中考數(shù)學(xué)圓的綜合的綜合專項(xiàng)訓(xùn)練及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)圓的綜合的綜合專項(xiàng)訓(xùn)練及詳細(xì)答案一、圓的綜合1.如圖，。是4ABC的外接圓，點(diǎn)E為4ABC內(nèi)切圓的圓心，連接AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)D;連接BD,過(guò)點(diǎn)D作直線DM,使/BDM=/DAC.(1)求證：直線DM是。O的切線；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2J3【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,進(jìn)而彳#到ODLDM,據(jù)此可得直線DM是。的切線；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到DB2=DF?DA,據(jù)此解答即可.【詳解】(1)如圖

2、所示，連接OD.點(diǎn)E是4ABC的內(nèi)心,ZBAD=ZCAD,BdCd,OD±BC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD為。O半徑，.直線DM是。的切線.(2)連接BE.E為內(nèi)心，/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB（公共角），.DBFsDAB,.正里即DB2=DF?DADBDA'.DF=2,AF=4,DA=DF+AF=6,.DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.【

3、點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條??；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.2.如圖，點(diǎn)A、B、C分別是。上的點(diǎn)，CD是。的直徑，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),AP=AC(1)若/B=60°,求證：AP是。的切線；(2)若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E,CD=4,求BEAB的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)8.【解析】(1)求出/ADC的度數(shù)，求出/P、/ACQ/OAC度數(shù)，求出/OAP=90,根據(jù)切線判定推出即可；(2)求出BD

4、長(zhǎng)，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.CD是直徑,/DAC=90；/ACO=180-90-6030； .AP=AC,OA=OC/OAC=ZACD=30；/P=ZACD=30,°/OAP=180-30-30-3090；即OALAP, .OA為半徑， .AP是。切線.(2)連接AD,BD,.CD是直徑,/DBC=90；.CD=4,B為弧CD中點(diǎn),一人"BD=BC=e,/BDC=ZBCD=45,°/DAB=ZDCB=45；即/BDE=/DAB,/DBE=ZDBA,.,.DBEAABD,BDAB.至工前.,.BE?AB=BD?BD=V2X2G=8考

5、點(diǎn)：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì).3.如圖1,直角梯形OABC中，BC/OA,OA=6,BC=2,/BAO=45°.(2)D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作OM,OM交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)OM與y軸相切時(shí)，sin/BOQ=;(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn)B沿折線B-C-。向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作直線PE/OC,與折線O-B-A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】(1)4;(2);(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、(,

6、)>(4,2).533分析：(1)過(guò)點(diǎn)B作BHOA于H,如圖1(1),易證四邊形OCBH是矩形，從而有OC=BH,只需在4AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出BH即可.(2)過(guò)點(diǎn)B作BHLOA于H,過(guò)點(diǎn)G作GF,OA于F,過(guò)點(diǎn)B作BR±OG于R,連接MN、DG,如圖1(2),則有OH=2,BH=4,MNLOC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.在BHD中運(yùn)用勾股定理可求出r=2,從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重合.易證AFGAADB,從而可求出AF、GF、OF、OSOB、AB>BG.設(shè)OR=x,利用BR2=OB2-OR2=BG2-RG2可求出x,進(jìn)而可求出BR在RORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解

7、決問(wèn)題.(3)由于4BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況(ZBDE=90°,ZBED=90°,ZDBE=90°)討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)建立關(guān)于t的方程就可解決問(wèn)題.詳解：(1)過(guò)點(diǎn)B作BHLOA于H,如圖1(1),則有/BHA=90°=/COA,OC/BH. BC/OA,.四邊形OCBH是矩形，.OOBH,BC=OH. OA=6,BC=2,AH=0A-OH=OA-BC=6-2=4. ZBHA=90°,ZBAO=45°,tan/BAH=BH-=1,BH=HA=4,OC=BH=4.HA故答案為4.(2)

8、過(guò)點(diǎn)B作BHOA于H,過(guò)點(diǎn)G作GF±OA于F,過(guò)點(diǎn)B作BR±OG于R,連接MN、DG,如圖1(2).由(1)得：OH=2,BH=4.OC與。M相切于N,MN±OC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.BC±OC,OA±OC,BC/MN/OA.一一一一1, BM=DM,CN=ON,，MN=(BGOD),.OD=2r-2,2.DH=ODOH在RtABHD中,=2r4.解得：r=2,DH=0,BD是。M的直徑，GF±OA,BDXOA,AFGFAG1AD-BD"AB"2ZBHD=90°,BD2=BH2+DH2

