無(wú)限循環(huán)小數(shù)如何化為分?jǐn)?shù)匯總

1、無(wú)限循環(huán)小數(shù)如何化為分?jǐn)?shù)由于小數(shù)部分位數(shù)是無(wú)限的，所以不可能寫(xiě)成十分之幾、百分之 幾、千分之幾的數(shù)。轉(zhuǎn)化需要先“去掉”無(wú)限循環(huán)小數(shù)的“無(wú)限 小數(shù)部分”。一般是用擴(kuò)倍的方法，把無(wú)限循環(huán)小數(shù)擴(kuò)大十倍、一百 倍或一千倍使擴(kuò)大后的無(wú)限循環(huán)小數(shù)與原無(wú)限循環(huán)小數(shù)的“無(wú) 限小數(shù)部分”完全相同，然后這兩個(gè)數(shù) 相減，這樣“大尾巴”就剪掉 了。方法一：(代數(shù)法)類(lèi)型1:純循環(huán)小數(shù)如何化為分?jǐn)?shù)例題：如何把0.33和0.4747 化成分?jǐn)?shù)例 1: 0.33X 10=3.330.33 X 10-0.33 =3.33 0.33 (10- 1) X0.33=3即 9X0.33 =3那么 0.33 =3/9=1/3例 2:

2、0.4747 X 100= 47.4747 0.4747 X 100- 0.4747 =47.4747 一0.4747 (100-1) X 0.4747 =47即 99X0.4747 =47那么0.4747=47/9由此可見(jiàn)，純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，它的小數(shù)部分可以寫(xiě)成這樣的分?jǐn)?shù)：純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，分母就是由幾個(gè) 9組成的 數(shù)；分子是純循環(huán)小數(shù)中一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。練習(xí)：(1) 0,3=3/ (10-1) = 1/3 0.31 31 =31/ (100-1 ) =31/99。(3) 0.312 312 =類(lèi)型2:混循環(huán)小數(shù)如何化為分?jǐn)?shù)例題：把0.4777和0.325656化成分?jǐn)?shù)例

3、3: 0.4777X 10=4.7770.4777X 100=47.77用一即得：0.4777 X 90=47Y所以：0.4777=43/90例 4: 0.325656乂 100=32.56560.325656X 10000=3256.56用一即得：0.325656 X 9900=3256.5656-32.56560.325656 X 9900=32562所以：0.325656=3224/9900練習(xí):(1) 0.366 = 1.25858=(3) 6.23898989=可見(jiàn)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，是有理數(shù)就可以化成分?jǐn)?shù)。方法二：(方程法)用一元一次方程求解1 .把0.232323化成分?jǐn)?shù)。設(shè)

4、 X=0.232323因?yàn)?0.232323=0.23 + 0.002323所以 X = 0.23 + 0.01X解得：X = 23/992 .把 0.1234123412341234.化成分?jǐn)?shù) 。解：設(shè) X=0.1234123412341234.因?yàn)?0.1234123412341234. = 0.1234 + 0.000012341234.所以 X = 0.1234 + 0.0001X解得：X = 1234/99993 .把 0.56787878.化成分?jǐn)?shù)，因?yàn)?0.56787878.= 0.56 + 0.01 * 0.787878.所以設(shè) X=0.787878.則 X=0.78 + 0.

5、01X所以 X = 78/99所以 原小數(shù) 0.56787878.=0.56+0.01X = 0.56 + 0.078/99 =2811/4950其它無(wú)限循環(huán)小數(shù)，請(qǐng)仿照上述例題去作方法三：任意一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以看成一個(gè)有限小數(shù)加上一個(gè)等比數(shù)列的極限和比如說(shuō)0.233333333就可以看成0.2加上一個(gè)首項(xiàng)為0.03,公比為 0.1 的等比數(shù)列。那么問(wèn)題就很簡(jiǎn)單了0.233333333=0.2+0.03/(1-0.1)=1/5+1/30=7/30。也就是說(shuō)任意一個(gè)有限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)有如下方法：首先找出選環(huán)節(jié)，如上面的例子就是3,然后計(jì)算選環(huán)節(jié)的單位長(zhǎng)度，如上題就是1,如0.232323.

