高斯消元法(完整)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)高斯消元法解線(xiàn)性方程組型一唯模不不在工程技術(shù)和工程管理中有許多問(wèn)題經(jīng)?？梢詺w結(jié)為線(xiàn)性方程組類(lèi)型的數(shù)學(xué) ,這些模型中方程和未知量個(gè)數(shù)常常有多個(gè)，而且方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)也 定相同。那么這樣的線(xiàn)性方程組是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解 一，解的結(jié)構(gòu)如何呢？這就是下面要討論的問(wèn)題。一、線(xiàn)性方程組設(shè)含有n個(gè)未知量、有m個(gè)方程式組成的方程組(3.(1)其中系數(shù) ，常數(shù) 都是已知數(shù)，是未知量（也稱(chēng)為未知數(shù)）。當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng) ，,， 不全為0時(shí)，稱(chēng)方程組（3.1）為非齊次線(xiàn)性方程組；當(dāng) = 0時(shí)，即(3.(2)稱(chēng)為齊次線(xiàn)性方程組。由n個(gè)數(shù)，組成的一個(gè)有序數(shù)組（，），如果將它們依次代入方程組（3.

2、1）中的,， 后，（3.1）中的每個(gè)方程都變成包 等式，則稱(chēng)這個(gè)有序數(shù)組（,，）為方程組（3.1）的一個(gè)解。顯然由=0, =0,，=0組成的有序數(shù)組（0, 0,，0）是齊次線(xiàn)性方程組（3.2）的一個(gè)解， 稱(chēng)之為齊次線(xiàn)性方程組（3.2）的零解，而當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組的未知量取值不全為 零時(shí)，稱(chēng)之為非零解。（利用矩陣來(lái)討論線(xiàn)性方程組的解的情況或求線(xiàn)性方程組的解是很方便的。 因此，我們先給出線(xiàn)性方程組的矩陣表示形式。）非齊次線(xiàn)性方程組（3.1）的矩陣表示形式為：AX = B其中amn-X11x2A42a21a22am1 a m2稱(chēng)A為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣，X為未知矩陣，B為常數(shù)矩陣。將系數(shù)矩陣 A

3、 和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣a11a12a1nb1a21a22 a2nb2A B二1am1am2amnbm 1稱(chēng)為方程組（3.1）的增廣矩陣。齊次線(xiàn)性方程組（3.2）的矩陣表示形式為：AX =二 O二、高斯消元法（下面介紹利用矩陣求解方程組的方法，那么矩陣初等行變換會(huì)不會(huì)改變方 程組的解呢？我們先看一個(gè)定理。）定理3.1若用初等行變換將增廣矩陣A B化為C D,則AX = B與CX =D是同解方程組證 由定理3.1可知，存在初等矩陣 ， 記=P,則P可逆，即 存在。設(shè) 為方程組A X = B的解，即 A在上式兩邊左乘P,得P A 即C說(shuō)明 也是方程組C X = D的解。反之，設(shè) C在上式兩

4、邊左乘，得C即A說(shuō)明 也是方程組AX = B的解。，使=B=PB=D為方程組C X = D的解，即=D= D=B因此，方程組A X = B與C X = D的解相同，即它們是同解方程組。（證畢）（由定理3.1可知，求方程組（3.1）的解，可以利用初等行變換將其增廣矩陣 A B化簡(jiǎn)。又有第二章定理2.10可知，通過(guò)初等行變換可以將A B化成階梯 形矩陣。因此，我們得到了求解線(xiàn)性方程組（3.1）的一般方法：）用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣A B化成階梯形矩陣，再寫(xiě)出該 階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，逐步回代，求出方程組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠?組，所以也就得到了原方程組（3.1）的解。這種方法

5、被稱(chēng)為 高斯消元法，（下面舉例說(shuō)明用消元法求一般線(xiàn)性方程組解的方法和步驟。）例1解線(xiàn)性方程組(3.3)解先寫(xiě)出增廣矩陣AB,再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即一11-2-1-104-1-110-47754-3-3-111-2-1-104-1-110066600000 _- 11-2-1-TA_ 15-3-20=I 3-1142-221-1111-2-1-1041110 0666J0 0 -2 -2 -2上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線(xiàn)性方程組是同解方程組，最后一個(gè)增廣矩 陣表示的線(xiàn)性方程組為將最后一個(gè)方程乘 ，再將 項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得 將其代入第二個(gè)方程，解得x2 = 1. 2再將代入第

