA 的的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F,F,2.2.作點(diǎn)作點(diǎn)D D關(guān)于直線關(guān)于直線 OB 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,E,3 3. .連接連接EFEF分別交直線分別交直線OA. OB于點(diǎn)G.H. 則CG+GH+DH最短FAOBD CEGH練習(xí) 1 1. .圖圖1 1，臺(tái)球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿，臺(tái)球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿去擊白球使其撞到去擊白球使其撞到ABAB邊反彈后再撞到黑球邊反彈后再撞到黑