向量空間的定義和基本性質(zhì)

1、5.2向量空間的定義和基本性質(zhì)授課題目：5.2線性空間的定義和基本性質(zhì)教學(xué)目標：理解并掌握線性空間的定義及基本性質(zhì)授課時數(shù)：3學(xué)時教學(xué)重點：線性空間的定義及基本性質(zhì)教學(xué)難點：性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論的證明教學(xué)過程：一、線性空間的定義引例定義產(chǎn)生的背景例子.設(shè)o（,E,YwFn,a,bwF則向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下述運算律(1)(_*).=:(")(3)三零向量6,對Wo(有0+a=ot(5) a(:1*)=a：:、a(4)對/0(,有ot使a+(a)=0(6) (a+b)a=aw+ba(8)a,PJ,；F是一個數(shù)域(7) (ab)：=a(b：)1. 這里：,'-,-Fn,a,b

2、F向量空間的定義一抽象出的數(shù)學(xué)本質(zhì)Def:設(shè)V是一個非空集合，其中的元素稱為向量。記作a,b,c在F，如果在集合V中定義了一個叫做加法的代數(shù)運算，且定義了FxV到V的一個叫做純量乘法的代數(shù)運算.（F中元素a與V中ot的乘積記作a",aawV）。如果加法和純量乘法滿足：1）2）（二、"）.=：.（：.）3）三0V,對Ja3,有0+a=a（找出。元）fc-4）寸a"Oa，EV使得a+ot'=6稱a,為a的負向量（找出負元）5）ap"'）=a：a:6）（ab）：=a：b：7）（ab）：=a（b：）8）1:=:V是F上的一個線性空間，并稱F為基數(shù)

3、域.2. 進一步的例子一一加深定義的理解例1:復(fù)數(shù)域C對復(fù)數(shù)的加法和實數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法作成實數(shù)域R上的線性空間.例2:任意數(shù)域F可看作它自身的線性空間.例3V=ot其加法定義為a+a=a,數(shù)乘定義為aa=a,則V是數(shù)域F上的線性空間.注：V=0對普通加法和乘法是數(shù)域F上的線性空間，稱為零空間.例4:設(shè)F是有理數(shù)域，V是正實數(shù)集合，規(guī)定:二-：-,a-：a（:,"V,aF）練習(xí)集合V對規(guī)定的睇,L是否作成數(shù)域F上的線性空間？V=Fn,（ai,a2l|,an）二（n,b2,川，bn）=（an,a2b2,山，anbn）,aL（ai,a2,，an）=（0,0，,0）解顯然V對©X滿足

4、條件1）7）,但對任意的（a,a2,川,a”）Fn有1L（齊為，,an）=（0,0，,0）=（qq,，an）,故集合V對規(guī)定的不作成數(shù)域F上的線性空間.由此例可以看出，線性空間定義中的條件8）是獨立的，它不能由其他條件推出.二、線性空間的簡單性質(zhì)1、線性空間V的加法和純量乘法有以下基本性質(zhì).Th5.2.11）V的零向量唯一，V中每個向量的負向量是唯一的2）_（-a）=ct證明：1）設(shè)01,02是V的兩個零向量，貝U01=01+02=02.設(shè),。2是口的負向量，則有:1二=0,；2二=0,于是：1=：1。=：1（二"工2）=（：1：）2=。：2=：2*由于負向量的唯一性，以后我們把的a

5、唯一負向量記作q.2）因+（-«）=0,所以（-a）=a.3）*我們規(guī)定：aE=0+（E）,且有a+E=Yua=¥E.定理5.2.2對F的任意數(shù)a,b和V中任意向量",則有1) 0:=:0=0.2) a(-ot)=(-a)a=at,特別地，(_1)a=ot.3) aa=0na=0或a=0.4) a(:-)=a：-a：,(a-b)：=a：-b：.證明：1)因為0a=(0+0)口=0a+0a.所以0a=0.類似地可證a0=0.2)因為a。+a(-«)=a(a+()*0=0所以a(q)是裂的負向量，即a()-a：.同理可證(-a)：-a.i一設(shè)aa=0,如果a

6、#0,貝U有a=F,于是:-1:a(=a)：七(a：j=a0=0.a(：zI')=a(藝，(一：)=a芻，a(-：)=a。一a：,(ab)：=(a(b)：=a二；(b)：=a：-b.注：線性空間的定義中1a=ot與定理5.2.2的性質(zhì)3)在其他條件不變的情況下等價.事實上，由線性空間的定義可推出定理5.2.2的性質(zhì)3).反之，由線性空間定義中的條件1)-7)及定理5.2.2的性質(zhì)3)可推得1a=a1(1：-)=1(1蕓卜(T-)因為=1(1：)1(一：)=(11)：(一1):=1(一1)-0,由性質(zhì)3)1雙a=0所以1秘=a.課堂討論題：檢驗以下集合對于指定的線性運算是否構(gòu)成相應(yīng)數(shù)域上

