空間向量與立體幾何知識點(diǎn)和習(xí)題(含答案)

1、b空間向量與立體幾何【知識要點(diǎn)】1.空間向量及其運(yùn)算：(1)空間向量的線性運(yùn)算：空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算：平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊 形法則拓廣到空間依然成立.空間向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律：加法交換律：a+ b=b+a;加法結(jié)合律：(a+b+ c)=a+(b+c);分配律：(九+ N)a =入 a+ R a; K (a + b)=入 a + K b.(2)空間向量的基本定理：共線(平行)向量定理：對空間兩個(gè)向量a, b(bw 0), a/b的充要條件是存在實(shí)數(shù) 九，使得all b.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a, b不共線，則向量c與向量a, b共面的充要條件是存在惟一一對實(shí)

2、數(shù) £, N,使得c=、a+ Nb.空間向量分解定理：如果三個(gè)向量 a, b, c不共面，那么對空間任一向量p,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組 九i,九2,入3,使得p= K ia+兒2b+九3c.(3)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算：空間向量的數(shù)量積的定義：a b= |a | |b I cos ( a, b；空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a e= |a | cosva, e> a± b a b= 0;|a|2= a a; |a b|w |a | |b | .空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(兒a) b=九(a . b);交換律：a , b= b , a;分配律：(a+ b) , c= a , c+

3、 b c.(4)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示：空間向量的正交分解：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i, j, k,則這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底i, j, k,由空間向量分解定理，對于空間任一向量 a,存在惟一數(shù)組(an a2, a3),使a = aii+a2j+a3k, 那么有序數(shù)組(a1，a2, a3)就叫做空間向量 a的坐標(biāo)，即a=(ai, a2, a3).空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè) a=(a1，a2, a3), b= (bi, b2, b3),則a+b=(ai+bi, az+b2, a3+b3)； ab=(ai bi, a2b

4、2,b3)；九a=(九ai,九 a2,入 a3); a , b= aibi + a2b2+a3b3.空間向量平行和垂直的條件：a/b(bw0)U a=KbU ai= ?.bi, a2= Xb2, a3=Kb3(?uCR)；abu a b=0= aibi + a2b2+a3b3=。向量的夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式：設(shè) a=(ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3),則| a 尸 a a = . a2 a2 - a2 ,| b 尸 b b = , bi2 bl b32;a bcos a, b .>=I a II b Iaibl a2b2a30a； a2 a2 b cos :

5、二 V| , v2 尸I viII v2 I直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的 角. 設(shè)直線a的方向向量是 u,平面a的法向量是 v,直線a與平面a的夾角為日，顯然 b； b2在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a1，a2, a3), B(bi, b2, b3),則 A, B兩點(diǎn)間的距離是I AB | = . (a1 - bi)(a? - d) A3 - b3).2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：直線的方向向量與平面的法向量：如圖，l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量 a的直線，對空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t,使得OP = OA + ta,

6、其中向量a叫做直線的方向向量.b0,則 Icos < u, v >I=I u v II u II v I0由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定.如果直線I，平面口，取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面ot的法向量.由此可知，給定一點(diǎn)A及一個(gè)向量a,那么經(jīng)過點(diǎn)A以向量a為法向量的平面惟一確定.(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系：設(shè)直線I, m的方向向量分別是 a, b,平面a, P的法向量分別是u, v,則I/my a/ bu a=kb, kC R；I，mu a± bu a b= 0;l/otu auu a u=0;lotu a"

7、uu a=ku, kCR； a 日仁 u II vu u=kv, kC R；uvu u - v= 0.(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設(shè)a, b是兩條異面直線，過空間任意一點(diǎn)O作直線a' /a, b' / b,則a'與b'所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角. , ,一-一-TT.設(shè)異面直線a與b的方向向重分別是 v1, v2, a與b的夾角為日，顯然日亡(0,則2二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.記作二.l P在二面角的棱上任取一點(diǎn) O,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作射線 OA，l, OB±