9、,(2r)2=42+(2r-4)2.即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，BDX0A,BD=AD./BGD=90°,即DGXAB,BG=AG.GF/BD,AAFGAADB,AF=1AD=2,GF=1BD=2,，OF=4,22-og=Jof2_gf2=V42?=2而.一一1一同理可得：OB=2而，AB=472，-BG=-AB=272-2設(shè)OR=x,則RG=2J5x.BR±OG,ZBRO=ZBRG=90°,BR2=OB2-OR2=BG2-RG2,(2而)2-x2=(272)2-(2石x)2.解得：x=M,，BF2=OB2-OR2=（2Q）2-（逃）2=36,，BR=_6/5.5555在R

10、tAORB中,BRsin/BOR=2；5OB3故答案為一.5（3）當(dāng)/BDE=90°時(shí)，點(diǎn)D在直線PE上，如圖2.此時(shí)DP=OC=4,BD+OP=BD+CD=BC=2,BD=t,0PM.則有2t=2.解得：t=1.則OP=CD=DB=1.DE/OC,ABDEABCO,/.DE=-BD=1,.DE=2,.EP=2,OCBC2點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）.當(dāng)/BED=90°時(shí)，如圖3./DBE=OBC,ZDEB=ZBCO=90°,DBEAOBC,BEDBBEt、5=,=-產(chǎn)，-BE=1.BCOB22.55PE/OC,ZOEP=ZBOC.ZOPE=ZBCO=90°,

11、AOPEABCO,OEOPOEt八=，=，,OE=v5t.OBBC2.52OE+BE=OB=2、5,5解得：t=5,.OP=5,t+爭(zhēng)=2芯.OE=竽，喑丘2op2=£，,_一510、.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（一，）4.33當(dāng)/DBE=90°時(shí)，如圖此時(shí)PE=PA=6t,OD=OC+BC-t=6-t.貝U有OD=PE,EA=7pE1_PA2-=V2（6t）=6我一72>,.BE=BA-EA=472-（65/2-72t）=t-272-PE/OD,OD=PE,ZDOP=90°,，四邊形ODEP是矩形，.DE=OP=t,DE/OP,/BED=ZBAO=45:，BE2在RtA

12、DBE中，cosZBED=-=-,-DE=J2BE,t=歷質(zhì)t-2折）=2t-4.解得：t=4,.0P=4,PE=6-4=2,，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,2）.綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）、(4,2)點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定®1(2)義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性.4.如圖，在銳角4ABC中，AC是最短邊.以AC為直徑的。O,交BC于D,過(guò)O作OE/BC,交OD于E,連接ADAE、CE(1)求證：/ACE玄DCE；(2)若/B

13、=45,/BAE=15,求/EAO的度數(shù)；【答案】(1)證明見(jiàn)解析,【解析】2)60。；(3)433【分析】(1)易證/OEG/OCE/OEG/ECD從而可知ZOCE=ZECD,即/ACE=/DCE;(2)延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,易證ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于OE/BC,所以/AEO=/AGC=60；所以/EAO=/AEO=60-SVCOE1,一SVCDF2.、，SVCDF1(3)易證VC°-由于資D工所以三空=，由圓周角定理可知SVCAE2SVCOE3SVCAE3/AEO/FDO90；從而可證明CDQ4CEA利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】(1) OC

14、=OE,ZOEC=ZOCE1.OE/BC,./OEG/ECD/OCE=/ECD即/ACE=/DCE(2)延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G./AGC是ABG的外角，ZAGC=ZB+ZBAG=60:1. OE/BC,/AEO=ZAGC=60:.OA=OE,/EAO=ZAEO=60:(3):。是AC中點(diǎn)，SVC沮SVCAE2SVCDFQSVCOESVCDF1=SVCAE3.AC是直徑，/AEO/FDO90:/ACE=/FCD,ACDFACEA，碧=3'-CF=CA=43【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，需要學(xué)