6、一個(gè)方程組，解得x1 = -x4 1 2因此，方程組（3.3）的解為X1 = $1 22 = 1/2（3.4）、X3 = -X4 + 1其中可以任意取值。由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無(wú)窮多個(gè)。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3 的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未 知量 稱(chēng)為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱(chēng)為方程 組（3.3）的一般解，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量取定一個(gè)值（如 =1）,得到）,稱(chēng)之為方程組方程組（3.3）的一個(gè)解（如（3.3）的特解。注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例 1也可以將 取作自由未知量文檔大全如果將表

7、示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k,即令程組（3.3）的一般解為=k,那么方用矩陣形式表示為x1 = -k +1/2X2 =1/2 x3 = -k 1 x4 =k,其中k為任意常數(shù)-xjX2X3一 k + 1/ 2 I-1I1/20=k-k+11-1一k一一1/21/21P 一其中k為任意常數(shù)。稱(chēng)表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解（用消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形 矩陣后，要寫(xiě)出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代 的過(guò)程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化,使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩

8、陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，）對(duì)例1中的階梯形矩陣進(jìn)1 1 -2 -1 -r0 4-1-110 0 6 6 60 0 0 0 0 _10 0 1120 1 0 0 1/20 0 111J0 0 0 00 _上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為X1 X4 = 1. 2，X2=1/2J3 + X4 = 1一步化簡(jiǎn)，1 1 00 4 0I。0 1_0 0 01 10 21 10 0將此方程組中含 的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解,X1 - -X4 1 2X2 = 1. 2X3 X41其中可以任意取值例2解線(xiàn)性方程組解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣lA B化成階梯陣，再

9、求解。即1a12-340-11-12-341-11-1-53-71-20 -一12-3410-11-1一10Io12-3412 3 5 7B =4 3-99-2 5 -8 8-般解為例3解線(xiàn)性方程組0/ 一10090-2 -20-1-1001_0000 0 31 0 20 1 10 0 0解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣A B1化成階梯陣，再求解。即11111111A B1= -12-4203-33：25-13_03-31_1 1110 3-330 00_2_階梯形矩陣的第三行“ 0, 0, 0,-2”所表示的方程為：，由該方程可知，無(wú)論 ，取何值，都不能滿(mǎn)足這個(gè)方程。因此，原方程組無(wú)解

10、。三、線(xiàn)性方程組的解的判定前面介紹了用高斯消元法解線(xiàn)性方程組的方法，通過(guò)例題可知，線(xiàn)性方程組 的解的情況有三種：無(wú)窮多解、唯一解和無(wú)解。從求解過(guò)程可以看出，方程組（3.1） 是否有解，關(guān)鍵在于增廣矩陣A B化成階梯非零行的行數(shù)與系數(shù)矩陣 A化成階 梯形矩陣后非零行的行數(shù)是否相等。因此，線(xiàn)性方程組是否有解，就可以用其系 數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)描述了。定理3.9 線(xiàn)性方程組（3.1）有解的充分必要是=。證 設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r,即 =r。利用初等行變換將增廣矩陣A B 化成階梯陣：A B= CD故AX = B與CX = D是同解方程組，因此AX = B 有解 =0= r即 =r。（證畢）推論1線(xiàn)性

11、方程組有唯一解的充分必要條件是=。推論2線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是=。（將上述結(jié)論應(yīng)用到齊次線(xiàn)性方程組（3.2）上，則總有 =。因此齊次線(xiàn)性方程組一定有解。并且有）例4判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無(wú)窮多解?用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即12-3 -1112A B = 2-33121 2 -3 -110 1-2 -40 0-70|。00-1 _因?yàn)?4,010 -7.07-3 -11- 2- 47287 - 29=3,兩者不等，所以方程組無(wú)解。因?yàn)橐驗(yàn)锳 B =一1-1232-1-31-3112-11765一100-02100-3-2-70-11400=3 =

12、 n,所以方程組有唯一解例5判別下列齊次方程組是否有非零解?(機(jī)動(dòng))一12-3-11112-3 111-1-12701-1-42-31600003125 110000 _(2)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B =(=3)=2 n,所以方程組有無(wú)窮多解。(3)用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即解用初等行變換將系數(shù)矩陣化成階梯形矩陣，即2-35-7-74-2一 14-1213-70-11810013J013- 8 14-3-16-8 I201312一 137-8 |0-1182002-23-271_ 5_ 813-7-80 -1 1820001313_000-11因?yàn)?=4 = n

