數(shù)列的通項(xiàng)公式求解方法經(jīng)典整理

1、數(shù)列的通項(xiàng)公式求解方法經(jīng)典整理旭日東升QQ：一、定義法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。1概念與公式：等差數(shù)列：1°.定義：若數(shù)列稱等差數(shù)列；2°.通項(xiàng)公式：3°.前n項(xiàng)和公式：公式：等比數(shù)列：1°.定義若數(shù)列（常數(shù)），則稱等比數(shù)列；2°.通項(xiàng)公式：3°.前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)2簡單性質(zhì)：首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列1°.若是等差數(shù)列，則2°.若是等比數(shù)列，則中項(xiàng)及性質(zhì)：1°.設(shè)a，A，b成等差數(shù)列，則A稱a、b的等差中項(xiàng)，且2°.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則G稱a、b的等比中項(xiàng)，且設(shè)p、q、r、s為

2、正整數(shù)，且1°. 若是等差數(shù)列，則2°. 若是等比數(shù)列，則順次n項(xiàng)和性質(zhì)：1°.若是公差為d的等差數(shù)列，組成公差為n2d的等差數(shù)列；2°. 若是公差為q的等比數(shù)列，組成公差為qn的等比數(shù)列.（注意：當(dāng)q=1，n為偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立）若是等比數(shù)列，則順次n項(xiàng)的乘積：組成公比這的等比數(shù)列.若是公差為d的等差數(shù)列,1°.若n為奇數(shù)，則而S奇、S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和）；2°.若n為偶數(shù)，則1.等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，由得：， 點(diǎn)評：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注

3、意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。2. 在等差數(shù)列 ；在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列 。解析：0,3.已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_；二、觀察法給出前幾項(xiàng)（或用圖形給出），求通項(xiàng)公式一般從以下幾個(gè)方面考慮：符號相隔變化用(-1)的n次方來調(diào)節(jié)。 分式形式的數(shù)列，注意分子、分母分別找通項(xiàng)，并注意分子與分母的聯(lián)系。 分別觀察奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的變化規(guī)律，用分段函數(shù)的形式寫出通項(xiàng)。觀察是否與等差數(shù)列和等比數(shù)列相聯(lián)系。 分析相鄰項(xiàng)的關(guān)系。如果需要證明，使用數(shù)學(xué)歸納法。例： 求以下數(shù)列的通項(xiàng)公式1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49-3,7,-13,21,-311,4,9,16解

4、析：將1/2改成2/4,3/8改成6/16，5/18改成10/36，原數(shù)列就為2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49，所以通項(xiàng)公式為an=2n/(n+1)²：符號相隔變化用(-1)的n次方來調(diào)節(jié)，數(shù)列3，7，13，21，31，的通項(xiàng)公式：后項(xiàng)與前項(xiàng)差為4、6、8、10，把第一項(xiàng)3分為1+2，數(shù)列2、4、6、8、10，為等差數(shù)列，公差d=2，通項(xiàng)：2+2(n-1)=2n，則bn=1+2+4+6+2n=1+=n²+n+1 所以an=(-1)n(n²+n+1) 第二種辦法：數(shù)列3，7，13，21，31，看作：4-1，9-2，16-3，25-4，36-

5、5，所以an= =：an=n²例： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。1. （廣東卷）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則_；當(dāng)時(shí)，_2.（2008·福州檢測）圖（1），（2），（3），（4）分別包含1,5,13和25個(gè)

6、互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第50個(gè)圖包含 個(gè)互不重疊的單位正方形.3（2006年廣東卷）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就1個(gè)乒乓球；第2、3、4、堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用含有n的式子表示）4.如圖,作邊長為的正三角形的內(nèi)切圓,在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后,再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去,則前個(gè)內(nèi)切圓的面積和為_解析：設(shè)第個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為,因?yàn)?/p>

7、從第2個(gè)正三角形開始,每一個(gè)正三角形的邊長是前一個(gè)正三角形邊長的,每一個(gè)正三角形內(nèi)切圓的半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的.由題意知,.故前個(gè)內(nèi)切圓的面積和為.5.學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明,凡是在星期一選A種菜的,下星期一會有20% 改選B種菜;而選B種菜的,下星期一會有30% 改選A種菜.用分別表示在第個(gè)星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù),如果,求.解析：依題意得，消去得：.由得,從而得.一般地，可推出，若，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列則6.觀察下列數(shù)表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15則2 008是此表中的第

8、 行的第 個(gè)數(shù). 7.將數(shù)列3n-1按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），（3，9），（27，81，243），則第100組中的第一個(gè)數(shù)是 . 8.將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： 記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足 （）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)當(dāng)時(shí)，求上表中第行所有項(xiàng)的和9.（福建卷）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；若報(bào)出的是為3

