01第一節(jié)導數(shù)概念

1、第二章導數(shù)與微分數(shù)學中研究導數(shù)、微分及其應用的部分稱為微分學，研究不定積分、定積分及其應用的部分稱為積分學.微分學與積分學統(tǒng)稱為微積分學.微積分學是高等數(shù)學最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學許多分支的基礎，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學模型之一恩格斯(1820-1895)曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”.微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學方法論和對人們進行文化熏陶的極好素材(本部分內(nèi)容詳見光盤).積分的雛形可追溯到古希臘和我國魏晉時期，但微分概念直至16世紀才應運萌生.本章

2、及下一章將介紹一元函數(shù)微分學及其應用的內(nèi)容第一節(jié)導數(shù)概念從15世紀初文藝復興時期起，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代.而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展.生產(chǎn)實踐的發(fā)展對自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎科學的發(fā)展，而這些學科都是深刻依賴于數(shù)學的，因而也推動了數(shù)學的發(fā)展.在各類學科對數(shù)學提出的種種要求中，下列三類問題導致了微分學的產(chǎn)生：(1) 求變速運動的瞬時速度；(2) 求曲線上一點處的切線；(3) 求最大值和最小值.這三類實際問題的現(xiàn)實原型在數(shù)學上都可歸結(jié)為函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度，即所謂

3、函數(shù)的變化率問題.別給出了導數(shù)的概念.牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茨從第二個問題出發(fā)，分內(nèi)容分布圖示引言引例1引例2引例3導數(shù)的定義幾點說明利用定義求導數(shù)與求極限(例1、例2)例3例4例5例6例7左右導數(shù)例8例9導數(shù)的幾何意義例10例11導數(shù)的物理意義導數(shù)的經(jīng)濟意義可導與連續(xù)的關系例13例14例15例16內(nèi)容小結(jié)課堂練習習題2-1返回內(nèi)容要點：一、引例:引例引例變速直線運動的瞬時速度;產(chǎn)品總成本的變化率引例2平面曲線的切線導數(shù)的定義:yf(X。：x)f(X。)f(x。)=lim=limX)。X-X)°.:X注：導數(shù)概念是函數(shù)變化率這一概念的精確描述，它撇開了自變量和因變量所代表的幾何

4、或物理等方面的特殊意義，純粹從數(shù)量方面來刻畫函數(shù)變化率的本質(zhì)：函數(shù)增量與自變量y'、則增量的比值巡是函數(shù)y在以X。和X。+k為端點的區(qū)間上的平均變化率，而導數(shù)X是函數(shù)y在點X。處的變化率，它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度根據(jù)導數(shù)的定義求導，一般包含以下三個步驟：1. 求函數(shù)的增量：匈=f(X+&)f(x);yf(x二x)-f(x)求兩增量的比值：圣=；LXLX求極限ylim旦.'X)。.板三、左右導數(shù)定理1函數(shù)y=f(x)在點X。處可導的充要條件是：函數(shù)y=f(x)在點X。處的左、右導數(shù)均存在且相等.四、用定義計算導數(shù)五、導數(shù)的幾何意義六、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的

5、關系定理2如果函數(shù)y=f(x)在點X。處可導，貝U它在X。處連續(xù).注：上述兩個例子說明，函數(shù)在某點處連續(xù)是函數(shù)在該點處可導的必要條件，但不是充分條件.由定理2還知道，若函數(shù)在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導在微積分理論尚不完善的時候，人們普遍認為連續(xù)函數(shù)除個別點外都是可導的.1872年得多數(shù)學家魏爾斯特拉構造出一個處處連續(xù)但處處不可導的例子，這與人們基于直觀的普遍認識大相徑庭，從而震驚了數(shù)學界和思想界.這就促使人們在微積分研究中從依賴于直觀轉(zhuǎn)向理性思維，大大促進了微積分邏輯基礎的創(chuàng)建工作例題選講：導數(shù)概念的應用例1(講義例1)求函數(shù)y=x3在x=1處的導數(shù)f'(1).例2(講義例2

6、)試按導數(shù)定義求下列各極限(假設各極限均存在).f(2x)-f(2a)lim-;x昭x-af(x)(1) lim,其中f(。)=。.例3(講義例4)求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導數(shù).例4(講義例5)設函數(shù)f(x)=sinx,求(sinx)'及(sinx)'|x4例5(講義例6)求函數(shù)y=xn(n為正整數(shù))的導數(shù).例6(講義例7)求函數(shù)f(x)=ax(a0,a#1)的導數(shù).例7求函數(shù)y=logax(a0,a#1)的導數(shù)左右導數(shù)例8(講義例3)求函數(shù)f(x)=.sinx,x<°在x=0處的導數(shù).X,x芝0例9設f(x)為偶函數(shù)，且f'(0)存在.證明&q