13、,所以齊次方程組只有零解向量組的相關(guān)性在實(shí)際問(wèn)題有許多研究的對(duì)象要用 n元有序數(shù)組來(lái)表示。如總結(jié)某五年計(jì)劃 各年某產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)據(jù)資料，某工程一年 12個(gè)月份的用料情況等，就分別要用到 5元和12元有序數(shù)組。一、n維向量的定義定義3.2把有順序的n個(gè)數(shù)a1, a2，an稱(chēng)為一個(gè)n維向量，記作a23 1其中a1 (i =1,2,，n)稱(chēng)為n維向量ot的第i個(gè)分量。一1例如，矩陣 A = 1-21-4-3一111：2 一314中每一列都可以看作三維向量:一213 ,：5一1 1-43 一一314口(3.6)x1,x2,x3T 0 下面稱(chēng)為矩陣A的列向量。A中的每一行都可以看作四維向量：1 2 1 3

14、1, 1 3 -4 41, 2 5 -3 71稱(chēng)為矩陣A的行向量。規(guī)定：n維向量相等、相加、數(shù)乘與列矩陣對(duì)應(yīng)相等。二、n維向量組的線(xiàn)性相關(guān)性如果把方程組x1 2x2 x3 = 3，x1 +3x2 -4x3 = 42x1 +5x2 -3x3 = 7用向量相等、向量運(yùn)算關(guān)系來(lái)表示：-1-2-11-31x1 1 +x2 3 +x3 -4 = 437那么方程組求解問(wèn)題就變成了求一組使上式列向量存在某種的數(shù) 給出向量之間這種關(guān)系的定義。定義3.3對(duì)于向量a,、,，Pm,如果有一組數(shù)k1，k2,，km,使得: =k1：1 k2： 2km： m則稱(chēng)豆是叫P2,，m的線(xiàn)性組合，或稱(chēng)口由%P2,，二m線(xiàn)性表出，

15、且稱(chēng)這組數(shù) k1,卜2 ,，km為組合系數(shù)例1二維向量組 L e2 =,稱(chēng)為二維單位向量組。任意一個(gè)二維向0一1一 a1 Ma = I 都可以由色,e2線(xiàn)性表出：a =a1e1十a(chǎn)2e2。ja2_例2因?yàn)閷?duì)于任意一組數(shù)k1,k2,10和 1 O一例3向量組ct1,a2，3m中的任一向量% (1 M i M m)都能由這個(gè)向量組線(xiàn)性 表出：- i = 0-1 0= i-1 1- i O i 1 0 m-11口1 = 1, 口2：2 一如果用列向量分別把方程組(3.6)的系數(shù)矩陣第j列和常數(shù)列表示為-21- 113 , 口3= -4且3一 那么方程組(3.6)可以用向量形式表示為X1: 1X2:

16、2 X3: 3 =:若方程組(3.6)有解Xi =ki (i =1,2,3),則有k1:1 k2: 2 k3: 3 =：即向量P可以由向量組42,。3線(xiàn)性表出。反之，若存在數(shù)k1,卜2*3使得上式成立, 則Xi =&(i =1,2,3)就是方程組(3.6)的一組解命題1向量P可以由向量組%,a2，4m線(xiàn)性表出的充分必要條件是：以 %42,，am為系數(shù)列向量，以P為常數(shù)列向量的線(xiàn)性方程組有解，并且此線(xiàn)性方 程組的一組解就是線(xiàn)性組合的一組系數(shù)。一1設(shè) = |-1 j-21一2|-3 , P = | 3161判斷向量B能否由向量組P2,。3線(xiàn)性表出，若能夠，寫(xiě)出它的一種表達(dá)式 解設(shè)xy1 +x2a2

17、 +x3ct3 = P ，由此可得x1 - x2 2x3 =2琉x1 + 2x2 _ 3x3 = 32x1 - 3x2 +6x3 = -1因?yàn)?122112AB= -123 3 t 01-12-36-10 -12101710 0 7T0115T01052【5-5方程組的解為X1 = 7, X2 = 5, X3 = 0 o 所以7 =70tl +5a2 +0ot3o0 010-00101定義3.3對(duì)于向量組a1,a2，ctm ,若存在m個(gè)不全為零的數(shù)k1,k2，km, 使得心口1 + k22 +kmo（m =0（3.7）則稱(chēng)向量組、,口2，Pm線(xiàn)性相關(guān)；否則稱(chēng)向量組、戶(hù)2，Rm線(xiàn)性無(wú)關(guān)。例5式證

