線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯總

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1行列式（一）行列式概念和性質(zhì)1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積一”5、副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)

2、角線元素的乘積乘（7）二6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則A0A*=A.»E*B0B7、n階（n>2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明8、對(duì)角線的元素為a,其余元素為b的行列式的值:abb-bbab-bbba-bbbb-a（三）按行（列）展開9、按行展開定理：(1)任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各個(gè)元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式：(1) |kA|=kn|A|(2) |AB|二|A|B|(3) |At|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5

3、) |A*|二|A|n-1I/卜出(6)若A的特征值XL入2加，則E(7)若A與B相似,則|A|=|B|(五)克萊姆法則11、克萊姆法則：(1)非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,那么方程為唯一解(2)如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0(3)若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0,則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。2矩陣(一)矩陣的運(yùn)算1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：(1)矩陣乘法要求前列后行一致；(2)矩陣乘法不滿足交換律；(因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A1,A*,f(A)時(shí)，可以用交換律)(3) AB=O不能推出A=O或B=O。2、

4、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(5條)(1) (A+B)T=AT+BT(2) (kA)T=kAT(3) (AB)T=BTAT(4) |A1T=|A|(5) (At)t=A(二)矩陣的逆3、逆的定義：AB=EmEBA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A1注：A可逆的充要條件是|A|W04、逆的性質(zhì)：(5條)(1) (kA)-1=1/k-A-1(kw0)(2) (AB)-1=B1-A-1(3) |A-1|=|A|-1(4) (At)-1=(A-1)T(5) (A-1)-1=A5、逆的求法：(1) A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解(2) A為數(shù)字矩陣：(A|E)一初等行變換一(E|A-1)(三)矩陣的初等變換6

5、、初等行(列)變換定義：(1)兩行(列)互換；(2) 一行(列)乘非零常數(shù)c(3) 一行(列)乘k加到另一行(列)7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：(1)初等行(列)變換相當(dāng)于左(右)乘相應(yīng)的初等矩陣(2)初等矩陣均為可逆矩陣，且Ej-1=Ej(i,j兩行互換)；E-1(c)=E(1/c)(第i行(列)乘c)Ej-1(k)=Ej(-k)(第i行乘k加到j(luò))(四)矩陣的秩9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：(1)r(A)=0意味著所有元素為0,即A=O(2) r(Anxn)=n(滿秩)|A|w0-A可逆；r(A)<n<->|A|=

6、0<-小不可逆；(3) r(A)=r(r=1、2、n-1)<-r階子式非零且所有r+1子式均為010、秩的性質(zhì)：(7條)(1) A為mXn階矩陣，則r(A)<min(m,n)(2) r(A±B)&r(A)土(B)(3) r(AB)<minr(A),r(B)(4) r(kA)=r(A)(20)(5) r(A)=r(AC)(C是一個(gè)可逆矩陣)(6) r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)(7)設(shè)A是mxn階矩陣，B是nxs矩陣，AB=O,則r(A)+r(B)<n11、秩的求法：（1） A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解;（2） A為數(shù)字矩陣：A

7、-初等行變換一階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0）,則r（A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）(1) AA*=A*A=|A|E一A*=|A|A-1(2) (kA)*=kn-1A*(3) (AB)*=B*A*(4) |A*|二|A|n-1(5) (At)*=(A*)T(6) (A-1)*=(A*)-1=A|A|-1(7) (A*)*=|A|n-2-A(8)r(A*)=n(r(A)=n);r(A*)=1(r(A)=n-1);r(A*)=0(r(A)<n-1)(六)分塊矩陣13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同14、分塊矩陣求逆:3向量（一）向量的概念及運(yùn)

8、算1、向量的內(nèi)積：（a,B）=aT0=BTa2、長(zhǎng)度定義：|a|=即=屈=&"十一W3、正交定義：（a,B）=aTB=BTa=a1b1+&b2+一+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E<->A1=AT<->ATA=E-|A|=±1(二)線性組合和線性表示5、線性表示的充要條件：非零列向量B可由ai,a2,，as線性表示ME齊次線性方程組(ai,a2,，as)(Xi,，Xs)T=B有解。(2)<>r(ai,a2,，as)=r(ai,a2,，as,B)(系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗(yàn))6

9、、線性表示的充分條件：(了解即可)若ai,a2,，as線性無關(guān)，ai,a2,，as,B線性相關(guān)，則0可由ai,a2,，as線性表小。7、線性表示的求法：(大題第二步)設(shè)ai,a2,，as線性無關(guān)，0可由其線性表示。(ai,a2,，as|B)初等行變換(行最簡(jiǎn)形|系數(shù))行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0的數(shù)為i,其余元素均為0(三)線性相關(guān)和線性無關(guān)8、線性相關(guān)注意事項(xiàng)：(1) a線性相關(guān)<>a=0(2) ai,a2線性相關(guān)<>ai,a2成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組小，a2,，as線性相關(guān)(D一f有個(gè)向量可由其余向量線性表示；(2)<疥次方程(ai,a2,，as)(X

