秘傳高考數(shù)學(xué)通用解題模型

1、謝謝觀賞秘傳高考通用解題模型（I）1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。中元素各表示什么？A表示函數(shù)y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數(shù)上的點的軌跡2. 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。顯然，這里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。3. 注意下列性質(zhì)：要知道它的來歷：若B為A的子集，則

2、對于元素ai來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2,a3,an,都有2種選擇，所以，總共有2n種選擇，即集合A有2n個子集。當然，我們也要注意到，這2n種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數(shù)為2n1，非空真子集個數(shù)為2n2（3）德摩根定律：有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過；如告訴你函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0）在（上單調(diào)遞減，在（1，）上單調(diào)遞增，就應(yīng)該馬上知道函數(shù)對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應(yīng)該馬上可以想到m

3、,n實際上就是方程的2個根5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6、熟悉充要條件的性質(zhì)（高考經(jīng)常考）Ax|x滿足條件/，Bx|x滿足條件笛，若;則p是q的充分非必要條件AB;若;則p是q的必要非充分條件AB;若;則p是q的充要條件AB;若；則p是q的既非充分又非必要條件；7 .對映射的概念了解嗎？映射f:A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）注意映射個數(shù)的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，

4、則從A到B的映射個數(shù)有nm個。如：若A1,2,3,4,Ba，b，c；問：A到B的映射有個，B到A的映射有個；A到B的函數(shù)有個，若A1,2,3,則A到B的映射有個。函數(shù)y（x）的圖象與直線xa交點的個數(shù)為個8 .函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同；定義域一致（兩點必須同時具備）9 .求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？函數(shù)定義域求法：分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。正切函數(shù)y tanxx R,且 x余切函數(shù)y 8txx R,且x k ,k謝

5、謝觀賞反三角函數(shù)的定義域-二口函數(shù)y=arcsinx的定義域是1,1，值域是亍匕，函數(shù)y=arccosx的定義域是1,1，值域是0,兀，函數(shù)y=arctgx的定義域是R，值域是2匕.,函數(shù)y=arcctgx的定義域是R,值域是（0,兀）.當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。10 .如何求復(fù)合函數(shù)的定義域?義域是（答：a,a）復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知yf(x)的定義域為m,n，求yfg(x)的定義域，可由mg(x)n解出x的范圍，即為yfg(x)的定義域例 若函數(shù)y f(x)的定義域為2,2則f(iog2x)的定

6、義域分析：由函數(shù)yf(x)的定義域為2,2可知:x 2；所以 y f (log 2 x)log2x2log 2 x 2o解：依題意知:解之，得f(log2x)的定義域為x|d2x41、函數(shù)值域的求法、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。1例求函數(shù)y=x的值域、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=x2-2x+5,x-1,2的值域。、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原

7、函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x4例求函數(shù)y=5x6值域。、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。ex12sin12sin1例求函數(shù)y=ex1,y1sin,y1cos的值域。、函數(shù)單調(diào)性法通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容例求函數(shù)y=210g3vx1(2<x<10)的值域、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例求函數(shù)y=x+w'x1的值域。數(shù)形結(jié)

8、合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P(x.y)在圓x2+y2=1上,例求函數(shù)y=d(x2)+«x8)的值域?？趎_解：原函數(shù)可化簡得：y=Ix-2I+Ix+8I上式可以看成數(shù)軸上點P(x)到定點A(2),B(-8)間的距離之和由上圖可知：當點P在線段AB上時，=Ix-2I+Ix+8I=IABI=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時,=1x-2I+Ix+8I>IABI=10故所求函數(shù)的值域為：10,+°O)例求函數(shù)y=dx26x13+&4x5

9、的值域22；22解：原函數(shù)可變形為：y=Kx3)(02)+(x2)(01)A<3,2)ymin= I AB I22=(3 2) (2 1)上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3,2),B(-2,-1)的距離之和,由圖可知當點P為線段與x軸的交點時,=.43故所求函數(shù)的值域為而，+OO)。22例求函iW="x6x13-,x4x5的值域2222解：將函數(shù)變形為：y=：(x3)(02)-(x2)(01)上式可看成定點A(3,2)到點P(x,0)的距離與定點B(-2,1)到點P(x,0)的距離之差。即：y=IAPI-IBPI由圖可知：(1)當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交