7、uot;(0)=0.例10求等邊雙曲線y=l在點',2I處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和yx2，法線方程.用定義計算導數(shù)導數(shù)的幾何意義例11(講義例8)求曲線v=&在點(4,2)處的切線方程.函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系例12(講義例9)設某種產(chǎn)品的收益R(元)為產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)2xR=R(x)=800x-(x_0)4求生產(chǎn)200噸到300噸時總暇入的平均變化率；(2)生產(chǎn)100噸時收益對產(chǎn)量的變化率.例13(講義例10)討論函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的連續(xù)性與可導性1c例14(講義例11)討論函數(shù)f(x)xsin,x=0x,在x=0處的連續(xù)性與可導性(圖0,x=

8、02-1-2).例15設函數(shù)例16設函數(shù)a,2、x2十1,0壬x<1,2exa,x2bx1,f(x)在x=0處連續(xù)，f(x)在x=0處可導，f(x)=<f(x)=x：0問a取何值時，f(x)為可導函數(shù).x一0a,b為何值；a,b為何值.欲使欲使在微積分理論尚不完善的時候，人們普遍認為連續(xù)函數(shù)除個別點外都是可導的.1872年得多數(shù)學家魏爾斯特拉構造出一個處處連續(xù)但處處不可導的例子(如第七章第一節(jié)的Koch雪花曲線描述的函數(shù))，這與人們基于直觀的普遍認識大相徑庭，從而震驚了數(shù)學界和思想界.這就促使人們在微積分研究中從依賴于直觀轉(zhuǎn)向理性思維，大大促進了微積分邏輯基礎的創(chuàng)建工作課堂練習1.

9、 函數(shù)f(x)在某點X0處的導數(shù)f'(X0)與導函數(shù)f'(x)有什么區(qū)別與聯(lián)系？2. 設中(x)在x=a處連續(xù)，f(x)=(x2a2)%*),求f'(a).3. 求曲線y=2x-x3上與x軸平行的切線方程.萊布尼茨(Friedrich,Leibniz,1597-1652)-博學多才的數(shù)學符號大師出生于書香門第的萊布尼茲是德國一們博學多才的學者。他的學識涉及哲學、歷史、語言、數(shù)學、生物、地質(zhì)、物理、機械、神學、法學、外交等領域。并在每個領域中都有杰出的成就。然而，由于他獨立創(chuàng)建了微積分，并精心設計了非常巧妙而簡潔的微積分符號，從而使他以偉大數(shù)學家的稱號聞名于世。萊布尼茲對

10、微積分的研究始于31歲，那時他在巴黎任外交官，有幸結(jié)識數(shù)學家、物理學家惠更斯等人。在名師指導下系統(tǒng)研究了數(shù)學著作，1673年他在倫敦結(jié)識了巴羅和牛頓等名流。從此，他以非凡的理解力和創(chuàng)造力進入了數(shù)學前沿陣地。萊布尼茲在從事數(shù)學研究的過程中，深受他的哲學思想的支配。他的著名哲學觀點是單子論，認為單子是“自然的真正原子事物的元素”，是客觀的、能動的、不可分割的精神實體。牛頓從運動學角度出發(fā)，以“瞬”(無窮小的“0”)的觀點創(chuàng)建了微積分。他說dx和x相比，如同點和地球，或地球半徑與宇宙半徑相比。在其積分法論文中，他從求曲線所圍面積積分概念，把積分看作是無窮小的和，并引入積分符號f,它是把拉丁文&quo

11、t;Summa”的字頭S拉長。他的這個符號，以及微積分的要領和法則一直保留到當今的教材中。萊布尼茲也發(fā)現(xiàn)了微分和積分是一對互逆的運算，并建立了溝通微分與積分內(nèi)在聯(lián)系的微積分基本定理，從而使原本各自獨立的微分學和積分學成為統(tǒng)一的微積分學的整體。萊布尼茲是數(shù)字史上最偉大的符號學者之一，堪稱符號大師。他曾說：“要發(fā)明，就要挑選恰當?shù)姆?，要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表達和比較忠實地描繪事物的內(nèi)在本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維勞動，”正象印度一一阿拉伯數(shù)學促進算術和代數(shù)發(fā)展一樣，萊布尼茲所創(chuàng)造的這些數(shù)學符號對微積分的發(fā)展起了很大的促進作用。歐洲大陸的數(shù)學得以迅速發(fā)展，萊布尼茲的巧妙符號功

12、不可滅。除積分、微分符號外，他創(chuàng)設的符號還有商“a/b”，比"a:b”，相似“s”，全等“絲”，并“u”，交“口”以及函數(shù)和行列式等符號。牛頓和萊布尼茨對微積分都作出了巨大貢獻，但兩人的方法和途徑是不同的。牛頓是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運用分析學方法引進微積分要領的。牛頓在微積分的應用上更多地結(jié)合了運動學，造詣精深；但萊布尼茲的表達形式簡潔準確，勝過牛頓。在對微積分具體內(nèi)容的研究上，牛頓先有導數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有求積概念，后有導數(shù)概念。除此之外，牛頓與萊布尼茲的學風也迥然不同。作為科學家的牛頓，治學嚴

