拋物線與其性質(zhì)知識點大全和經(jīng)典例題與解析

1、拋物線及其性質(zhì)【考綱說明】1、掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)，能運用性質(zhì)解決與拋物線有關問題。 2、通過類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系?！局R梳理】1拋物線定義：平面內(nèi)到一定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線2拋物線四種標準方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點到準線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標 準方 程焦 點位 置X正X負Y正Y負焦 點坐 標準 線方 程范 圍對 稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂 點坐 標（0,0）離心率通 徑2p焦半徑焦點弦長焦點弦長的補充以為直徑的圓必與準線相切若的傾斜角為，若的傾斜角為，則3拋物線的幾何性質(zhì)：(1)范

2、圍 因為p>0，由方程可知x0，所以拋物線在軸的右側， 當?shù)闹翟龃髸r，|也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸(2)對稱性：對稱軸要看一次項，符號決定開口方向(3)頂點（0，0），離心率：，焦點，準線，焦準距p(4) 焦點弦：拋物線的焦點弦，,則 弦長|AB|=x1+x2+p,當x1=x2時，通徑最短為2p。4焦點弦的相關性質(zhì)：焦點弦，,，焦點(1) 若AB是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，則：，。(2) 若AB是拋物線的焦點弦，且直線AB的傾斜角為，則（0）。(3) 已知直線AB是過拋物線焦點F ,(4) 焦點弦中通徑最短長為2p。通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑

3、(5) 兩個相切：以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切.過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。5弦長公式：,是拋物線上兩點，則【經(jīng)典例題】（1）拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線上任一點，F(xiàn)為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸（ ）相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是.作PH于H，交y軸于Q，那么，且.作MN

4、y軸于N則MN是梯形PQOF的中位線，.故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結論則分別是相離或相交的.（2）焦點弦?？汲Ｐ碌牧咙c弦有關拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關.理解并掌握這個焦點弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過拋物線的焦點F作直線交拋物線于兩點，求證：（1） （2）【證明】（1）如圖設拋物線的準線為，作，.兩式相加即得：（2）當ABx軸時，有成立；當AB與x軸不垂直時，設焦點弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡得：方程（1）之二根為x1，x2，.故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有成立.（3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關拋物線

5、的許多試題，又與它的切線有關.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.【例3】證明：過拋物線上一點M（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）【證明】對方程兩邊取導數(shù)：.由點斜式方程： y0y=p（x+x0）（4）定點與定值拋物線埋在深處的寶藏 拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點 （ ）顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選B.2.拋物線的通徑長為2p；3.設拋物線過焦點的弦兩端分別為，那么：以下再舉一例【例4】設拋物線的焦點弦AB

6、在其準線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點.以下我們對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設焦點兩端分別為，那么：設拋物線的準線交x軸于C，那么.這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點.通法特法妙法（1）解析法為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線y=-x2+3上存在關于直線x+y=0對

7、稱的相異兩點A、B，則|AB|等于（）A.3 B.4 C.3D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點A、B關于直線x+y=0對稱，設直線AB的方程為：. 由設方程（1）之兩根為x1，x2，則.設AB的中點為M（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.從而.直線AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：，從而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，選C.（2）幾何法為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計

8、算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（11.全國1卷.11題）拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂足為，則的面積（ ）A BC D【解析】如圖直線AF的斜率為時AFX=60°.AFK為正三角形.設準線交x軸于M，則且KFM=60°，.選C.【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的面積用公式計算. （2）本題如果用解析法，需先列方程組求點A的坐標，再計算正三角形的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.（3）定義法追本求真的簡單一著許多解析幾何習題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做

9、，反而特別簡單.【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的線為，焦點為與的一個交點為，則等于（ ）A B C D【分析】 這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準備工作：設雙曲線的半焦距c，離心率為e，作 ，令.點M在拋物線上，這就是說：的實質(zhì)是離心率e.其次，與離心率e有什么關系？注意到： .這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.選 A.（4）三角法本身也是一種解析三角學蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉化為同名同角的三角函數(shù)，

10、然后根據(jù)各種三角關系實施“九九歸一”達到解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡化計算.【例8】（09.重慶文科.21題）如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。（）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；（）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】（）焦點F（2，0），準線.（）直線AB：代入（1），整理得：設方程（2）之二根為y1，y2，則.設AB中點為AB的垂直平分線方程是：.令y=0，則故于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.（5）消去法合理減負的常用

11、方法.避免解析幾何中的繁雜運算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個不同的交點A和B；（2）線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分，且.設線段AB的中點為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點為.故存在符合題設條件的直線，其方程為：（6）探索法奔向數(shù)學方法的高深層次有一些解析幾何習題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想證明再猜想再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無限風光在險峰”.【例10】（10.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的