平面幾何：有關(guān)三角形五心的經(jīng)典考題及證明-(中考提分助力)

1、1 / 8平面幾何：有關(guān)三角形五心的經(jīng)典試題三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心 、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例 1 .過等腰厶 ABC底邊 BC上一點 P弓 I PM / CA交 AB于 M ;弓| PN / BA交 AC于 N.作點 P 關(guān)于 MN 的對稱點 P.試證：P點在 ABC 外接圓上.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題）分析：由已知可得 MP =MP=MB, NP =NP=NC，故點 M 是厶 P BP 的外心，點N 是厶 P PC 的外心.有/ BP P=1/ BMP =丄/ BAC，2 211/ PP C= / P

2、NC= / BAC.22/BP C=ZBPP+ZPPC=ZBAC.從而， P點與 A， B， C 共圓、 即卩在厶 ABC 外接圓上. 由于 P P 平分ZBPC,顯然還有P B: P C=BP: PC.例 2.在 ABC 的邊 AB，BC，CA 上分別取點 P，Q，S.證明以 APS,ABQP， CSQ 的外心為頂點的三角形與 ABC 相似.（ B 波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：設(shè) 01，02，03是厶 APS，BQP， CSQ 的外心，作出六邊形01PO2QO3S 后再由外 心性質(zhì)可知ZP01S=2ZA，ZQ02P=2ZB，ZSQQ=2ZC.ZP01S+ZQ02P+ZSQQ=360 .

3、從而又知Z01P02+Z02Q03+Z03S0I=3600將厶 02Q03繞著 03點旋轉(zhuǎn)到厶 KS03，易判斷厶 KS01BA02P01，同時可 得厶010203 01K03.1 Z020103=ZK0103=Z0201K21=(Z0201S+ZS0iK)21=(Z0201S+ZP0102)1=丄ZP01S=ZA;2同理有Z010203=ZB.故 010203sABC.2 / 8、重心AD, BE, CF 是厶ABC 的三條中線，P 是任意一點.證明：在厶 PAD,APBE,APCF 中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.第 26 屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)設(shè) G ABC 重心，直線 PG 與

4、AB,BC 相交.從 A, C, D ,作該直線的垂線，垂足為D , E, F.易證 AA =2DD , CC EE =DD +FF .有 SPGE=SPGD+SAPGF.兩邊各擴(kuò)大 3 倍，有SAPBE=SAPAD+SAPCF.例 4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成 的新三角形相似其逆亦真分析：將厶 ABC 簡記為，由三中線 AD, BE, CF 圍成的三角形簡記為 .G 為重心，連 DE 至 U H , 使 EH=DE，連 HC, HF,貝 U就是厶 HCF.(1)a2, b2, c2成等差數(shù)列 “.若厶 ABC 為正三角形，易證 不妨設(shè) abc,有CF=1

5、, 2a22b2c2,2BE, 2c22a2b2,2AD= 2b22c2a2.2將 a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CFa, BE=2 , ADc.2 2 2 CF: BE: AD =3a:3b:3c2 2 2=a: b: c.故有“.(2)“a2, b2, c2成等差數(shù)列.當(dāng)中 abc 時，中 CFBEAD.嚴(yán)=(圧)2S a三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心掌握重心將每 條中線都分成定比 2:1 及中線長度公式，便于解題.例 3.(分析:B=2FF ,AEE, F 分別A, C,P3 / 83據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的-”，有4S=3T=4.a2+

6、c2=2b2.二、垂心三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等(外 接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利例 5設(shè) A1A2A3A4為OO 內(nèi)接四邊形，Hi, H2, H3, H4依次為 A2A3A4， A3A4A1， A4AiA2，AA1A2A3的垂心.求證：Hi， H2， H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置.(1992，全國高中聯(lián)賽)分析：連接 A2H1，A1H2，HiH2,記圓半徑為 R.由厶 A2A3A4知=2RA2Hi=2RcosZA3A2AA3由厶 A1A3A4得AiH2=2RcosZA3A1A4.但/ A3A2A4=ZA3A1A4，故 A2Hi=

