如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系

1、如何建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算， 使解立體幾何問(wèn)題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一.下面通過(guò)舉例分析建立空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)方法.一、利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，可以利用這三條直線直接建系，再寫(xiě)出空間點(diǎn)的坐標(biāo).例 1、在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD A1B1C1D1中，M、N 分別為 AIBI和BBi的中點(diǎn)， 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并且寫(xiě)出點(diǎn)A、C、M、N 的坐標(biāo)。分析：本題中，可以以點(diǎn) D 為原點(diǎn)，交于點(diǎn) D 的三條直線DA、DC、D

2、D1為坐標(biāo)軸 建立坐標(biāo)系。解：建立如下圖所示坐標(biāo)系，把D 點(diǎn)視作原點(diǎn) 0,分別沿DA、DC、DD1方向?yàn)?x軸、y 軸、z 軸的正方向，點(diǎn) A 在 x 軸上，且DA=1，它的橫坐標(biāo) x 是 1，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo) 都為零，則 A (1 , 0, 0),同樣地，點(diǎn) C 在y軸上，它的縱坐標(biāo)y是 1,橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都點(diǎn)評(píng)：對(duì)于正方體和長(zhǎng)方體，可以直接建立右手直角坐標(biāo)系，例為零，則 C ( 0, 1 ,0), M點(diǎn)在面同A1的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同,1N(11,再根據(jù)棱長(zhǎng)寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)。CA=CB=1，/ BCA=90 ,又 M 為 AB 的中點(diǎn),2、 如下圖，直棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 中,

3、I棱 AAI=2 , M、N 分別是 AiBi、AiA 的中點(diǎn).分析：由題意可知，直線CA、CB、CCi兩兩垂直，故可以以點(diǎn)C 為原點(diǎn)，直線CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。解：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CA為 x 坐標(biāo)軸，、CB為y坐標(biāo)軸、CC1為z坐標(biāo)軸，建立 空間直角坐標(biāo)系。點(diǎn) A 在 X 軸上，且CA=1，它的橫坐標(biāo) x 是 1，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為零，則 A（ 1，0， 0），同樣地，點(diǎn) B 在y軸上，它的縱坐標(biāo)y是 1,橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)都為零，則 B（ 0，1，0）， M 點(diǎn)在面xOy的射影是A，因此 M 同A1的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相同，又 M 為 AB 的中點(diǎn)，故111其縱坐標(biāo)值為

4、丄，故 M （1，-，1），同理可得 N （1，1，-）.222點(diǎn)評(píng)：對(duì)于直棱柱，如果已知條件中出現(xiàn)三條兩兩垂直的棱，可以直接建立右手直角坐標(biāo)系，再根據(jù)棱的長(zhǎng)度寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)。二、利用圖形中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒(méi)有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對(duì)稱(chēng)關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對(duì)稱(chēng)性可建立空間直角坐標(biāo)系，再寫(xiě)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)。例 3、已知兩個(gè)正四棱錐 P ABCD 與 Q ABCD 的高都為 2, AB = 4,兩個(gè)正四棱錐底 面重合，試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo).I分析：連結(jié) AC、BD，設(shè) AC BD =0.由 P ABCD 與 Q ABCD 都是正四棱錐，所以P

5、0 丄平面 ABCD ,Q0 丄平面 ABCD .從而 P、O、Q 三點(diǎn)在一條直線上，所以 PQ 丄平面 ABCD . 又因?yàn)檎叫蜛BCD對(duì)角線AC與BD互相垂直，故可以得到0A、OB、0P三條直線兩 兩互相垂直，從而可以建立空間直角坐標(biāo)系。解：由題設(shè)知，ABCD 是正方形，所以 AC 丄 BD.由(I), Q0 丄平面 ABCD .故可分別 以直線 CA、DB、QP 為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 P( 0, 0, 2) , A (2、2,0, 0),B ( 0,2 罷,0), C (-242, 0, 0),D (0,2、2, 0) Q

6、 (0 , 0 , 2),點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱(chēng)性， 建立空間 直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)容易得出.三、利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理， 作出互相垂直且交于點(diǎn)的三條直線,建立坐標(biāo)系，再寫(xiě)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)。例 4、正三棱柱 ABC AIBICI的底面邊長(zhǎng)為 a,側(cè)棱長(zhǎng)為.2a 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并 寫(xiě)出點(diǎn) A、B、A1B1的中點(diǎn) M 的坐標(biāo).分析：兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 如果兩個(gè)平面垂直， 那么過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作 它的交線的垂線與另一個(gè)平面垂直，故由題意，過(guò)點(diǎn)A 作 AB 直線的垂線，并且以該直線為0 x 軸，可以建立空間直角坐標(biāo)系

7、。解：如下圖，以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn) 0,以 AB 所在直線為 0y 軸，以 AA1所在直線為 0z 軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面 ABB1A1垂直的直線為 0 x 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，容易得 A (0, 0, 0), B (0, a, 0), Ai(0, 0,a),下面重點(diǎn)談?wù)勅绾斡?jì)算點(diǎn) C 的坐標(biāo)，在平面 ABC 中，過(guò)點(diǎn) C 作直線 AB 的垂線 CD 交 AB 于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) C 作11兀J3XA的垂線于點(diǎn) E,則在等邊三角形ABC中,AD =AB寧，AE二AC8 肓寧，從而點(diǎn) C 的橫坐標(biāo) x 是- a ,2一1一縱坐標(biāo)為一a，豎坐標(biāo)為零，故2C (一乜a,a,0)，點(diǎn) C2 2DCBy一點(diǎn)評(píng)：利用面面