6、就是2, 0.123123123.就是3,這里記為q,然后寫(xiě)出不是循環(huán)節(jié)的部分，如上題就是 0.2,這里記為a, 再寫(xiě)出第一個(gè)循環(huán)節(jié)，如上題就是 0.03,如0.01789789789.就是0.00789,這里記為b,分?jǐn)?shù)的形式就是a+b/(1-1/(10Aq),這里的a,b,q都是有限小數(shù)，可方便化為分?jǐn)?shù)。在高中學(xué)完了數(shù)列、極限以后，就會(huì)知道下面的方法：一，純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：循環(huán)節(jié)的數(shù)字除以循環(huán)節(jié)的位數(shù)個(gè) 9組成的 整數(shù)。例如：0.3333 =3/9=1/3 ;0.285714285714=285714/999999= 2/7.二，混循環(huán)小數(shù)：(例如：0.24333333)不循環(huán)部分和循環(huán)節(jié)

7、構(gòu)成的的數(shù)減去不循環(huán)部分的差，再除以循環(huán)節(jié)位數(shù)個(gè)9添上不循環(huán)部分的位數(shù)個(gè)0。例如：0.24333333=(243-24)/900=73/3000.9545454=(954 -9)/990=945/990=21/221 位循環(huán) 0.X X X X =X/92 位循環(huán) 0.XY XY XY=XY/993 位循環(huán) 0.XYZ XYZ =XYZ/999N 位循環(huán) 0.a1a2a3an ala2a3an=a1a2a3 an/9999 9(n 個(gè)9)推理依據(jù)：0.X X X X =0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X +=X * (0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001

8、+)=X * 0.1/(1-0.1 )無(wú)限等比數(shù)列和 Sn=a1/(1-q)首項(xiàng)/ (1-公比)=X * 1/90.XY XY XY =0.XY + 0.00XY + 0.0000XY +=XY * 0.01/(1-0.01 ) =XY * 1/990.XYZ XYZ XYZ=0.XYZ + 0.000XYZ + 0.000000XYZ +=XYZ * (0.001 + 0.000001 + 0.000000001 +)=XYZ * 0.001/(1-0.001 )=XYZ * 1/9990.a1a2a3 an a1a2a3 an=0.a1a2a3 an+0.000 0a1a2a3 an(n

9、個(gè) 0) + =a1a2a3 - an * 0.00 。出/個(gè) 0)/(1- 0.00- -01)=a1a2a3 - an * 1/9999 9(n 個(gè) 9)用哥的形式也可。0.0001（n-1個(gè)0）表示為1/10Anx = 0.333333.10x = 3.33333.10x - x = 3x = 1/3純循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)有幾個(gè)數(shù)字，分母就有幾個(gè)9,分子是循環(huán)節(jié) 的數(shù)字混循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)有幾個(gè)數(shù)字，分母就有幾個(gè)9,循環(huán)節(jié)前到小 數(shù)點(diǎn)間有幾位數(shù)字，分母9后面就有幾個(gè)0,分子是混循環(huán)數(shù)字減去 循環(huán)節(jié)前數(shù)字的差或者用極限解，還有就是樓上的樓上的方法我們可以將無(wú)限小數(shù)按照小數(shù)部分是否循環(huán)分成兩類(lèi)：即

10、無(wú)限循環(huán)小 數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，而無(wú)限循環(huán)小 數(shù)是可以化成分?jǐn)?shù)的。那么，無(wú)限循環(huán)小數(shù)又是如何化分?jǐn)?shù)的呢？由 于它的小數(shù)部分位數(shù)是無(wú)限的，顯然不可能寫(xiě)成十分之幾、百分之幾、 千分之幾的數(shù)。其實(shí)，循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)難就難在無(wú)限的小數(shù)位數(shù)。所以我就從這里入手，想辦法去掉無(wú)限循環(huán)小數(shù)的循環(huán)的部分。 策略 就是用擴(kuò)大倍數(shù)的方法，把無(wú)限循環(huán)小數(shù)擴(kuò)大十倍、百倍或千倍 使擴(kuò)大后的無(wú)限循環(huán)小數(shù)與原無(wú)限循環(huán)小數(shù)循環(huán)的部分完全相同， 然 后這兩個(gè)數(shù)相減，這樣就把循化的部分去掉了 ，我們的目的就達(dá)到了 ， 我們來(lái)看兩個(gè)例子：例1把0.4747和0.33化成分?jǐn)?shù)。解法1:0.4747X 100=

11、47.47470.4747X 100 0.4747=47.47470.4747(100-1) X 0.4747 =47即 99X 0.4747 =47那么 0.4747=47/99解法 2: 0.33 X 10= 3.33 0.33X 10-0.33=3.33 0.33(10-1) X0.33=3即 9X0.33 =3那么 0.33 =3/9=1/3由此可見(jiàn)，純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，它的小數(shù)部分可以寫(xiě)成這樣的分?jǐn)?shù)：純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，分母就是由幾個(gè)9組成的數(shù)；分子是純循環(huán)小數(shù)中一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。把0.4777和0.325656化成分?jǐn)?shù)。想 1: 0.4777X 10=4.7770.47