8、;l,則/ AOB 叫做二面角ot-l- P的平面角.利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB, CD分別是二面角lP的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角a-l-P的大小就是向量 AB與CD的夾角的大小.方法二：如圖，mn m2分別是二面角的兩個(gè)半平面 a, P的法向量，則m 1, m 2與該二面角 的大小相等或互補(bǔ).(4)根據(jù)題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立 體幾何問題.【復(fù)習(xí)要求】1 . 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分 解及其坐標(biāo)表示.2 .掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3 .掌握空間向

9、量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示；能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4 .理解直線的方向向量與平面的法向量.5 .能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系.6 .能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題.【例題分析】例 1 如圖，在長方體 OAEB OiAiEiBi 中，OA=3, OB = 4, OO1=2,點(diǎn) P 在AAi 上，且AP=2PAi,點(diǎn)S在BBi上，且BiS= 2SB,點(diǎn)Q, R分別是OiBi, AE的中點(diǎn)，求 證：PQ/RS.【分析】 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法證明存在實(shí)數(shù)k,使得PQ = kRS解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 0(0, 0, 0), A(3, 0,

10、 0), B(0, 4, 0), Oi(0, 0, 2), Ai(3, 0, 2), Bi(0, 4, 2), E(3, 4, 0).224、-AP=2PAi, AP = AAi = (0,0,2) =(0,0,),333_4、 P(3,0,一)3 _2、同理可得：Q(0, 2, 2), R(3, 2, 0), S(0,4,) 3PQ =(-3,2,2) = rs,3, PQ/RS,又 R PQ,PQ / RS.【評述】1、證明線線平行的步驟：(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上即可.2、本體還可采用綜合法證明，連接PR, QS,證明PQRS是平

11、行四邊形即可，請完成這個(gè)證明.例 2 已知正方體 ABCD AiBiCiDi 中，M, N, E, F 分別是棱 A1Di, A1B1, D1C1, B1C1 的中點(diǎn)，求證：平面 AMN/平面 EFBD .【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個(gè)平面的法向量平行.解法一：設(shè)正方體的棱長為 4,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 D(0, 0, 0), A(4, 0, 0), M(2, 0, 4), N(4, 2, 4), B(4, 4, 0), E(0, 2, 4), F(2, 4, 4).取 MN 的中點(diǎn) K, EF 的中點(diǎn) G, BD 的中點(diǎn) O,則 O(2, 2, 0),

12、 K(3, 1, 4), G(1 , 3, 4).MN =(2, 2, 0), EF =(2, 2, 0), AK =( 1, 1, 4), OG = (-1, 1, 4),MN / EF , AK =OG , MN/EF , AK/OG , .MN/平面 EFBD, AK/平面 EFBD ,平面 AMN /平面 EFBD .解法二：設(shè)平面AMN的法向量是 a=(a1，a2, a3),平面EFBD的法向量是 b= (bi, b2，b3).由 a AM =Q a AN =0,m一2ai+4a3=0.得取 a3= 1,得 a=(2, 2, 1).2a2 + 4a3 = Q由 b DE =0, b

13、BF = 0,12b2 +4b3 =0,b=(2, 2,1).得3 ，異面直線AM和CN所成角的余弦值是 2 5解法二：取AB的中點(diǎn)P, CC1的中點(diǎn)Q,連接BP, B1Q, PQ, PC.易證明：BP / MA, B1Q/ NC,/ PB1Q是異面直線 AM和CN所成的角.設(shè)正方體的棱長為 2,易知B1P = B,Q = <5,PQ = ,PC2 +QC2 = J6, '取b3= 1 ,得2b +4b3 =0,all b, 平面 AMN/平面 EFBD.注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請?jiān)囈辉?例3 在正方體ABCD A1B1C1D1中，M, N是A1B