7、AiH2.易證 A2H1/ A1A2，于是,A2H1=AiH2，故得 HiH2=A2Ai.設(shè) HiAi與 H2N2的交點為M,故 H1H2與 A1A2關(guān)于M點 成中心對稱.同理，H2H3與 A2A3, H3H4與 A3A4, H4Hi與 A4Ai都關(guān)于M點成中心對稱. 故四邊形 H1H2H3H4與四邊形 A1A2A3A4關(guān)于M點成中心對稱，兩者是全 等四邊形，Hi, H2, H3, H4在同一個圓上.后者的圓心設(shè)為 Q, Q 與 O 也 關(guān)于 M 成中心對稱.由 O, M 兩點，Q 點就不難確定了 .例 6. HABC 的垂心，D, E, F 分別是 BC, CA, AB 的中心.一個以 H

8、為圓心的。H 交直線 EF, FD , DE 于 A1, A2, B1, B2, C1, C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC仁CC2.(1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題分析：只須證明 AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,AABC 夕卜接圓半徑為 R,OH 的半徑為 r.連 HA1, AH 交 EF 于 M.AA2=AM2+A1M2=AM2+r2- MH2=r2+(AM2-MH2),CFa23a2=4CF2=2a2+b2- c2A2H1sinA2A3H1AiA2O4 / 8又 AM2- HM2=(-AH1)2-( AH-丄AH1)2 25 / 82 2=A

9、H AHI-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc-AH2,而=2RAH2=4R2COS2A,sin ABH=2R a2=4R2sin2A. sin AAH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2.由、有2 2 2AA2=r2+bC bc-(4 R2- a2)2bc=丄（a2+b2+c2）-4 R2+r22同理，BB；=丄（a2+b2+c2）-4 R2+r2,2CC12=-（a2+b2+c2）-4 R2+r2.2故有 AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住 下面一個極為有用的等量關(guān)系：設(shè) IABC 的內(nèi)心，射線 AI 交厶 ABC

10、 外接圓于 A,則有 A l=A B=AC.換言之，點 A必是 IBC 之外心（內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用）. 例 7. ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取DAB， ABC，BCD，CDA 的內(nèi)心 01，02，03，04.求證：OQ2O3O4為矩形.（1986，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題）證明見中等數(shù)學(xué)1992; 4DCA與OO 內(nèi)切.試證：EF例 8.已知OO 內(nèi)接 ABC，OQ 切 AB，AC 于 E，中點 P 是厶 ABC 之內(nèi)心.（B 波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：在第 20 屆 IMO 中，美國提供的一道題實際上是例 8 的一種特例，但它增加了條件 AB=AC.當(dāng) ABMAC,怎樣證明呢？

11、如圖，顯然 EF 中點 P、圓心 Q，BC 中點 K 都在/ BAC 平分線上.易知rAQ= .sin QK AQ=MQ QN，.QK=MQQNAQ(2R r) r=si nr/si n由 RtAEPQ 知 PQ=sin(2Rr).C6 / 87 / 8 PK=PQ+QK=sin r+sin (2R r)=sin 2R . PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 這內(nèi)心. 五、旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個內(nèi)角的外角平分線相交于 一點，是旁切圓的圓心，稱為旁心旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起, 旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切.例 9.在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc

12、=2p.式中 r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與 a，b，c 相切的旁切圓半徑, p 表示半周.( 杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：設(shè) RtAABC 中，c 為斜邊，先來證明一個特性：P(P-c)=( p-a)( p-b).11p( p- c)=(a+b+c) (a+b- c)22=-(a+b)2- c24=-ab；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) (a- b+c)22=-c2-( a- b)2=丄ab.42 p( p-c)=( p-a)( p- b).觀察圖形，可得ra=AF- AC=p- b， rb=BG- BC=p- a， rc=CK=p.1而 r= (a+b-