15、生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).5.已知AB,CD都是eO的直徑，連接DB,過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.1如圖1,求證：AOD2E1800；2如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AFEC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DGAB,垂足為點(diǎn)G,求證：DGCF;DG3八3如圖3,在2的條件下，當(dāng)一時(shí)，在eO外取一點(diǎn)H,連接CH、DH分別交CE4eO于點(diǎn)M、N,且HDEHCE，點(diǎn)P在HD的延長(zhǎng)線上，連接PO并延長(zhǎng)交CM于點(diǎn)Q,若PD11,DN14,MQOB,求線段HM的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)8J37【解析】【分析】(1)由/D+/E=90°,可得2/D+2/E=180°,只要證明/

16、AOD=2/D即可；(2)如圖2中，作OR，AF于R.只要證明4AO宅ODG即可；(3)如圖3中，連接BGOM、ON、CN,彳BTLCL于T,作NK±CH于K,設(shè)CH交DE于W.解直角三角形分別求出KM,KH即可；【詳解】1證明：如圖1中，QeO與CE相切于點(diǎn)C,OCCE,OCE900,DE900,2D2E180°,QAODCOB,BOC2D,AOD2D,AOD2E18002證明：如圖2中，作ORAF于R.QOCFFORF90°,四邊形OCFR是矩形，AF/CD,CFOR,AAOD,在VAOR和VODG中，QAAOD,AROOGD90°，0ADO，VAO

17、RVODG,ORDG,DGCF,3解：如圖3中，連接BCOM、ON、CN,彳BTCL于T,作NKCH于K,設(shè)CH交DE于W.設(shè)DG3m,則CF3m,CE4m,QOCFFBTE900,AF/OC/BT,QOAOB,CTCF3m,ETm,QCD為直徑，CBDCND900CBE，E90°EBTCBT,tanEtanCBT,BTCT,ETBTBT3m，mBTBTJ3m（負(fù)根已經(jīng)舍棄），tan，3mmE60°，QCWDHDEH,HDEHCE,HE60°，MON2HCN600,QOMON,VOMN是等邊三角形,MNON,QQMOBOM,MOQMQO,QMOQPON180oMO

18、N120°,MQOP180oH1200,PONP,ONNP141125,CD2ON50,MNON25,在RtVCDN中，CNJCD2DN2癡214248，在RtVCHN中，tanH空出-73,HNHNHN16百，1&在RtVKNH中，KH-HN8<3,NKHN24,22在RtVNMK中，mKJMN2NK2,2522427,HMHKMK8后7.本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解題的關(guān)鍵.6.如圖1,將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90得到OB,點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌

19、跡為AB，P是半徑ob上一動(dòng)點(diǎn)，q是Ab上的一動(dòng)點(diǎn)，連接pq.發(fā)現(xiàn)：ZPOQ=時(shí)，PQ有最大值，最大值為;思考：(1)如圖2,若P是OB中點(diǎn)，且QPLOB于點(diǎn)P,求？Q的長(zhǎng)；(2)如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在OA的延長(zhǎng)線上，求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB恰好與半徑OA相切，切點(diǎn)為C,若OP=6,求點(diǎn)O到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn)：90°,10J2；思考：(1)-；(2)25兀-100/2+100；(3)點(diǎn)O到折痕PQ的距離為J30.【解析】分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B

20、重合，即可得出結(jié)論；思考：(1)先判斷出/POQ=60,最后用弧長(zhǎng)用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；(2)先在RtAB'OP中，OP2+(10J2-10)2=(10-OP)2,解得OP=10j2-10,最后用面積的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O',連接OO'、O'BO'CO'R證明四邊形OCOB是矩形，由勾股定理求O'H從而求出OO的長(zhǎng)，則OM=OC(/3q.2詳解：發(fā)現(xiàn)：:p是半徑ob上一動(dòng)點(diǎn)，q是ab上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，此時(shí)，/POQ=90,PQ=7OA2OB2=1072；思考：(1)

21、如圖，連接OQ,()點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，1 1.OP=-OB=-OQ.,.QPXOB,/ OPQ=90°OP1在RtAOPQ中cos/QOP=一OQ2/ QOP=60；601010/ bq=-;(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP=BP,在RtB'OP中，OP2+(10亞-10)2=解得OP=10j2-10,1803AB=AB=1072,-29010S陰影=S扇形aob-2Saaop=360(10-OP)21 10(10210)2 =25兀-100J2+100；探究：如圖2,找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)O',連接OO、O'RO'CO'R則OM=OM,OOPQ,

22、O'P=OP=3點(diǎn)O'是?Q所在圓的圓心,圖1圄？ ,.O'C=OB=10;折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點(diǎn), .O'dAO, O'(/OB, 四邊形OCO'庭矩形，在RtO'BPKO'B=62422V5，在.OBOK,OO=102(275)2=2而，1 1一.OM=OOX273q=J30,22即O到折痕PQ的距離為聞.點(diǎn)睛：本題考查了折疊問(wèn)題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長(zhǎng)公式nR180(n為圓心角度數(shù),R為圓半徑)，明確過(guò)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，這是?？嫉男再|(zhì)；對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.