13、謹。他遲遲不發(fā)表微積分著作流數(shù)術的原因，很可能是因為他沒有找到合理的邏輯基礎，也可能是“害怕別人反對的心理”所致。但作為哲學家的萊布尼茲比較大膽，富于想象，勇于推廣，結(jié)果造成創(chuàng)作年代上牛頓先于萊布尼茲10年，而在發(fā)表的時間上，萊布尼茲卻早于牛頓三年。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異，但殊途同歸。各自獨立地完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，光榮應由他們兩人共享。然而在歷史上曾出現(xiàn)過一場圍繞發(fā)明微積分優(yōu)先權的激烈爭論。牛頓的支持者，包括數(shù)學家泰勒和麥克勞林，認為萊布尼茲剽竊了牛頓的成果。爭論把歐洲科學家分成誓不兩立的兩派：英國和歐洲大陸。爭論雙方停止學術交流，不僅影響了數(shù)學的正常發(fā)展，也波及自然科學領

14、域，以致發(fā)展到英德兩國之間的政治摩擦。自尊心很強的英國民族抱住牛頓的概念和記號不放，拒絕使用更為合理的萊布尼茲的微積分符號和技巧，致使英國在數(shù)學發(fā)展上大大落后于歐洲大陸。一場曠日持久的爭論變成了科學史上的前車之鑒。萊布尼茲的科研成果大部分出自青年時代，隨著這些成果的廣泛傳播，榮譽紛紛而來，他也越來越變得保守。到了晚年，他在科學方面已無所作為。他開始為宮廷唱贊歌，為上帝唱贊歌，沉醉于研究神學和公爵家族。萊布尼茲生命中的最后7年，是在別人帶給他和牛頓關于微積分發(fā)明權的爭論中痛苦地度過的。他和牛頓一樣，都在終生未娶。1761年11月14日，萊布尼茲默默地離開人世，葬在宮廷教堂的墓地。戎馬不解鞍，鎧甲

15、不離傍。冉冉老將至，何時返故鄉(xiāng)？神龍藏深泉，猛獸步高岡。狐死歸首丘，故鄉(xiāng)安可忘！牛頓(Newton,Isaac,1643-1727)自然和自然規(guī)律隱藏在黑夜里，上帝說“降生牛頓”.于是世界就充滿光明.Newtan墓志銘數(shù)學和科學中的巨大進展，幾乎總是建立在作出一點一點滴貢獻的許多人的工作之上.需要一個人來走那最高和最后的一步，這個人要能夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法，有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來，并且足夠大膽地制定一個宏偉的計劃.在微積分中，這個人就是牛頓.牛頓(1642-1727)生于英格蘭烏爾斯托帕的一個小村莊里，父親是在他出生前兩個月去世的,母親管理著丈夫留

16、下的農(nóng)莊，母親改嫁后，是由外祖母把他撫養(yǎng)大.并供他上學.他從小在低標準的地方學校接受教育，除對機械設計有興趣外，是個沒有什么特殊的青年人，1661年他進入劍橋大學的三一學院學習，大學期間除了巴羅(Barrow)外，他從他的老師那里只得到了很少的一點鼓舞，他自己做實驗并且研究當時一些數(shù)學家的著作，如Descartes的幾何，Galileo，Kepler等的著作。大學課和剛結(jié)束，學校因為倫敦地區(qū)鼠疫流行而關閉。他回到家鄉(xiāng)，渡過了1665年和1666年，并在那里開始了他在機械、數(shù)學和光學上偉大的工作，這時他意識到了引力的平方反比定律(曾早已有人提出過)，這是打開那無所不包的力學科學的鑰匙。他獲得了解

17、決微積分問題的一般方法，并且通過光學實驗，作出了劃時代的發(fā)現(xiàn)，即象太陽光那樣的白光，實際上是從紫到紅的各種顏色混合而成的?！八羞@些”牛頓后來說：“是在1665和1666兩個鼠疫年中做的，因為在這此日子里，我正處在發(fā)現(xiàn)力最旺盛的時期，而且對于數(shù)學和（自然）哲學的關心，比其他任何時候都多”。關于這些發(fā)現(xiàn)，牛頓什么也沒有說過，1667年他回到劍橋獲得碩士學位，并被選為三一學院的研究員。1669年他的老師巴羅主動宣布牛頓的學識已超過自己，把“路卡斯（Lucas）教授”的職位讓給了年僅26歲的牛頓，這件事成了科學史上的一段佳話。牛頓并不是一個成功的教員，他提出的獨創(chuàng)性的材料也沒有受到同事們的注意。起初

18、牛頓并沒有公布他的發(fā)現(xiàn)，人們說他有一種變態(tài)的害怕批評的心理。在1672年和1675年發(fā)表光學方面的兩篇論文遭到暴風般的批評后，他決心死后才公開它的成果，雖然，后來不是發(fā)表了自然哲學的數(shù)學原理、光學和普遍的算術等有限的一些成果。牛頓是他那時代的世界著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家。牛頓工作的最大特點是辛勤勞動和獨立思考。他有時不分晝夜地工作，常常好幾個星期一直在實驗室里渡過。他總是不滿中自己的成就，是個非常謙虛的人。他說：“我不知道，在別人看來，我是什么樣的人。但在自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發(fā)現(xiàn)”。牛頓對于科學的興趣要比對于數(shù)學的興趣大