18、單位向量組一1031e2 = 0 ， e3 =，一。10112一。100是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的證 設(shè) k1e1 +k2e2 +k3e3 +k4e4 = 0。即e4線(xiàn)性無(wú)關(guān)。由上式得唯一解k1 =可以證明，n維單位向量組色,e2,，en是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維單位向量組如果把定義3.3中的（3.7）式看作以%42,，m為系數(shù)列向量，以k1,k2,，km 為未知量的齊次線(xiàn)性方程組，那么(3.8)定理3.2 對(duì)于向量組%92,尸m,若齊次線(xiàn)性方程組 k1e1k2e2kmem = 0有非零解，則向量組口1P2,Pm線(xiàn)性相關(guān)；若齊次線(xiàn)性方程組（3.8）只有零解,則向量組口1,口2，0tm線(xiàn)性無(wú)關(guān)。定理3.3 關(guān)于向量組o

19、t1,a2，um ,設(shè)矩陣A J：1；2,，：m 】若r(A) = m ,則向量組(/(，線(xiàn)性無(wú)關(guān)；若r( A) m ,則向量組61,。2，0fm 線(xiàn)性相關(guān)。推論 任意n+1個(gè)n維向量一定線(xiàn)性相關(guān)。例6判斷下列向量組的相關(guān)性:(1) %=1 -1 2】，a2 = 0 2 1 口3 = 1 1 1】;：1-1 2】，口2=匚1 -1 2 -4】，口3 =匕 3 -5 10】; 23(3) % = 1 3 2】，叼=1-1 解(1)因?yàn)?0 1A =-12111_2 1 o(3 = 6 -5 41，44 = k10110102202201_1_00_2_61。r(A)=3=m,所以向量組(,二2尸

20、3線(xiàn)性無(wú)關(guān)。(2)因?yàn)閞(B) =2 m ,1-10-1B =-12-2-42【3-5101-10 -101_0 -22【3361 -1 20-13000P 0 0 一所以向量組叫,。2尸3線(xiàn)性相關(guān)。(3)由推論知道，四個(gè)三維向量一定是線(xiàn)性相關(guān)的卜面再介紹一個(gè)揭示同組向上面介紹了利用定理3.3來(lái)判斷向量組的相關(guān)性, 量之間具有某種相關(guān)性的特點(diǎn)。定理3.4 向量組%,口2,Pm, (m之2)線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是：其中至 少有一個(gè)向量可以由其余向量線(xiàn)性表出。(證明請(qǐng)參閱教材)推論 向量組口1,口2,，1Mm, (m之2)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：其中每一個(gè) 向量都不能由其余向量線(xiàn)性表出。例7試

21、證：若向量組的一個(gè)部分向量組線(xiàn)性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線(xiàn)性相關(guān)。證 不妨設(shè)向量組 三產(chǎn)2，尸m中的部分向量組0192r 9s (s m)線(xiàn)性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2，ks,使得k1 21 2ks： s =0從而有% 1k2： 2ks- s - 0 si -0- m =0其中k1,k2，ks,0,0不全為零，所以向量組1，1 2,，二，m線(xiàn)性相關(guān)。可以證明：若一個(gè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它的任意一個(gè)部分向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān)例8設(shè)向量組內(nèi),。？，0線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組,0(2，,a m, P線(xiàn)性相關(guān)， 證明P一定可以由,0(2，,am線(xiàn)性表出。證 因?yàn)橄蛄拷M%,口2，,am，P線(xiàn)性相關(guān)，即存在不全為零的

22、數(shù)k1,k2，,km 和k，使得k1 k2： 2 km： m =0若k =0 ,則上式為k1a1 +k2a2 +kmam =0 ,且k1, k2, km不全為零，得5,口2,am線(xiàn)性相關(guān)，與條件矛盾。因此k#0，且即P可以由%p2,.k1 km線(xiàn)性表出1 1 -冬 2 - -A mkk三、向量組的秩(下面簡(jiǎn)單地介紹向量組的秩的概念及計(jì)算方法，首先向量組的極大無(wú)關(guān)組 的定義)定義3.4 若向量組S中的部分向量組S0滿(mǎn)足：1 1) S0線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2 2) S中的每一個(gè)向量都是S0中向量的線(xiàn)性組合，則稱(chēng)部分向量組 S0為向量 組S的極大無(wú)關(guān)組。可以證明：對(duì)于一個(gè)向量組，其所有極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)都