10、i,X2,，Xs)T=0有非零解；(3)-T(ai,a2,，as)<s即秩小于個(gè)數(shù)特別地，n個(gè)n維列向量ai,a2,，an線性相關(guān)(1) <>r(ai,a2,，an)<n(2) <>|ai,a2,，*|=0(3) <>(ai,a2,，an)不可逆10、線性相關(guān)的充分條件：(1)向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)(2)部分相關(guān)，則整體相關(guān)(3)高維相關(guān)，則低維相關(guān)(4)以少表多，多必相關(guān)推論：n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)11、線性無關(guān)的充要條件向量組a1,a2,，as線性無關(guān)(1) 一一任意向量均不能由其余向量線性表示；(2)疥次方程(a1,a2

11、,，as)(x1，X2,，Xs)T=0只有零解(3)>T(a1,a2,，as)=S特別地，n個(gè)n維向量a1,a2,，an線性無關(guān) T(a1,a2,，an)=n>|a1,a2,，an|W0<巨陣可逆12、線性無關(guān)的充分條件：(1)整體無關(guān)，部分無關(guān)(2)低維無關(guān)，高維無關(guān)(3)正交的非零向量組線性無關(guān)(4)不同特征值的特征向量無關(guān)13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定(1)定義法 (2)秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】(1)在矩陣左邊乘列滿秩矩陣(秩=列數(shù))，矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。(2)若n維列向量a1,a2,a3線性無關(guān)，01

12、,02,B3可以由其線性表示，即(01,02,03)=(4，a2,a3)C,則(儲(chǔ)，02,B3)=T(C),從而線性無關(guān)。木(01,02,03)=3>|C|w0(四)極大線性無關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無關(guān)組不唯一15、向量組的秩：極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù):向量組al,a2,，as的秩與矩陣A=(a1,a2,，as)的秩相等 16、極大線性無關(guān)組的求法(1) a1,a2,，as為抽象的：定義法(2) a1,a2,，as為數(shù)字的：a1,a2,，as)一初等行變換一階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組(五)向量空間17、基

13、(就是極大線性無關(guān)組)變換公式：若a1,口2,，an與01,。2,，Bn是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為(01,02,，Bn)=(a1,a2,，an)Gxn其中，C是從基a1,a2,，an到01,02,，Bn的過渡矩陣。C=(a1,a2,，an)-1(01,02,，Bn)18、坐標(biāo)變換公式：向量丫在基a1,a2,，an與基01,02,，Bn的坐標(biāo)分別為x=(X1,X2,，Xn)T,y=(y1,y2,，yn)T,即丫=X1a1+X2a2+Xnan=y101+y2p2+ynBn,則坐標(biāo)變換公式為乂子丫或y=C1X。其中，C是從基a1,a2,，an到01,02,，Bn的過渡矩陣。C=(a1,

14、a2,，an)-1(B1,02,，Bn)(六)SchmidtiE交化19、Schmidt正交化設(shè)a1,a2,a3線性無關(guān)(1)正交化1=a1自一(昂自產(chǎn)血血仍(2)單位化4線性方程組(一)方程組的表達(dá)形與解向量1、解的形式：(1)一般形式矩陣形式：Ax=b;(3)向量形式：A=(ai,口2,，aQ2、解的定義：若q=(ci,C2,，Cn)T滿足方程組Ax=b,即A4=b,稱“是Ax=b的一個(gè)解(向量)(二)解的判定與性質(zhì)3、齊次方程組：(1)只有零解T(A)=n(n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù))(2)有非零解T(A)<n4、非齊次方程組：(1)無解<->r(A)<r(A

15、|b)<->r(A)=r(A)-1(2)唯一解<-T(A)=r(A|b)=n(3)無窮多解t(A)=r(A|b)<n5、解的性質(zhì)：(1)若己1,己2是Ax=0的解，貝Uk1+笈己2是Ax=0的解(2)若己是Ax=0的解，4是Ax=b的解，貝U己+4是Ax=b的解(3)若41,42是Ax=b的解，貝U刀1-42是Ax=0的解【推廣】(1)設(shè)41,42,“S是Ax=b的解，則ki4i+k22+一/s為-Ax=b的解(當(dāng)2ki=1)"!Ax=0的解(當(dāng)2ki=0)(2)設(shè)刀1,刀2,，"s是Ax=b的S個(gè)線性無關(guān)的解，則“2-刀1,刀3-41,4s4i為A

16、x=0的s-1個(gè)線性無關(guān)的解。變式：41-42,刀3-42,，"s-T242-41,刀3-42,，刀s-4s-1(三)基礎(chǔ)解系6、基礎(chǔ)解系定義：(1)己1,己2,，Ws是Ax=0的解(2)己1,己2,，Es線性相關(guān)(3)Ax=0的所有解均可由其線性表示一基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組注：基礎(chǔ)解系不唯一。任意n-r(A)個(gè)線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系7、重要結(jié)論：(證明也很重要)設(shè)A施mXn階矩陣，B是nXs階矩陣，AB=O(1) B的列向量均為方程Ax=0的解(2) r(A)+r(B)&n(第2章，秩)8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法(1) A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r(A)個(gè)線性

