4．23　直線與圓的方程的應(yīng)用

1、4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1在圓 x2y22x6y0 內(nèi)過點 E(0，1)的最長弦和最短弦分別為 AC 和 BD，則四邊形 ABCD 的面積為()A5 2B10 2C15 2D20 2解析圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x1)2(y3)210，由圓的性質(zhì)可知最長弦 AC2 10，最短弦 BD 恰以 E(0，1)為中點，設(shè)點 F 為其圓心，坐標(biāo)為(1，3)故 EF 5，BD2 10（ 5）22 5，S四邊形ABCD12ACBD10 2.答案B2一束光線從點 A(1，1)出發(fā)經(jīng) x 軸反射到圓 C：(x2)2(y3)21 上的最短距離是()A4B5C3 21D2 6解析圓 C 的圓心坐標(biāo)為(2

2、，3)，半徑 r1.點 A(1，1)關(guān)于 x 軸的對稱點 A的坐標(biāo)為(1，1)因 A在反射線上，所以最短距離為|AC|r，即2（1）23（1）214.答案A3若O：x2y25 與O1：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 兩點，且兩圓在點 A 處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是_解析兩圓圓心分別為 O(0，0)，O1(m，0)且 5|m|3 5，又OAO1A，m2( 5)2(2 5)225，m5，AB25 2054.答案4二、填空題4已知圓 O：x2y25 和點 A(1，2)，則過點 A 與圓 O 相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于_解析點 A(1，2)在圓 x2y25 上，

3、過點 A 與圓 O 相切的切線方程為 x2y5，易知切線在坐標(biāo)軸上的截距分別為 5、52，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為254.答案2545集合 A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中 r0，若 AB 為只有一個元素的集合，則 r 的值為_解析由題意 AB 為只有一個元素的集合，則圓 x2y24 與圓(x3)2(y4)2r2的位置關(guān)系為相切：內(nèi)切或外切由條件知兩圓連心線的長為|C1C2|32425，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，|C1C2|r1r2|，即 5|2r|，又 r0，得 r7.當(dāng)兩圓外切時，|C1C2|r1r2|，即 5|2r|，又 r0，得 r3.答案3 或

4、76從原點向圓 x2y212y270 作兩條切線，則這兩條切線的夾角等于_度解析圓的方程可化為 x2(y6)29，圓心為 P(0，6)，半徑為 3， 過原點 O 作圓 P 的兩條切線、 切點為 A、 B(如圖)在 RtPAO 中，|OP|6，|PA|3，AOP30，故兩切線的夾角為 60.答案60三、解答題7已知C：(x3)2(y4)21，點 A(1，0)，B(1，0)，點 P 是圓上一動點，求 d|PA|2|PB|2的最大、最小值及對應(yīng)的 P 點坐標(biāo)解設(shè)點 P 為(x0，y0)，則 d(x01)2y20(x01)2y202(x20y20)2，欲求d 的最大、最小值，只需求x20y20的最大、

5、最小值，此即求C 上點到原點距離之平方的最大、最小值設(shè)直線 OC 交C 于 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則min(|OC|1)216|OP1|2，此時 OP1P1C4，dmin34，對應(yīng) P1坐標(biāo)為125，165 ，同理可得 dmax74，對應(yīng) P2坐標(biāo)為185，245 .能力提升8過點 P(2，3)向圓 C：x2y21 上作兩條切線 PA，PB，則弦 AB 所在的直線方程為()A2x3y10B2x3y10C3x2y10D3x2y10解析弦 AB 可以看作是以 PC 為直徑的圓與圓 x2y21 的交線，而以 PC為直徑的圓的方程為(x1)2y322134.根據(jù)兩圓的公共弦的求法，可

6、得弦AB 所在的直線方程為：(x1)2y322134(x2y21)0，整理可得 2x3y10，故選 B.答案B9函數(shù) yx2x1 x2x1的值域為_解析顯然函數(shù)的定義域為 R，yx12234x12234設(shè) P(x，0)，A12，32 ，B12，32 為平面上三點，則|PA|x12234 x2x1，|PB|x12234 x2x1.y|PB|PA|.|PB|PA|AB|，且|AB|1，|y|1，即1y1，故函數(shù)的值域為(1，1)答案(1，1)10圓 M：x2y24x2y40.(1)若圓 M 的切線在 x 軸上的截距是 y 軸上的截距的 2 倍，求切線的方程；(2)從圓外一點 P(a，b)，向該圓引切線 PA，切點為 A，且|PA|PO|，O 為坐標(biāo)原點求證：以 PM 為直徑的圓過異于 M 的定點，并求該定點的坐標(biāo)解(1)當(dāng)切線過原點時，由題意可設(shè)切線為 ykx，由|2k1|1k21，得 k43，k0(舍)當(dāng)切線不過原點時，設(shè)切線為x2mym1.即 x2y2m，由|222m|51，得 2m4 5，所以 x2y4 5.所以所求的切線方程為 y43x，x2y4 5.(2)由條件|PA|PO|，即|PA|2|PO|2，得(a2)2(b1)21a2b2，得 2a