7、的線性空間：1) 起點在原點，終點在一條直線上的空間向量的全體作成的集合V,按通常集合向量的加法及數(shù)乘運算；V=(X1,X2,ll),Xn)X1X2IIIXn=1,XF2) V2=(*,*2,111,遍)*+X2+川+A=0,X"F按通常數(shù)域F上n維向量的加法及乘法運算；V3=XTr(X)=0,XFnnV3=數(shù)域F上n階對稱與反對稱方陣的全體按通常數(shù)域F上矩陣的加法及乘法運算；V5=ax+a3X3+|+a2n*x2n+|a產(chǎn)F3) V6=伉aixW2X2川anXna(oa"Ia”=1,aF按通常數(shù)域F上多項式的加法及數(shù)乘運算；全體實數(shù)R的集合按通常數(shù)的加法與乘法運算是否構(gòu)成

8、復(fù)數(shù)域C上線性空間？全體復(fù)數(shù)域C的集合按通常數(shù)的加法與乘法運算是否構(gòu)成實數(shù)域R上線性空間？4) 數(shù)域F上的n階方陣全體，按通常數(shù)與矩陣乘法，但加法定義為A二B=AB-BA三、子空間1、子空間的定義定義2:子空間的定義：V是F上一個線性空間，W是V的一個非空子集，如果W對V的加法和FxV到V的純量乘法，也作成F上的一個線性空間，則稱W是V的子空間。例5:Fnx是Fx的子空間.例6:V是它本身的一個子空間.0也是V的子空間.V和零空間叫做V的平凡子空間，V的其他子空間叫做V的真子空間.2、子空間的判斷：Th5.2.3設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的一個非空子集，則W是V的子空間的充要條件：Vo(

9、,EeV,有a+E亡VF«WV有a。=W證明：W對加法封閉，即對任意"，Bew,有u+臼在W.W對純量乘法封閉，即對任意aWF,www,有多ww.證明：必要性.設(shè)W是V的子空間，則V的加法是W的代數(shù)運算，從而W對V的加法封閉；另外，F(xiàn)KV到V的純量乘法也是FXW到W的純量乘法，因此W對純量乘法也封閉.充分性.由于W對V的加法封閉，對FXV到V的純量乘法封閉，所以V的加法是W的代數(shù)運算，F(xiàn)XV到V的純量乘法也是FXW到V的純量乘法的代數(shù)運算.線性空間定義中的算律1),2),5),6),7),8)對V中任意向量都成立，自然對W的向量也成立.由W對純量乘法的封閉性和定理5.2.2

10、,對于5wW,0=WWW,所以V中的零向量屬于W,它自然也是W的零向量，并且工=(-1片在W,因此條件3)和條件4)也成立，故W是推論1:W是V的一個非空子集，則W是V的子空間的充要條件:-a,bF,：,=W有a：b=W3、生成子空間例7：設(shè),0（2，|,%是數(shù)域F上的線性空間V的一組向量.L（：1,：2,，：n）=a：1a2：2an：nIaF則L（%,。2，Qn）作為V的一個子空間所以L（；1,：2,lH,：n）=J事實上,取a=0（i=1,2，川,n）,于是0=0：10：2HI0：nL（：1,：2,lH,：n）,又因（為-a2,2，HRn'n）（b1；1切:2,川bn；n）=（角礦

11、1（a2b2）：2III（anbn）：n）LC1,：2|,:n）a（a'1-aIlla'n）=（aa）：1（aa2”2川（aan）：nL（：1,：2,IH,：n）,所以1（%,口2,川幺）作成V的一個子空間.L（%,口2,川皿）稱為由立1,二2,川,生成的子空間，"2,川皿稱為它的一組生成元4、子空間的交與并Th4:W1,W2是V的兩個子空間，貝UW1CW2仍是V的子空間.（問W1UW2是否為V的子空間.）證明：因為W1,W2是V的兩個子空間，所以0WW；,0WW4,從而0叫廠W，丁是w-W2=,.對任意a,bF,：,"WW2,有a+b&Ma&quo

12、t;+b&雙，因而ab"W'W>,所以叫廠觀是v的子空間.推廣：若W1,W2Wn是V的子空間，則Wi（i=1,2，n）也是V的子空間.例：A是一個n階矩陣，S(A)=B在MnF|AB=BA則S(A)是UnF的一個子空間.證：IA=AIIS(A)=.：，寸B1,B2在S(A),丁是AB1HB1A,AB2=B2A又A(kBi舊2)=kABiIAB2=kBiA舊2A=(kB舊2)A.kB1舊2S(A)2.兩個子空間的并則不一定是子空間.(W1Uw2=c(|口在W,或a在W2)例：設(shè)Vi,V2是V的兩個子空間，證明V1UV2是V的子空間的充要條件是V1WV2或V2WV1.證