23、7.在。中，點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，/ACB=120,點(diǎn)I是/ABC的內(nèi)心，CI的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)D,連結(jié)AD,BD.D(1)求證：AD=BD.(2)猜想線段AB與DI的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)若。的半徑為2,點(diǎn)E,5是AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，求點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析;2)AB=DI,理由見(jiàn)解析(【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分/ACB,可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證得結(jié)論；(2)根據(jù)/ACB=120,/ACD=/BCD,可求出/BAD的度數(shù)，再根據(jù)AD=BD,可證得ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三

24、角形的外角性質(zhì)，證明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮據(jù)AB=BD,即可證得結(jié)論；(3)連接DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓心，DIi為半徑的弧，根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)E,F是弧AB?的三等分點(diǎn)，4ABD是等邊三角形，可證得ZDAIi=ZAIiD,然后利用弧長(zhǎng)的公式可求出點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).詳解：(1)證明：二.點(diǎn)I是/ABC的內(nèi)心.CI平分/ACB/ACD=ZBCD,弧AD=MBD.AD=BD(2)AB=DI理由：./ACB=120,/ACD=/BCD/BCDX120=60°弧BD=MBD/DAB=ZBC

25、D=60°.AD=BD.ABD是等邊三角形，.AB=BD,/ABD=/C.I是4ABC的內(nèi)心BI平分/ABC/CBI=ZABIZBID=ZC+ZCBI,/IBD=/ABI+/ABD/BID=ZIBD.ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如圖，連接DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓 ./ACB=120,°弧AD=MBD /AED/ACB=rX120=60°:圓的半徑為2,DE是直徑.DE=4,/EAD=90°，AD=sin/AEDXDE=X4=2 點(diǎn)E,F是弧AB?的三等分點(diǎn)，ABD是等邊三角形，/ADB=60°

26、弧AB的度數(shù)為120； 弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°/ADM=20=/FAB /DAIi=ZFAB+ZDAB=80° /AIiD=180°-ZADM-/DAIi=180-20-80=80° /DAIi=ZAIiD.AD=IiD=2 弧I1I2的長(zhǎng)為：2g邛_1瓦130一9點(diǎn)睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)與定理，并對(duì)圓中的弦、弧、圓心角、圓周角等進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透.8.某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑.如圖，若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16

27、cm,水最深的地方的高度為4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.【答案】10cm【解析】分析：先過(guò)圓心O作半徑COLAB,交AB于點(diǎn)D設(shè)半彳仝為r,得出AD、OD的長(zhǎng)，在RtAAOD中，根據(jù)勾股定理求出這個(gè)圓形截面的半徑.詳解：解：過(guò)點(diǎn)。作OC，AB于D,交。于C,連接OB,.OCXAB.BD=-AB=-X16=8cm22由題意可知，CD=4cm二設(shè)半徑為xcm,則OD=(x-4)cm在RtABOD中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x4)2+82=x2解得：x=10.答：這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.C點(diǎn)睛：此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解.9.如圖

28、，4ABC是。的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D,E在。上，連接AE,DE,CD,BE,CE,/EAC+CBAE=180,°知CD-(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：ABEDCE;(3)若/EAC=60,BC=8,求。的半徑.【答案】（1）BE=CE理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）晅.3【解析】分析：（1）由A、B、C、E四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：ZBCE-+ZBAE=180,貝U/BCE玄EAC,所以？E=CE，則弦相等；（2）根據(jù)SSS證明AB®4DCE；（3）作BC和BE兩弦的弦心距，證明RtAGB8RtAHBO（HL）,則/OBH=30,設(shè)OH=x,則OB=2

29、x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長(zhǎng).本題解析：（1）解：BE=CE理由：ZEAC-17BAE=180,/BCE47BAE=180,3 /BCE玄EAC,l?E=Ce,.BE=CE（2）證明：,%bCd，AB=CD:？e=Ce,AeEd，-ae=ed由（1）得：BE=CE在ABE和ADCE中，AEDE.ABCD,BECE4 .ABEADCE(SSS；(3)解：如圖，二.過(guò)。作OGLBE于G,OHXBCH,BH=1BC=1X8=4BG=1BE,2225 BE=CE/EBC=ZEAC=60,°BEC是等邊三角形,BE=BCBH=BG,6 .OB=OB,RtAGBORtAHBO(