14、1, BB的中點(diǎn)，求異面直線 AM 和CN所成角的余弦值.解法一：設(shè)正方體的棱長為 2,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0, 0, 0), A(2, 0, 0),M(2, 1, 2), C(0, 2, 0), N(2, 2, 1).設(shè)AM和CN所成的角為6,則cosQ =AM CN| AM |CN |.AM =(0,1,2),CN =(2,0,1),cosPB1Q =B1P2B1Q2 -PQ22B1P B1Q一一一 一，人、2，異面直線AM和CN所成角的余弦值是 一，5P B【評述】 空間兩條直線所成的角是不超過 分子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù)， 則應(yīng)取其絕對值, 角(銳角).90。的角，因此按向量的夾

15、角公式計(jì)算時(shí)， 使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的例4如圖，正三棱柱ABC AiBiCi的底面邊長為a,側(cè)棱長為 J2a ,求直線ACi與平面ABBiAi所成角的大小.【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)，適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系， 寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).求角時(shí) 有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面ABBiAi的法向量求解.3a aCi(-V，2解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), A(0,0,J2a),N2a)，取 AiBi 的中點(diǎn) D,則 D(0,a,J2a),連接 AD, CiD.2則 DC = ( - 一a,0,0), A

16、B = (0, a,0), AAi = (0,0, , 2a),2DC1AB =0,DC1AA =0, DC平面 ABB1A1，/ CiAD是直線ACi與平面ABBiAi所或的角.AC(-等？，：冽，AC1 AD ,3: cosgAD =,=,|AC1|AD|2直線ACi與平面ABBiAi所成角的大小是30° .解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0, 0, 0), B(0, a, 0), Ai(0, 0, J2a),_. 3a a _ _ 3a a _Ci(，J2a),從而 AB=(0,a,0), AA =(0,0,2a), ACi =(,-,v2a) 2222設(shè)平面ABB1A

17、1的法向量是 a=(p, q, r),由 a AB =0,a AA =0,m 'aq=0,_m得 J 二 取 p=i,得 a=(i, 0, 0).，2ar =0,設(shè)直線ACi與平面ABBiAi所成的角為e,ew0,l,2sin r 1 cos ACi, a | = l1 = , - 30 .I ACi IIa I 2【評述】充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用向量的知識求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉(zhuǎn)換.例 5 如圖，三棱錐 P ABC 中，PAL底面 ABC, ACXBC, PA=AC = i, BC = J2 ,求二面角A

18、-PB-C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中點(diǎn)D,連接CD,作AEPB于E.pA=AC=i, PAX AC,PC= BC= 22 ,CDXPB. EAXPB,，向量EA和DC夾角的大小就是二面角 A-PB-C的大小.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, J2, 0), P(1, 0, 1),由D是PB的中點(diǎn),PE AP 13、. 2 3、由 = c =，得E是PD的中點(diǎn)，從而E() EB AB23(4, 4，4.EA2.2EA DC . 3.cos :： EA, DC =：-= Q|EA|DC| 3即二面角A-PB-C的平面角的余弦值是解法二：

19、如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0, 0, 0), B(我,1,0), C(0, 1, 0), P(0,0,1),AP =(0,0,1), AB =( . 2,1,0),CB =( .、2,0,0),CP = (0, -1,1).設(shè)平面PAB的法向量是 a=(a1，a2, %),平面PBC的法向量是b= (“，b2, b4.a3 =0,、2al a2由 a AP = 0, a AB =0,取 a1=1,得 a =(1,J2,0).0,由 b CB=0, b 而=0得廣2' "0, 取 b3=1,得 b= (0, 1, 1).,-b2 +b3 =0,cos a, b =a bI