12、77X 100=47.77用一即得：0.4777 X 90=47Y所以，0.4777=43/90想 2: 0.325656X 100=32.56560.325656X 10000=3256.56用一即得：0.325656X 9900=3256.5656-32.56560.325656X 9900=32532所以，0.32565 6=3224/9900由以上例題可以看出，一個(gè)混循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分組成的數(shù)與小數(shù)部分中不循環(huán)部分組成的數(shù)的差，分母的頭幾位數(shù)是9,末幾位是0。9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)中的位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。從上面例題

13、可知，一個(gè)純循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分?jǐn)?shù)，這個(gè)分 數(shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)表示的數(shù)，分母的各位數(shù)都是 9, 9的個(gè)數(shù)與 循環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)相同.最后能約分再約分。把無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)給定一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)，我們是否能把它化為分?jǐn)?shù)呢？其實(shí)方法也很 簡(jiǎn)單，其關(guān)鍵在于利用無(wú)限循環(huán)這一點(diǎn)。例如，給定小數(shù) 0.272727.,如何把它化為分?jǐn)?shù)呢？我們可以先把它寫(xiě)成1 x 0.272727. = 0.272727（1）由于這個(gè)小數(shù)包含兩個(gè)循環(huán)數(shù)字，我們把它乘以100:100 x 0.272727. = 27.2727(2)接著用(2)減(1),利用無(wú)限循環(huán)的特點(diǎn)，把小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字全部去掉,得99 x 0.2727

14、27. = 27 (3)接著把化簡(jiǎn)，得0.272727. = 3/11當(dāng)循環(huán)數(shù)字并非包括小數(shù)點(diǎn)后所有數(shù)字時(shí)，我們便需要多一點(diǎn)工夫例如要把小數(shù)0.11345345.化為分?jǐn)?shù)，可以這樣做：100 x 0.11345345. = 11.345345.100000 x 0.11345345. = 11345.345.99900 x 0.11345345. = 113340.11345345. = 11334/99900 = 1889/16650利用上述方法，我們還可以獲得某些意想不到的結(jié)果。試把 0.99.化為分?jǐn)?shù)：1 x 0.99. = 0.99.10 x 0.99. = 9.999 x 0.99.

15、 = 90.99. = 1于是，我們得到1的無(wú)限循環(huán)小數(shù)表達(dá)式除了是1.00 外，還可以 是0.99。事實(shí)上，我們可以證明，凡是除得盡的分?jǐn)?shù)，除可表達(dá)為以無(wú)限個(gè)0結(jié)尾的循環(huán)小數(shù)外，還可表達(dá)為以無(wú)限個(gè)9結(jié)尾的 循環(huán)小數(shù)將純循環(huán)小數(shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)； 分母 各位數(shù)字都是9, 9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)中的數(shù)字的個(gè)數(shù)相同.將混循環(huán)小數(shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，分子是不循環(huán)部分與第一個(gè)循環(huán)節(jié)連成的數(shù)字組成的數(shù)，減去不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字組成的數(shù)之差； 分母的頭幾 位數(shù)字是9,末幾位數(shù)字是0, 9的個(gè)數(shù)跟循環(huán)節(jié)的數(shù)位相同，0的個(gè) 數(shù)跟不循環(huán)部分的數(shù)位相同.無(wú)限循環(huán)小數(shù)，先找其循環(huán)節(jié)(即循環(huán)的那幾位數(shù)字)，然后將其展開(kāi)為一等比數(shù)列、求出前 n項(xiàng)和、取極限、化簡(jiǎn)。例如：0.333333循環(huán)節(jié)為3則 0.3=3*10八(-1)+3*10八(-2)+3八10( -n)+前 n 項(xiàng)和為：30.1(1-(0.1)八(n)/(1-0.1)當(dāng)n趨向無(wú)窮時(shí)(0.1 )八(n) =0因此 0.3333 =0.3/0.9=1/3注意：mM的意義為m的n次方。方法二：設(shè)零點(diǎn)三，三循環(huán)為x,可知10x-x=m點(diǎn)三，三循環(huán)-零點(diǎn)三，三循環(huán)9x=3x=1/3第二種：如，將 3.3