30、HL),“1,/OBH=ZGBO=-/EBC=30,2設(shè)OH=x,貝UOB=2x,由勾股定理得：（2x）2=/+42,x=4叵，3.OB=2x=83,3。的半徑為8.33點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30。的性質(zhì)，難度適中，第一問(wèn)還可以利用三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等的結(jié)論；第三問(wèn)作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵10.已知：BD為。的直徑，O為圓心，點(diǎn)A為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作。的切線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)C為。上一點(diǎn)，且AB=AC,連接BC交AD于點(diǎn)E,連接AC.(1)如圖1,求證：/ABF=/ABC;(2)如圖2,點(diǎn)H為。內(nèi)部一點(diǎn)，連

31、接OH,CH若/OHC=/HCA=90°時(shí)，求證：CH=1DA;2在(2)的條件下，若OH=6,。的半徑為10,求CE的長(zhǎng).21見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)一51由BD為eO的直徑，得到DABD90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到CABC,等量代換即可得到ACOCOH,根據(jù)等腰三角形ACBOCB,根據(jù)相似三角形FBAABD90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；2如圖2,連接OC,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到的性質(zhì)得到OBCOCB,ABCCBO的性質(zhì)即可得到結(jié)論；3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到妲里2,根據(jù)勾股定理得到OHOCADJBD2AB216,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BFBE,

32、AFAE,根據(jù)射影122-定理得到AF-9,根據(jù)相交弦定理即可得到結(jié)論.16【詳解】1QBD為eO的直徑,BAD900,DABD900,QFB是eO的切線,FBD90°,FBAABD900,FBAQABABFABC;2如圖2,連接OC,QOHCHCA90°,AC/OH,ACOCOHQOBOCOBCABC即ABDOCB,CBOACBOCB,ACO,ABCVABDCOH,BAD900,VHOC,ADCHBD一2,OCCH1-DA；23由2知，VABCsVHOC,ABBD八2,OHOCQOH6,eO的半徑為10,AB2OH12,BD20,ADJBD2AB216,在VABF與VAB

33、E中，ABFABEABABBAFBAE90oVABFVABE,BFBE,AFAE,QFBDBAD900,AB2AFAD，AF1221615,AEAF9,DE7,beJab2AE2QAD,BC交于E,AEDEBECE,“AEDE9721CE-BE155本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.11.定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為智慧三角形”.理解：如圖1,已知式3是。上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)C,使工州C為智

34、慧三角形”（畫(huà)出點(diǎn)1c的位置，保留作圖痕跡）；，-一、,-t-一一-1”，如圖2,在正方形ASCD中，石是，C的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=-CD，試判斷Q4EF是否為智慧三角形”，并說(shuō)明理由；運(yùn)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系戈6中，O0的半徑為1,點(diǎn)2是直線y=3上的一點(diǎn)，若在。上存在一點(diǎn)P,使得3。尸。為智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）P的坐標(biāo)（彥，1），（2匹，333【解析】試題分析：（1）連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF=CF以及EGBE的長(zhǎng)

35、，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得4AEF為智慧三角形”；（3）根據(jù)智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解.試題解析：（1）如圖1所示：er圖1(2) AAEF是否為智慧三角形”，理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a, .E是DC的中點(diǎn)， .DE=CE=2a,.BC:FC=4:1, .FC=

36、a,BF=4a-a=3a,在RtADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在RtECF中,E盧=(2a)2+a2=5a2,在RtMBF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,.ae2+ef2=af2, .AEF是直角三角形， 斜邊AF上的中線等于AF的一半， .AEF為智慧三角形”；(3)如圖3所示：由智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,由勾股定理可得pq=JH=2點(diǎn),PM=1X2+3=,3由勾股定理可求得OM=(紀(jì)/=；,故點(diǎn)P的坐標(biāo)(-土，工)，(士,-).3