20、a | b |面角A PB C為銳二面角,，二面角A PB C的平面角的余弦值是|摩=：3.33【評述】1、求二面角的大小，可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個(gè)向量，轉(zhuǎn)化為 這兩個(gè)向量的夾角；應(yīng)注意兩個(gè)向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上.2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時(shí)，有時(shí)不易判斷兩個(gè)平面法向量的夾角是二面角的平 面角還是其補(bǔ)角，但我們可以借助觀察圖形而得到結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍 二面角一般是明顯的.例 6 如圖，三棱錐 P ABC 中，PA，底面 ABC, PA = AB, /ABC=60° , / BCA = 90°，點(diǎn) D, E分別在棱 PB, PC上，且 DE

21、/BC.(I)求證：BCL平面PAC;(n )當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AD與平面PAC所成角的余弦值；(出)試問在棱PC上是否存在點(diǎn) 巳 使得二面角 ADE P為直二面角？若存在，求出 PE ： EC的值；若不存在，說明理由.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.1 .- 3.- 3設(shè) FA=a,由已知可得 A(0, 0, 0), B(a-a,0),C(0-a,0),P(0,0,a).2 221(1) AP =(0,0,a),BC =(a,0,0),2AP BC =0,BCAP .又/ BCA = 90 ° ,BCXAC.BC,平面 PAC.(n ) D為PB的中點(diǎn)，DE/BC,，E為PC的中

22、點(diǎn).1 .3131、2 D(a，Na，二a)，E(0,7a,)44242由(I)知，BC,平面 PAC,，DE，平面 FAC,3 / DAE是直線AD與平面PAC所成的角.一 1.3131、. AD =(-；a，Ta，2a)，AE =(0，7a，2a)，AD AE . 14-cos 乙 DAE =:/ ,|AD|AE| 4即直線AD與平面PAC所成角的余弦值是，14 .4（出）由（n）知，DE，平面 PAC, DEXAE, DEXPE, /AEP是二面角 ADE P的平面角. PA，底面 ABC, PAXAC, /PAC=90° .在棱PC上存在一點(diǎn) E,使得AEXPC,這時(shí)，/ A

23、EP=90° ,且PEECPA2AC2故存在點(diǎn)E使得二面角 A-DE-P是直二面角，此時(shí) PE ： EC= 4 ： 3. 注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請?jiān)囈辉?練習(xí)1-3、選擇題：1 .在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E是BBi的中點(diǎn)，則二面角 EADiD的平面角的正 切值是（）(A) .2(B)2(C) . 5(D) 2 22,正方體ABCDAiBiCiDi中，直線ADi與平面AiACCi所成角的大小是（）（A）30 °（B）45 °（C）60 °（D）90 °3,已知三棱柱 ABC AiBiCi的側(cè)棱與底

24、面邊長都相等，Ai在底面ABC內(nèi)的射影為 ABC,2（D）二3的中心，則ABi與底面ABC所成角的正弦值等于（）i(A) -34 .如圖，a± P , anP=l, ACot, BeP, A, B 至 Ul 的距離分別是 a 和 b, AB 與 口，P 所成的角分別是6和平，AB在ot, P內(nèi)的射影分別是 m和n,若a>b,則下列結(jié)論正確的是（）(B) 8 > 中，m< n(D)8 v 中，m> n（A）日> 中，m>n（C） v 中，m< n、填空題：5 .在正方體 ABCD AiBiCiDi 中，E, F, G, H 分別為 AAi, A

25、B, BB1，B1Ci 的中點(diǎn)，則 異面直線EF與GH所成角的大小是 .6 .已知正四棱柱的對角線的長為J5，且對角線與底面所成角的余弦值為棱柱的體積等于7 .如圖，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AA=2AB,則異面直線 AiB與ADi所成角的余弦 值為.i -8 .四棱錐PABCD的底面是直角梯形，/ BAD = 90 , AD / BC, AB = BC = AD ,2PAL底面ABCD,PD與底面ABCD所成的角是30° .設(shè)AE與CD所成的角為日，則cosH 三、解答題：9 .如圖，正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AA=2AB=4,點(diǎn) E 在 CC1上，且