13、 c)2=p- Gr+ra+rb+rc=(P-+( p- b)+( p- a)+ p=4 p-( a+b+=2 p.由及圖形易證.例 10. M 是厶 ABC 邊 AB 上的任意一點.r1, r2，r 分別是 AMC， BMC，ABC 內(nèi)切圓的半徑，q1, q2，q 分別是上述三角形在/ ACB 內(nèi)部的旁切圓半徑.證明:r1Dr- - -qiq2q(IMO-12)分析：對任意AB C,由正弦定理可知8 / 8六、眾心共圓這有兩種情況：（1）同一點卻是不同三角形的不同的心； （2）同一圖形出現(xiàn)了 同一三角形的幾個心.例 11.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形 ABCDFE 中，AB=BC,CD=DE, EF=

14、FA.試證：（1） AD，BE, CF 三條對角線交于一點；（2）AB+BC+CD+DE+EF+FAAAK+BE+CF.（1991 ，國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題）分析：連接 AC, CE, EA,由已知可證 AD, CF , EB 是厶 ACE 的三條內(nèi)角平分線，IACE 的內(nèi)心.從而有 ID=CD=DE,IF=EF=FA, IB=AB=BC.再由 BDF，易證 BP,DQ ,FS 是它的三條高，I 是它的垂心，禾用等式有：Erd6sBI+DI+FI 2 (IP+IQ+IS).不難證明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS. BI+DI+FI IA+IE+IC. AB+BC+CD+

15、DE+EF+FA=2( BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一點兩心.例 12.AABC 的外心為 O, AB=AC, D 是 AB 中點，E 是厶 ACD 的重心.證明tg2tg -CMAtg-CNBtgBq22222riqB rA _tgitgi=qAOD=OA sin2C=AB=ABB sin2sinAOBsidO E= A.OD亦即有.A . B sinsin2 2 .A B sin2B.tg 今 tgABcos cos22A Bsin2OOAD9 / 8OE 丄 CD.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題）分析：設(shè) AM 為高亦為中線，取

16、 AC 中點F，E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.設(shè) CD交 AM 于 G， G 必為 ABC 重心. 連 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易證：11 1DG: GK=DC:（ ）DC=2:1.32 3 DG: GK=DE: EF GE/ MF. OD 丄 AB, MF / AB, OD 丄 MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是 ODE 之垂心.易證 OE 丄 CD.例 13.AABC 中/C=30, O 是外心，I 是內(nèi)心，邊 AC 上的 D 點與邊 BC 上的E 點使得 AD=BE=AB.求證：OI 丄 DE，OI=DE.（1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題）分析

17、：輔助線如圖所示，作/ DAO 平分線交 BC 于 K.易證 AIDAIBEIB，/AID=ZAIB=ZEIB.利用內(nèi)心張角公式，有1/ AIB=90 +- / C=105,2/DIE=360 -105 X3=451vZAKB=30 +/DAO2=301+- (ZBAC-ZBAO)2=30+丄(ZBAC-60)2=11ZBAC=ZBAI=ZBEI.2 AK/ IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK， DO 丄 IE，即 DF 是厶 DIE 的一條高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.例 14.銳角 ABC 中，O, G，H 分別是外心

18、、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為 d外，重心到三邊距離和為 d重，垂心到三邊距離和為求證：1 d垂+2 d外=3 d重.分析：這里用三角法.設(shè)厶 ABC 外接圓半徑為 1,三個內(nèi)角記為 A, B,10 / 8C. 易知 d外=OO1+O2+OO3=cosA+cosB+cosC, 2d外=2(cosA+cosB+cosC).11 / 8/ AHi=sinB AB=sinB (2 sinC)=2sinB sinC, 同樣可得 BH2 CH3. 3d 重= ABC 三條高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB) HHi=cosC BH=2 cosB cosC.同樣可得 HH2, HH3. d垂=日日汁HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲證結(jié)論，觀察、，須 證 (cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+cosC)=sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.練習(xí)題1. IABC 之內(nèi)心，射線 AI, BI, CI 交厶 ABC 外接圓于 A,B,C.則 AA+BB+CCAABC 周長.（1982