37、333考點(diǎn)：圓的綜合題.12.如圖，線段BC所在的直線是以AB為直徑的圓的切線，點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)，滿足BD=BC,且點(diǎn)C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接CD交圓于點(diǎn)E點(diǎn)F是BD上一點(diǎn)，連接EF,分別交AB、BD于點(diǎn)G、H,且EF=BD.求證：EF/BC；(2)若EH=4,HF=2,求？E的長(zhǎng).2-【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)23【解析】【分析】(1)根據(jù)EF=BD可得Ef=?d,進(jìn)而得到BE=DF,根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”即可得出角相等進(jìn)而可證.(2)連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長(zhǎng)，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”及平行線求出相等的角，利

38、用銳角三角函數(shù)求出ZBHG,進(jìn)而求出/BDE的度數(shù)，確定BE所對(duì)的圓心角的度數(shù)，根據(jù)/DFH=90°確定DE為直徑，代入弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】;EF=BD,Ef=?DBe=Df/D=/DEF又BD=BC,/D=/C,/DEF=ZCEF/BC(2) .AB是直徑，BC為切線，ABXBC又EF/BC,ABLEF,弧BF=<BE,一_1一一GF=GE=5(HF+EH)=3,HG=1DB平分/EDF,又BF/CD,/FBD=/FDB=/BDE=/BFH.-.HB=HF=2HG1.cos/BHG=,/BHG=60.HB2/FDB=/BDE=30°，/DFH=90；DE為直徑

39、，DE=4石，且弧BE所對(duì)圓心角=60°.1 2，弧BE=-X4>/3=y363【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查圓周角、切線、垂徑定理、弧長(zhǎng)公式等相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)A周角的有關(guān)定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理及弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵13.如圖，等邊4ABC內(nèi)接于。O,P是弧AB上任一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、B重合)，連AP,BP,過(guò)C作CM/BP交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,(1)求證：4PCM為等邊三角形；(2)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面積.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)15S4【解析】【分析】(1)利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可求得題目中的未知角，進(jìn)而判定4PCM為等邊三角形；(2)利用上題

40、中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等，進(jìn)而利用PCM為等邊三角形，進(jìn)而求得PH的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式計(jì)算梯形的面積即可.【詳解】(1)證明：作PH，CM于H,.ABC是等邊三角形，/APC=ZABC=60,°/BAC=ZBPC=60,°.CM/BP, /BPC玄PCM=60； .PCM為等邊三角形；(2)解：4ABC是等邊三角形，4PCM為等邊三角形, /PCA+/ACM=ZBCP+/PCA, /BCP玄ACM,在BCPAACM中，BCACBCPACM,CPCM.,.BCFAACM(SAS),.PB=AM,CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+

41、2=3在RtAPMH中,/MPH=30,PH=,3,二.S梯形pbcmf(PB+CM)XPH=1x(2+3)4=1552224【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計(jì)算方法，是一道比較復(fù)雜的幾何綜合題.14.已知四邊形ABCD是。的內(nèi)接四邊形，/DAB=120°,BC=CD,AD=4,AC=7,求AB的長(zhǎng)度.【分析】CCD，進(jìn)而得到,_、.一,一ULU作DELAC,BFLAC,根據(jù)弦、弧、圓周角、圓心角的關(guān)系，求得BC/DAC=/CAB=60；在RtAADE中，根據(jù)60銳角三角函數(shù)值，可求得DE=2J§,AE=2,再由RtADEC中，根據(jù)

42、勾股定理求出DC的長(zhǎng)，在4BFC和4ABF中，利用60。角的銳角三角函數(shù)值及勾股定理求出AF的長(zhǎng)，然后根據(jù)求出的兩個(gè)結(jié)果，由AB=2AF,分類討論求出AB的長(zhǎng)即可.【詳解】作DELAC,BF±AC, BC=CD,ULUUUUBCCD， /CAB-/DAC, /DAB=120；/DAC=/CAB=60°1 .DEXAC,/DEA=/DEC=90°,2 .sin60=DE,cos60°=4.DE=2.3,AE=2,-AC=7,.CE=5,37，DC=.2x3252BC=-37,.BFXAC,/BF七/BFC=90°,BFtan60=,BF+cF=BC,.BF=,3AF,V327af2V372,_八_3.AF=2或AF=，2oAFcos60=,AB.AB=2AF,當(dāng)AF=2時(shí)，AB=2AF=4,.AB=AD, .DC=BC,AC=AC, .ADCAABC(SSS,/ADC=/ABC, .ABCD是圓內(nèi)接四邊形， /ADC+ZABC=180； /ADC-/ABO9