兩點(diǎn)之間線段最短的探究與再思考

1、兩點(diǎn)之間線段最短的探究與再思考初一上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)，并利用它作了一節(jié)課，相信大家對(duì)它還是記憶猶新的。自從那次課后，不知大家有沒有進(jìn)行更深的思考，小人不才，愿用這貧乏的文字，說一說我的想法。探究問題一：已知，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小。（如圖所示）解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的基本概念，只用連接AB即可輕松的得到答案。如圖所示。線段AB與直線L的交點(diǎn)，就是題目要求的點(diǎn)P。總結(jié)：本題雖然十分簡(jiǎn)單，但卻是所有有關(guān)本類題目難題的基礎(chǔ)，是必須要牢記與掌握的。下面一題，就是上一題的變形，你還會(huì)做嗎？探究問題二：已知，A，B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得

2、PA+PB最小。（如圖所示）解：本題的難點(diǎn)不在于解題過程，而在于解題的思想，往往大家不能正確的找到解題的思路。那么，我就在此拋磚引玉，說說我的看法。首先，作點(diǎn)B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)B，（如圖所示），因?yàn)镺B=OB,BOP=B，OP=OP，所以O(shè)PBOPB。所以，PB=PB。因此，求AP+BP就相當(dāng)于求AP+PB。這樣，復(fù)雜的問題便通過轉(zhuǎn)化變得簡(jiǎn)單，成了探究問題一。因此只用連接AB即可，與直線L的交點(diǎn)，就是題目要求的點(diǎn)P。結(jié)論：我們完全也可以把以上的結(jié)論當(dāng)作一個(gè)模塊牢記下來，成為自己解題的方法之一。探究問題三：A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周

3、長(zhǎng)最小。(如圖所示)解：利用探究問題二的結(jié)論，作A與OM的對(duì)稱點(diǎn)D，再作A與ON的對(duì)稱點(diǎn)E。連接DE（如圖所示），據(jù)上題鋪墊，我們可得，AB=BD，AC=CE，又因?yàn)镈，B，C，E在一條直線上，所以，這時(shí)的周長(zhǎng)是最短的?？偨Y(jié)：本題可總結(jié)為“三角形的一點(diǎn)決定”。下面我們看一看四邊形一邊確定。探究問題四：AB是銳角MON內(nèi)部一條線段，在角MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)C，D組成四邊形，使四邊形周長(zhǎng)最小。（如圖所示）解：有了上一題的鋪墊，本題似乎簡(jiǎn)單了許多，作A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)E，再作B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF即可。如圖。ABCD便是周長(zhǎng)最小的。（2）下面我把上一題簡(jiǎn)單變形，把銳角變?yōu)橹苯牵蠹以倏?，本圖有沒有似曾相識(shí)之感？對(duì)了，我們見過的，只用把兩條直角邊所在直線看作是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，再把AB兩點(diǎn)固定位置，這樣，就變?yōu)榱嗽驴几郊宇}中的最后一題。原題：在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m,o),當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求m/n的值。解：依題意畫圖得：由探究問題四得知，作B關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B，A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A。連接AB，他們與X軸，Y軸的交點(diǎn)便為所求。如圖所示，過A與B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式可求。設(shè)過A與B兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b.依題意得：-8k+b=-3,