23、相同。因此向量組的秩定義如下：定義3.5 對(duì)于向量組S,其極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱(chēng)為 向量組S的秩。利用定義求向量組的秩是比較困難的。但是，我們可以利用矩陣與列向量組 之間的關(guān)系，把求向量組的秩的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩序。這是因?yàn)槎ɡ?.7 矩P$ A的秩=矩陣A列向量組的秩二矩陣A行向量組的秩。例9設(shè)向量組20一0 一一1 1-12 - I 1一0 11a q =3111-1142J 一求向量組的秩及其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解 作矩陣A=1 2 1a3 Al用初等行變換求A的秩，即一110-T-110-T一110-12-11401120112A=0112T0112T00030-1-111 10003

24、1 10000所以心,%3y4) =3,且汽1,口2，口4為其中的一個(gè) 極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)前兩講介紹了方程組的有關(guān)概念，方程組的解的幾種情況及判定，向量組的 相關(guān)性。這一講主要介紹方程組解的結(jié)構(gòu)。、齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線(xiàn)性方程組 的矩陣形式為：AX = O(3.2)解的情況可以歸納為:1 .齊次線(xiàn)性方程組只有零解的充分必要條件是2,齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充分必要條件是 注意：當(dāng)A為n階方陣時(shí)也可利用矩陣行列式1A判斷。3 .當(dāng) =r 時(shí)，方程組AX =。有n-r個(gè)自由未知量齊次線(xiàn)性方程組AX =。解的性質(zhì)：性質(zhì)1若X/口 X2為齊次線(xiàn)性方程組 AX =。的解，則X1 + X2

25、亦為AX = O 的解。證 因?yàn)閄1和X2為方程組AX = O的兩個(gè)解，故有AX1 = O, AX2= OA ( X1 + X2) = AX1 + AX2= O所以，X1 +X2亦為 AX = O的解。性質(zhì)2若Xi為齊次線(xiàn)性方程組AX = O的解，則kXi亦為AX = O的解，其 中k為任意常數(shù)。證因?yàn)閄i為方程組AX = O的解，故有A (kX1) = k (AX1) = O所以，kX1亦為AX = O的解。由性質(zhì)1, 2可知，若X1 , X2,Xs為方程組AX =。的解，則k1X1+k2X2 +- + ksXs亦為AX = O的解，其中k1,k2，ks為任意常數(shù)。若X1,X2，Xs線(xiàn)性無(wú)關(guān)

26、，且方程組AX = O的任何一個(gè)解X都可以被X1, X2,Xs線(xiàn)性表出，則AX = O的全部解就是k1X1 + k2X2 + + ksXs其中ki,k2，ks為任意常數(shù)。定義3.6齊次線(xiàn)性方程組AX =。滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的一組解向量，稱(chēng)為 AX =O的基礎(chǔ)解系。(1)線(xiàn)性無(wú)關(guān)；(2)方程組AX = O的任何一個(gè)解都可以用它們線(xiàn)性表出。(由定義3.6可知)方程組AX = O的基礎(chǔ)解系就是其全部解向量的一個(gè)極大 無(wú)關(guān)組。當(dāng) =n時(shí)，方程組AX =。只有零解，故不存在基礎(chǔ)解系；而當(dāng) =r(n) 時(shí)，方程組AX =。有非零解，故存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù) 是n-r。由此可得如下結(jié)論：4

27、 .當(dāng) =rn時(shí)，方程組AX = O 一定有基礎(chǔ)解系，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有 n-r個(gè)解向量。若X1, X2,，Xn_r為基礎(chǔ)解系，則AX =。的全部解為k1X1+k2X2 + -+kn_rXn_r(3.9其中此人,，ks為任意常數(shù)。(3.(9) 為AX = O的通解。如何求方程組AX = O的基礎(chǔ)解系呢？(1)把齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)寫(xiě)成矩陣 A;(2)用初等行變換把A化為階梯陣；(3)把階梯陣中非主元列所對(duì)應(yīng)的變量作為自由未知量(4)分別令自由未知量中一個(gè)為1其余全部為0的辦法，求出n-r個(gè)解向量, 這n- r個(gè)解向量構(gòu)成了基礎(chǔ)解系。例1設(shè)齊次線(xiàn)性方程組X1 + x2 + x3 + X4 +