10、點時，如點P1,則構(gòu)成AABPI根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，22有AP1I-IBP1II<IABI=V(32)(21)=V26即:-&6<y<£62)當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有API-IBPII=IABI=啟。綜上所述，可知函數(shù)的值域為：(-同，-反)。注：求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A,B兩點在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時，則要使兩點A,B在x軸的同側(cè)。、不等式法利用基本不等式a+bn2+而，a+b+c>33abc(a,b,c6R),求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項

11、、添項和兩邊平方等技巧。例：倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況x2例求函數(shù)y=x3的值域多種方法綜合運用總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12 .求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂13 .反函數(shù)存在的條件是什么？(對應(yīng)函數(shù))求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？(反解x;互換x、y;注明定義域)在更

12、多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：(2004.全國理)函數(shù)y口1(x1)的反函數(shù)是(B)A.y=x22x+2(x<1)B.y=x22x+2(x>1)C.y=x22x(x<1)D.y=x22x(x>1)當然，心情好的同學(xué)，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現(xiàn)計算問題的話，答案還是可以做出來的。可惜，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習(xí)慣計算。下面請看一下我的思路：原函數(shù)定義域為x=1,那反函數(shù)值域也為y>=1.排除選項C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反函數(shù)定義域為x>

13、;=1,答案為B.我題目已經(jīng)做完了，好像沒有動筆(除非你拿來寫*書)。思路能不能明白呢？14 .反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？反函數(shù)性質(zhì)：1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域（可擴展為反函數(shù)中的x對應(yīng)原函數(shù)中的V）2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴展為反函數(shù)中的y對應(yīng)原函數(shù)中的x）3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y,x）關(guān)于直線y=x對稱互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如4（04.上海春季高考）已知函數(shù)（x）og3（x），則方程f1（x）4的解x.1對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵

14、呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進去阿，答案是不是已經(jīng)出來了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我15 .如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：（1）定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2,找出f（x1）,f（x2）之間的大小關(guān)系f（一）f（x2）f（x1）可以變形為求x1x2的正負號或者f（x2）與1的關(guān)系（2）參照圖象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a,0)的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性；(特例：奇函數(shù))若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a,0)

15、的對稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。(特例：偶函數(shù))(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)+c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當c>0時，它們是同向變化的；當CV0時，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x),f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)+f2(x)和它們同向變化；(函數(shù)相加)如果正值函數(shù)f1(x),f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；(函數(shù)相乘)1函數(shù)f(x)與丁歷在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u=(Rx),xa,M與函數(shù)y=F(

16、u),uC6(a),6(B)或uH3),6(a)同向變化，則在a,B上復(fù)合函數(shù)y=F6(x)是遞增的；若函數(shù)U=(Hx),xa,口與函數(shù)y=F(U),uC6(a),6(B)或uC6(B),6(a)反向變化，則在a,M上復(fù)合函數(shù)y=F6(x)是遞減的。(同增異減)若函數(shù)減性相同。y=f(x)是嚴格單調(diào)的,則其反函名xx=f(y)也是嚴格單調(diào)的，而且，它們的增f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數(shù).增增增增增一增減減/減增減/減減增減減、)16 .如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？值是()A.0B.1C.2D.3a的最大值為3)17 .函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充

17、分)條件是什么？(f(x)定義域關(guān)于原點對稱)注意如下結(jié)論：(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。判斷函數(shù)奇偶性的方法一、定義域法一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)二、奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下，計算f(x),然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)奇g(x)奇fg(x)奇f(x)+g(x)奇f(x)*g(x)偶18.你熟悉奇偶偶奇偶偶非奇非偶非奇非偶奇奇周期函數(shù)的偶偶偶偶偶定義嗎

18、？函數(shù)，T是一個周期。)我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期2t.推導(dǎo)：f (x) f (x 2t)f(x)f(xt)0或者說f(a-x)=f(a+x). 其實f(xt)f(x2t)0同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱，對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。f(x)與f( x)的圖象關(guān)于 原點對稱如：19.你掌握常用的圖象變換了嗎?“*)與£(