26、 CE=3EC.(I )證明：AiC,平面BED;(II)求二面角AiDEB平面角的余弦值., 冗10 .如圖，在四棱錐 O ABCD中，底面ABCD是邊長為i的菱形，/ABC =4,OAL底 面ABCD, OA = 2, M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).(I)證明：直線MN/平面OCD;(II )求異面直線 AB與MD所成角的大小.11 .如圖，已知直二面角 o(PQ P, ACPQ, BCot, CCP, CA=CB, Z BAP = 45 直線CA和平面o(所成的角為30° .(I)證明：BCXPQ;(n)求二面角B ACP平面角的余弦值.習(xí)題1、選擇題:1 .關(guān)于空間兩條直線

27、a、b和平面a,下列命題正確的是()(A)若 a / b, bU o(,貝Ua / a(B)若 a / ot ,b= a ,貝Ua / b(C)若 a / 久，b / a ,貝Ua / b(D)若 a，ct ,b，ct ,貝Ua / b2 .正四棱錐的側(cè)棱長為2 J3,底面邊長為2,則該棱錐的體積為()(A)8(B) 8(C)6(D)233,已知正三棱柱 ABCAiBiCi的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線ABi與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(),6.10.23(A) 丁(B) .(C) -y(D) -24.已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm),可得這個(gè)幾何體的體積是

28、()4 正視側(cè)視5.40003(A)cm3.3(C)2000cm若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為偶視80003(B)cm33(D)4000cm2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于 ()(A) 2(B) 2 2(C)3.2(D) 4 2、填空題:6.已知正方體的內(nèi)切球的體積是4K3式,則這個(gè)正方體的體積是 .7,若正四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面邊長為1, ABi與底面ABCD成60°角，則直線AB1 和BCi所成角的余弦值是.8 .若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為J3,則其外接球的表面積是 .9 .連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的

29、弦.半徑為 4的球的兩條弦 AB、CD的長度分別等于2j7、4j3 ,每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動，則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為 .10 .已知AABC是等腰直角三角形， AB=AC=a, AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使 /BDC成直角.在折起后形成的三棱錐A- BCD中，有如下三個(gè)結(jié)論：直線AD，平面BCD;側(cè)面ABC是等邊三角形；一2 .三棱錐A-BCD的體積是 a3.24其中正確結(jié)論的序號是.(寫出全部正確結(jié)論的序號 ) 三、解答題：11 .如圖，正三棱柱 ABCAiBiCi中，D是BC的中點(diǎn)，AB=AAi.乂|(I)求證:ADXBiD;(n )求證：AiC /平面 AiBD;(出)

30、求二面角B ABiD平面角的余弦值.12 .如圖，三棱錐 P-ABC 中，F(xiàn)AXAB, FAX AC, ABXAC, PA= AC=2, AB= i , M 為PC的中點(diǎn).(I)求證：平面PCB,平面MAB;(n )求三棱錐P ABC的表面積.13 .如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，Z ABC = 90° , AB=BC=AA1=2, M、N 分別是 A1C1、BCi的中點(diǎn).(I )求證:BCj平面 AiBiC;(n)求證：MN/平面 AiABBi；(出)求三棱錐 M BCiBi的體積.14 .在四棱錐 S ABCD中，底面 ABCD為矩形，SDL底面 ABCD , AD

31、 = J2 , DC = SD =2 .點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上，Z ABM = 60 ° .(I)證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；(n )求二面角S-AM -B的平面角的余弦值.練習(xí)1-3一、選擇題：i. B 2, A 3. B4, D二、填空題：5. 60°6. 2三、解答題：9.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D xyz.依題設(shè)，B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), E(0, 2, 1), Ai(2, 0, 4).DE =(0,2,1),DB =(2,2,0),AiC =(-2,2,-4),DA =(2,0,4).(I )- AC