9、的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為 。解析：這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問題的根本，否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.首先求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡單了.這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開始遞增，且是前兩項(xiàng)之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可見余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個(gè)周期內(nèi)第四個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)都

10、是3的倍數(shù)，所以在三個(gè)周期內(nèi)共有6個(gè)報(bào)出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個(gè)報(bào)出的數(shù)中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個(gè)是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共有7個(gè)，也就是說拍手的總次數(shù)為7次.s.5.u.c三、公式法：1已知（即）求，用作差法：。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評：利用公式求解時(shí)，要注意對n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并練一練：已知的前項(xiàng)和滿足，求；數(shù)列滿足，求；2作商法已知求，用作商法：。例如：數(shù)列中，對所有的都有，則_ ；四.累加法（迭加法）：若求：。例. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，例. 已知數(shù)

11、列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列滿足，則=_ ；五.累乘法（迭乘法）：已知求，用累乘法：。例. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，例. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)：已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求六.構(gòu)造法.已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。（1）形如、，（為常數(shù)） 等一系列 一階線性遞推數(shù)列都可以直接或者用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為

12、的等比數(shù)列后，再求。解法：待定系數(shù)法，直接令，展開后，與原式比較，求得，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.解法一：該類型較類型要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決。 解法二：也可以待定系數(shù)法，直接令來構(gòu)造等比數(shù)列例. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用解法得：所以例. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評注：本題

13、解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。待定系數(shù)法解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。待定系

14、數(shù)法解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。為常數(shù)）若數(shù)列滿足為常數(shù)），則令來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項(xiàng)相等求的值，求通項(xiàng)公式。例 已知數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，求數(shù)列的通項(xiàng)若數(shù)列滿足為常數(shù)），則令來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項(xiàng)相等求的值，求通項(xiàng)公式。例.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得 由及式，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：

15、本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。練一練已知，求；已知，求；數(shù)列中，求（2）形如、（為常數(shù)）的二階線性遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。例：在數(shù)列中，已知，求解析：由，得式+式，得，從而有數(shù)列是以為其周期故例：在數(shù)列已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列令使數(shù)列是以 為公比的等比數(shù)列(待定)即對照已知遞推式，  有即的兩個(gè)實(shí)根從而或由式得；由式得消去練一練(2007天津高考題)已知數(shù)列滿足，（）其中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式來源:Zxxk.Co（3）形如的非線性遞推數(shù)

16、列且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列。例：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，例：已知數(shù)列滿足=1，求；（4）、對數(shù)變換法高于一次的遞推數(shù)列，這類數(shù)列適當(dāng)變換后，通常可取對數(shù)來解決。這類數(shù)列可取對數(shù)得（c為常數(shù)），從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.例：已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中求數(shù)列的通項(xiàng)解：由已知，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.例： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（迭代法）因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。例：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?/p>

17、，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得 由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知函數(shù)，又?jǐn)?shù)列中，其前項(xiàng)和為，對所有大于1的自然數(shù)都有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。七、形如（mi為常數(shù)）的多階線性遞推數(shù)列例（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可

18、得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。特殊的n階遞推數(shù)列例、已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式解析：      ，得故有將這幾個(gè)式子累乘，得又例、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析：由 ，得 式式，得，或，故有.,.將上面幾個(gè)式子累乘，得，即也滿足上式，八、不動點(diǎn)法（特征方程法、特征根法）定理1設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足其中設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因?yàn)橛商卣鞣匠痰米鲹Q元則當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用.例、已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以

19、為公比的等比數(shù)列.于是例、已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須定理如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根（稱作特征根）時(shí)，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時(shí)，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、（稱作特征根）時(shí)，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則                

20、60;       是特征方程的根，將該式代入式得   將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是                                當(dāng)，即=時(shí)，由式得故當(dāng)即時(shí)，由、

21、兩式可得此時(shí)可對式作如下變化：       由是方程的兩個(gè)相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.其中當(dāng)時(shí)，當(dāng)存在使時(shí)，無意義.故此時(shí)，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：特征方程有兩個(gè)相異的根、，其中必有一個(gè)特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得        由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由式可得：        特征方程有兩個(gè)相異根、方程有兩個(gè)相異根、，而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當(dāng)即時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時(shí)對于都有當(dāng)即時(shí)，上式也成立.由且可知所以(證畢)注：當(dāng)時(shí),會退化為常數(shù);當(dāng)時(shí),可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.例、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式.解：依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例、已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無