28、x5 = 0 3x1 +2x2 +x3 +x4 -3x5 =0 x2 3x3 2x4 6x5 = 0 5x1 4x2 3x3 3x4 -x5 =0 求其基礎(chǔ)解系和通解。解先寫(xiě)出系數(shù)矩陣A,再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即-130.512141133（）1123一1001-36-11-100林（_5）1-2101-200-100P1-6001-11-11-23-21-22-21-66-6再進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得（）2一100.01-10000101-2001 1-600物（）一100.001000010-1200-51600由此可知x4,x5為自由未知量。令X4 = 1 , X5 = 0 ,得解

29、向量X1令X4 = 0 , X5 =1 ,得解向量X2于是X1，X2為方程組的基礎(chǔ)解系。一1 1-2=01.0 1一 516=00J 一 通解為k1X1 + k2X2其中K*2為任意常數(shù)。二、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線(xiàn)性方程組 的矩陣表示形式為：AX = B非齊次線(xiàn)性方程組AX = B的解的情況可以歸納為：1 .方程組AX = B有解的充分必要條件是rA B=。2 .若rA B= 時(shí)，方程組AX = B有唯一解。3 .若rA B= r 時(shí)，方程組AX = B有無(wú)窮多解，且有n-r個(gè)自由未知量。在非齊次線(xiàn)性方程組 AX = B中，令B =。，得到相應(yīng)的齊次方程組 AX = O。方程組AX

30、= B與相應(yīng)的AX = O之間有密切的關(guān)系，滿(mǎn)足如下性質(zhì)：性質(zhì)3若XD X2為非齊次線(xiàn)性方程組 AX = B的解，則X1-X2必為AX = O 的解。證 因?yàn)閄1和X2為方程組AX = B的兩個(gè)解，故有AX1 = B, AX2= BA(XX2)= A Xi - A X 2 = B- B = O所以，X1-X2為AX =。的解。性質(zhì)4若X。為非齊次線(xiàn)性方程組 AX = B的解，X為相應(yīng)的萬(wàn)程組AX = O 的解，則Xo + 三必為AX = B的解。證 因?yàn)閄。為方程組AX = B的解，X為萬(wàn)程組AX =。的解，故有A Xo= B, A X = O.A ( Xo + X ) = AXo +AX =

31、B+ O= B所以，Xo + X為AX = B的解。(3.3)例1解線(xiàn)性方程組解先寫(xiě)出增廣矩陣A B,再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即A1115=I3-1-221 10 40 00 0-2-1-1-3 -201421-111_ 2-1-1-1-11666-2一2-211-2-1 -104-1-110 -477504_ 3 _ 3 _1_112110 4 1 1100666-00000_上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線(xiàn)性方程組是同解方程組，最后一個(gè)增廣矩 陣表示的線(xiàn)性方程組為將最后一個(gè)方程乘 ，再將 項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得將其代入第二個(gè)方程，解得x2 =1 2再將代入第一個(gè)方程組，解得x1

32、- -x4 12因此，方程組（3.3）的解為X = -x4 +1/21x2 = 1/2（3.4）*3 = -*41其中可以任意取值。由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無(wú)窮多個(gè)。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3 的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未 知量 稱(chēng)為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱(chēng)為方程 組（3.3）的一般解，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量取定一個(gè)值（如 =1）,得到）,稱(chēng)之為方程組方程組（3.3）的一個(gè)解（如（3.3）的特解注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例 1也可以將 取作自由未知量如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一

33、任意常數(shù)k,即令 =k,那么方程組（3.3）的一般解為x1 = -k +1/2,其中k為任意常數(shù)x2 =1 2x3 - -k 1x4二k用矩陣形式表示為-xjx3-X4 一一-k+1/211/2 =kk +1* 一0-1J 一1/21/21一0 一其中k為任意常數(shù)。稱(chēng)表示式（3.5）為方程組（3的全部解。（用消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯形 矩陣后，要寫(xiě)出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代 的過(guò)程表示出來(lái)，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)一步簡(jiǎn)化, 使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，）一100.0對(duì)例1中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn),1-2 -1 -11 1 04-1-11066600000 4 00 0 1_0 0 010