32、DB =0, AiC DE =0, .-.AiCXBD, AiCXDE.又 DBA DE = D,AiC,平面 DBE .(n)設(shè)向量n=(x, v, z)是平面DAiE的法向量，則n _L DE, n_L DAi.'2y+z = 0, 2x+4z = 0.令 y=i,得 n=(4,i, 2).COS(n,AC)= n竺二!4,，二面角Ai - DE - B平面角的余弦值為 祟 | n |AC|4242i0.作APCD于點(diǎn)P.如圖，分別以 AB, AP, AO所在直線為x, y, z軸建立坐標(biāo)系.2 、2N(i -彳,彳,。)一/2 - 2(I)MN ="彳,彳則 A(0,

33、0, 0), B(i , 0, 0),222 小一P(0, 2 ,0), D(- 2 , 2 ,0) , 0(0, 0, 2), M(0, 0, i),2 2 炎. 2,-i),OP =(0,-22,-2),OD =(-22,-2-,-2)設(shè)平面OCD的法向量為n=(x, v, z),則n OP =0,n ,OD = 0,2。八取 z = &,得 n = (0,4,松.0 0.-2-y -2z =0,即2 _22 22c一x- x + - y - 2 z22 y MN n =0, MN / 平面 OCD .(n )設(shè)AB與MD所成的角為e,J2 42|AB MD| 1 冗AB =(1,

34、0,0), MD =(- ,-1),. cos | | =,. 一 ,22|AB|MD| 23一.一 , 它即直線AB與MD所成角的大小為一3(I)證明：在平面P內(nèi)過點(diǎn)C作COLPQ于點(diǎn)O,連結(jié)OB. a ± P , an P=PQ, COXot.又. CA=CB, .1. OA=OB. . Z BAO = 45° , ABO = 45° , / AOB=90° ,. BOXPQ,又 COPQ, .PQ,平面 OBC,PQXBC.(n)由(I)知，OCXOA, OCX OB, OAXOB,故以。為原點(diǎn)，分別以直線 OB, OA, OC為x軸，y軸，z軸建

35、立空間直角坐標(biāo)系(如圖). . CO±a,CAO是CA和平面a所成的角，則/ CAO = 30°不妨設(shè) AC = 2,則 AO =，3 , CO = 1.在 RtOAB 中，/ ABO = /BAO = 45° ,BO = AO = V3.O(0,0,0),B( 3,0,0),A(0, .3,0),C(0Q1).AB =(-3,- 3,0), AC = (0,-.3,1).設(shè)n1 = (x, v, z)是平面 ABC的一個(gè)法向量，n aB =0,3x-V3y = 0,由一 得，一取 x=1,得 n1 =(1,1,J3).n AC =0,1J3y+ z = 0,易知

36、n 2=(1, 0, 0)是平面P的一個(gè)法向量.設(shè)二面角即二面角一、選擇題：1. D 2. B 二、填空題：6. 24 37.三、解答題：11. (I )證明：:bacp 的平面角為 e, cose=V=|必|也|55B-AC- P平面角的余弦值是 :二.5習(xí)題13. A4, B5. B38. 9二9. 5i0.、4ABC AiBiCi是正三棱柱，BBJ平面ABC,，平面BBiCiC，平面ABC.BB1C1C,正4ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AD± BC,AD，平面(n)解：連接 AiB,設(shè) AiBAABi=E,連接 DE . AB=AA1,四邊形A1ABB1是正方形，E是AiB的中點(diǎn)，又 D是BC的中點(diǎn)，DE/AiC.DE 匚平面 AiBD, AiC 遼平面 AiBD, . AiC/平面 AiBD.AD XB1D.(山)解：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=AAi=i,一3i 八則 D(0,0,0), A(0, ,0),Bi(-2,0,i)設(shè)n1 = (p, q, r)是平面AiBD的一個(gè)法向量，則 ni AD=0,且 ni 麗=0,一 .3- 1 _故一 cq=0, P-