導數(shù)知識點歸納與應用

1、導數(shù)知識點歸納及應用知識點歸納一、相關概念1導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）；求平均

2、變化率=；取極限，得導數(shù)f(x)=。例：設f(x)= x|x|, 則f( 0)= .解析：f( 0)=02導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。例：在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是( )A3B2C1D0解析：切線的斜率為又切線的傾斜角小于，即故解得：故沒有坐標為整數(shù)的點3.導數(shù)的物理意義如果物體運動的規(guī)律是s=s（t），那么該物體在時刻t的瞬間速度v=（t）。 如果物體運動的速度

3、隨時間的變化的規(guī)律是v=v（t），則該物體在時刻t的加速度a=v（t）。例。汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD答：A。練習：已知質點M按規(guī)律做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s）。（1） 當t=2，時，求；（2） 當t=2，時，求；（3） 求質點M在t=2時的瞬時速度。答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8二、導數(shù)的運算1基本函數(shù)的導數(shù)公式: （C為常數(shù)）; ; ; .例1：下列求導運算正確的是 ( )A(x+ B(log2x)=C(3x)=3xlog3e D (x2co

4、sx)=-2xsinx 解析：A錯，(x+ B正確，(log2x)=C錯，(3x)=3xln3 D錯，(x2cosx)=2xcosx+ x2(-sinx)例2：設f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，則f2005(x)( )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx解析：f0(x) sinx，f1(x)f0(x)=cosx，f2(x)f1(x)= -sinx，f3(x)f2(x)= -cosx， f4(x) f3(x)=sinx，循環(huán)了 則f2005(x)f1(x)cosx2導數(shù)的運算法則法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這

5、兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)：法則3：兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：（v0）。例：設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x0時,0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：當x0時,0，即當x0時，f(x)g

6、(x)為增函數(shù)，又g(x)是偶函數(shù)且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故當時，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)g(x)為減函數(shù)，且f(3)g(3)=0故當時，f(x)g(x)0故選D3.復合函數(shù)的導數(shù)形如y=f的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解>求導>回代。法則：y|= y|·u|或者.練習：求下列各函數(shù)的導數(shù)： （1） （2） （3） （4）解：(1)y （2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，三、導數(shù)的應用1.函數(shù)的單調性與導數(shù)

7、（1）設函數(shù)在某個區(qū)間（a，b）可導，如果，則在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內恒有，則為常數(shù)。例：函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為( )AB C D（0，2） 解析：由<0，得0<x<2函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（0，2）2極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；例：函數(shù)已知時取得極值，則= ( )A2 B3C4 D5解析：，又時取得極值則=53最值：在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a，b）內連續(xù)函數(shù)f（x）不一定

8、有最大值，例如。（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例：函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 .解析：由=0，得，當時，>0，當時，<0，當時，>0，故的極小值、極大值分別為， 而故函數(shù)在-3，0上

9、的最大值、最小值分別是3、-17。經(jīng)典例題選講例1.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中 是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中的圖象大致是 ( ) 解析：由函數(shù)的圖象可知：當時， <0，>0，此時增當時，>0，<0，此時減當時，<0，<0，此時減當時，>0，>0，此時增故選C例2.設恰有三個單調區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調區(qū)間。解：若，對恒成立，此時只有一個單調區(qū)間，矛盾若，也只有一個單調區(qū)間，矛盾若，此時恰有三個單調區(qū)間且單調減區(qū)間為和，單調增區(qū)間為例3. 已知函數(shù)的圖象過點P（0,2）,且在點M處的切線方程為. （）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單

10、調區(qū)間.解：（）由的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是 （）解得 當當故內是增函數(shù)，在內是減函數(shù)，在內是增函數(shù).例4. 設函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。 （）求的單調區(qū)間與極值。解：（），。從而是 一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（）由（）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調遞減區(qū)間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。例5. 已知f（x）=在x=1，x=時，都取得極值。（1）求a、b的值。（2）若對，都有恒成立，求c的取值范圍。解：（1）由題意f/（x）=的兩個根分別為1和 由韋達定理，得：1=， 則，（

11、2）由（1），有f（x）=，f/（x）= 當時，當時，當時，當時，有極大值， 當，的最大值為 對，都有恒成立， 解得或例6. 已知是函數(shù)的一個極值點，其中，（I）求與的關系式；（II）求的單調區(qū)間；（III）當時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍.解：(I)因為是函數(shù)的一個極值點,所以,即，所以（II）由（I）知，=當時，有，當變化時，與的變化如下表：100調調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減故有上表知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減.（III）由已知得，即又所以即設，其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范圍為例7：（2009天津理20）已知函數(shù)其中（1） 當時，求曲線處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極