數(shù)列常用性質(zhì)

1、數(shù)列常用性質(zhì)+=p+q=等差數(shù)列am+anap+aq等比數(shù)列aman=ap&等差數(shù)列中SqS?一5,3-S2Skn-Sq_)也成等差數(shù)列等比數(shù)列中Sn,§2S,s3nS2nSknSq_1)也成等比數(shù)列等差數(shù)列_(%+%t)x(2"1)_2T-2一&±吟Zjx(2i)常用求和公式(+l)x+n=21+3+5+7+(2-1)=2由I2+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)nn+1)2613+23+33+/?=第一組公式的平方常用求和技巧:裂相相加11111+26123042111111=F+FH1x22x33x44x55x66x7“1、1、/1、

2、J1、=(1-T)+(T-T)+G三)223346716=1=77分組求和(11+13+15+17+31)-(6+8+10+26)=(11-6)+(13-8)+(15-10)+(31-26)=5+5+5+5=5x11=55錯(cuò)位相減法等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積反序相加法把數(shù)列倒過來排序,與原數(shù)列相加有公因式可提例L設(shè)包公差為正數(shù)的等差數(shù)列a,十%+小=15,./=80貝lj14J14J解一設(shè)W首項(xiàng)為al,公差為da+生+%=3.+34=15.1.243=ax(+4)x(q+24)=80580y解二設(shè)中間量法設(shè)3/=15/、/、=80(a2-d)a2(a2+d)=>a2=5d=±3(

3、=3舍去)cicici2,5,86/|+6/p+,13=.+10+t/|+1It/+6/j+12d=34+33=3x2+33x3=105例2.在等比%中；%=2,前幾項(xiàng)和為S,假設(shè)數(shù)列+1也是等比數(shù)列,那么s等于A2,1+,-283C2z7.田-1解：設(shè)公比為必那么"2=a3=2q24+12+1%+1=2夕+1-2g+12=3x2q+1%+1=2q-+1=>4+4q+l=6q2+3=>Iq1-4y+2=0=>-2<7+l=0=X>=1=>S“=2/1常數(shù)列,每個(gè)數(shù)都相等例3.數(shù)列"J,也都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為%,4,且生+=

4、5,a,b,gN+設(shè)Q=%gN那么數(shù)例C的前10項(xiàng)和等于A55B70C85D100an-ax+n-ld-ax+n-i<bn-bx+n-d-bx+n-Cn=ci=+/?1=+/7+11-5+n-2-n+3Cj=4d-10x95lo=10x4+義1=40+45=85102難點(diǎn)在于代換.例4.在等差數(shù)M中,假設(shè)%+4=12,3是數(shù)列4前項(xiàng)和,那么'的值為A.48B、54C、60D.66$=®+%x9=%+-6x9=12x9=54F22"例5.在等差數(shù)列"J中,ax=2,2+43=13,那么44+45+46等于A40542C43045解：設(shè)公差為"

5、“2+“3=2+1+2+24=1334=904=3方法一：4+%+.6=%+%+%=%+%+“5=3%=42a5=2+4x3=14方法二：%+牝+.6-41+.2+%=.4_?+%2+.6-3=3dx3=9d=27.%+%+a=27+2+13=42例6,設(shè)S為等差數(shù)列“的前項(xiàng)和,假設(shè)5=1°S10=-5,那么公差為:法一：5x4S5=5d-(1=1010x9,So=10t/|hd=5二>254=25d=-法二：S=1+%+a.+aA+a.10S|QS546+47+8+.9+a10=510=15下式上式54+54+54+54+54=2525=-25二1例7、正項(xiàng)數(shù)列為,其前項(xiàng)和S

6、滿足10S=“：+56+6,且%«,4,成等比數(shù)列,求數(shù)列""的通項(xiàng)“解：10S“=4；+5冊(cè)+6=a"+5%.+6(之2)：1.(2-Sz)=4：一“3+5an-5%一10an=q；+5an-5an_x=0=a；_；_5a“-5qi(x?-y-5x-5y=0)=同+4-iX%t*-5)=.冊(cè)+>°e-Clnan-5=0=-=5令=110%="；+5a1+6=-5«|+6=0=ax=2或=3如果q=2an=2+5(-1)=5-3如果q=3an=3+5(-1)=52假設(shè)盤=5n-3,“=2=12al5=72滿足條件假設(shè)=

7、5-2M=3a3=13.小=73不滿足條件例8：設(shè)S“是等差數(shù)列%的前項(xiàng)和S3假設(shè)以解：由于“是等差數(shù)列S3,臬-S3,S9-$6,S|2-S9成等差數(shù)列設(shè)S3=K56=3k=>56S?=2kSgS6=3k,Sg=4k5|2=S9+4k=56+3/c+4k=3k+3k+4k=10kS63k3zz>=5I210k10例9.某等差數(shù)列共有io項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)之項(xiàng)和為30,那么其公差為A、2B、3C、4D、5解：Sf,S,r=+,/+,/+4=15分組求和,對(duì)應(yīng)相減.例10.假設(shè)互不相等的實(shí)數(shù)小b、C成等差數(shù)列,C、4、.成等比數(shù)列,且4+%+C=10那么4=A、4B、2C、

8、-2D、-4設(shè)a=b-dc=b+d設(shè)中間量法那么.、b、c為bdb,b+dc、a,b成等比數(shù)列=>cJ=bc=Z?-t/2=bb+db2-2bd+d2=b2+bd=</2=3從/=,4一3%=0由于4、b、C互不相等所以,工0=4-3=0a=b-d=b-3b=-2l=3/?=c=b=d=b+3b=4b代入.+3b+c=0-2/7+3匕+4=10=2.=一4例11.在數(shù)列包中,假設(shè)“1=14+1=24+3(21)那么該數(shù)列的通項(xiàng)猴=解：4川二2%+3令4+1+X=2a+A4+1=24+丸=丸=3代回原式an+3=24+3%+3=+3x2"T=4x2“t=2一】%=2+i-3例12.數(shù)列包中q=2,弓山=(后-1址+2),癡解:?向+%=應(yīng)一1%+4?向二a-1.+應(yīng)一1彳一4二四T%+&_2X.'.24=5/21jx2V2-22=2V2-2=5/22-5/2A=-y/2%+i-V2碼是首項(xiàng)為2-&公比為0-1