19、x)的圖象關(guān)于y軸對稱想點(x,y),(-x,y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱聯(lián)想點(x,y),(x,-y)f(x)與f 1(x)的圖象關(guān)于 直線y x對稱聯(lián)想點(x,y ) ,(y,x)f(x)與f(2a x)的圖象關(guān)于 直線x a對稱聯(lián)想點(x,y ) ,(2a-x,y)f(x)與f(2a x)的圖象關(guān)于點(a, 0)對稱聯(lián)想點(x,y ) ,(2a-x,0)聯(lián)想點(x,y),(-x,-y)(這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0

20、,畫出點的坐標。看點和原點的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。)注意如下“翻折”變換:19 .你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？(1) 一次函數(shù)：ykxbk0(k為斜率，b為直線與y軸的交點)的雙曲線。應(yīng)用：“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一一二次方程求閉區(qū)間min上的最值。求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。一元二次方程根的分布問題。由圖象記性質(zhì)！(注意底數(shù)的限定！)利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？(均值不等式一定要注意等號成立的條件)20 .你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？21 .如何解抽象函數(shù)問題？(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)(對于這種抽

21、象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、 代丫二乂，2、令X=0或1來求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=-x;求單調(diào)性：令x+y=xi幾類常見的抽象函數(shù)1 .正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)f(x)=kx(k?0)f(x±y)=f(x)士f(y)2 .募函數(shù)型的抽象函數(shù)xf(x)=xaf(xy)=f(x)f(y)；f(y)f(x)=f(y)3 .指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f(x)=axf(x+y)=f(x)f(y)；ff(x)(x-y)=f(y)4 .對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)xf(x)=logax(a>0且a?1)f(xy)=f(x)+f(y);f(y)=f(x)-f(y)5 .三角

22、函數(shù)型的抽象函數(shù)f(x)f(y)f(x)=tgxf(x+y)=1f(x)f(y)f(x)f(y)1f(x)=cotxf(x+y)=f(x)f(y)例1已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時，f(x)>0,f(-1)=2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)(注意到f(x2)=f(x2x1)+x1=f(x2-x1)+f(x)；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且當x>0時，f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a22a2)<3

23、的解.分析：先證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)(仿例1);再求出f(1)=3;最后脫去函數(shù)符號.例3已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(1)=1,f(27)=9,當0Wx<1時，f(x)60,1.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)判斷f(x)在0,+s上的單調(diào)性，并給出證明；(3)若an0且f(a+1)<池,求a的取值范圍.分析：(1)令y=-1;XiXi利用f(Xi)=f(X2X2)=f(X2)f(X2)；(3)0<a<2.例4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(°°,+°°),滿足條件：存在Xi豐心,使

24、得f(Xi)?f(X2)；對任何X和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求：(i)f(0);(2)對任意值X,判斷f(x)值的符號.分析：(i)令x=y=0;(2)令y=x#0.例5是否存在函數(shù)f(x),使下列三個條件：f(x)>0,x6N;f(a+b)=f(a)f(b),a、bN；f(2)=4.同時成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f(x)=2X;再用數(shù)學(xué)3納法證明.例6設(shè)f(x)是定義在(0,+oo)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(Xy)=f(x)+f(y),f(3)=i,求：(1) f(i);(2)若f(x)+f(x8)<2,求X的取值范圍.分析

25、：(i)利用3=ix3；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)g(b)是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f(a)=mf(b)=n,則g(mj)=a,g(n)=b,進而mVrn=f(a)+f(b)=f(ab)=fg(m)g(n).例8已知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：f(Xi)f(X2)1XI、X2是定義域中的數(shù)時，有f(XiX2)=f(X2)f(xi)；f(a)=-1(a>0,a是定義域中的一個數(shù))；當0<X<2a時，f(x)<0.試問：(1)

26、f(x)的奇偶性如何？說明理由；(2)在(0,4a)上，f(x)的單調(diào)性如何？說明理由.分析：(1)利用f(X1-X2)=f(XiX2),判定f(x)是奇函數(shù)；(3)先證明f(x)在(0,2a)上是增函數(shù)，再證明其在(2a,4a)上也是增函數(shù).對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題.例9已知函數(shù)f(x)(x?0)滿足f(xy)=f(x)+f(y),(1)求證：f(1)=f(1)=0;(2)求證：f(x)為偶函數(shù)；(3)若f(x)在(0,+s)上是增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x12)<0.分析：函數(shù)模型為：f(x)=loga|x|(a>0)(1)先令x=y=1,再令x=y=-1;