17、無關(guān)的解(2) A為數(shù)字的：A一初等行變換一階梯型自由未知量分別取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系(四)解的結(jié)構(gòu)(通解)9、齊次線性方程組的通解(所有解)設(shè)r(A)=r,11,七2,，En-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k141+k242+kn-r4n-r(其中k1,k2,，kn-r為任意常數(shù))10、非齊次線性方程組的通解設(shè)r(A)=r,己2,，En-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，”為人乂小的特解，則人乂小的通解為4+kiri+k2T2+kn-r”n-r(其中%,k2,，%-r為任意常數(shù))(五)公共解與同解11、公共解定義：如果a既是方程組Ax=0的解

18、，又是方程組Bx=0的解，則稱a為其公共解12、非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解<>x-0有非零解一13、重要結(jié)論(需要掌握證明)(1)設(shè)A是mXn階矩陣，則齊次方程ATAx=WAx=0同解，r(ATA=r(A)(2)設(shè)A是mXn階矩陣，r(A)=n,B是nXs階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r(AB)=r(B)5特征值與特征向量(一)矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)人及非零列向量a,使得Aa=入a,稱a是矩陣A屬于特征值人的特征向量。2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|入E-A|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式

19、(入的n次多項(xiàng)式)。|入E-A|=0稱為矩陣A的特征方程(入的n次方程)。注:特征方程可以寫為|A-入E|=03、重要結(jié)論：(1)若a為齊次方程Ax=0的非零解，則Aa=0-a,即a為矩陣A特征值人=0的特征向量(2)A的各行元素和為k,則(1,1,1)T為特征值為k的特征向量。(3)上(下)三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法(1) A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊(2) A為數(shù)字的：由特征方程法求解5、特征方程法：(1)解特征方程|入E-A|=0,得矩陣A的n個(gè)特征值入1,入2,，入n注：n次方程必須有n個(gè)根(可有多重根，寫作入1=入2=-=入尸實(shí)數(shù)，不能

20、省略)(2)解齊次方程(入iE-A)=0,得屬于特征值入i的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系(共n-r(入iE-A)個(gè)解)6、性質(zhì)：(1)不同特征值的特征向量線性無關(guān)(2) k重特征值最多k個(gè)線性無關(guān)的特征向量1<n-r(入iE-A)<ki(3)設(shè)A的特征值為入1,入2,，入n,則|A|二口入i,2Xi=2aii(4)當(dāng)r(A)=1,即A=aBT,其中a,B均為n維非零列向量，則A的特征值為入1=2ai=a,6=0Ta,入2=一=入n=0(5)設(shè)a是矩陣A屬于特征值人的特征向量，則Af(A)ATA-1A*P1AP(相似)f(N入-1|A|入1X0，a/aaP1a(二)相似矩陣7、相

21、似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P1AP,稱A與B相似，記作AB8、相似矩陣的性質(zhì)(1)若A與B相似，則f(A)與f(B)相似(2)若A與B相似，B與C相似，則A與C相似(3)相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡(即主對(duì)角線元素之和)【推廣】(4)若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B1相似，A*與B*也相似(三)矩陣的相似對(duì)角化9、相似對(duì)角化定義：卜如果A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P,使得P-1AP=A=L4，稱A可相似對(duì)角化。注：Aai=Xiai(aiW0,由于P可逆)，故P的每一列均為矩陣A的特征值入i的特征向

22、量10、相似對(duì)角化的充要條件(1) A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量(2) A的k重特征值有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量11、相似對(duì)角化的充分條件：(1) A有n個(gè)不同的特征值(不同特征值的特征向量線性無關(guān))(2) A為實(shí)對(duì)稱矩陣12、重要結(jié)論：(1)若A可相似對(duì)角化，則r(A)為非零特征值的個(gè)數(shù)，n-r(A)為零特征值的個(gè)數(shù)(2)若A不可相似對(duì)角化，r(A)不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)(四)實(shí)對(duì)稱矩陣13、性質(zhì)(3) 特征值全為實(shí)數(shù)(4) 不同特征值的特征向量正交(3) A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P-1APW(4) A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q,使得Q-1AQ=QTAQ=6二次型(一)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型：(1) 一般形式(2)矩陣形式(常用)2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f(Xi,X2,Xn)=diXi2+d2X?2+,+dnXn2這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形(對(duì)角線)3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：(1)配方法：通過可逆線性變換X=Cy(C可逆)，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到。(2)正交變換法：通過正父變換X=Qy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形入iyi2+入2y22+入nyn2其中，入i,入2,，入n是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不