非均勻采樣的理論基礎(chǔ)

1、非均勻采樣的理論基礎(chǔ)非均勻采樣有很多種，一般來(lái)說(shuō)只要采樣間隔不是恒定的，就可以認(rèn)為是非均勻采樣，但是對(duì)于大多數(shù)非均勻采樣其并不具有特別的性能。本案例研究的非均勻采樣特指兩種情況：隨機(jī)采樣和偽隨機(jī)采樣。隨機(jī)采樣中每個(gè)采樣點(diǎn)的選擇是完全隨機(jī)的，是理想化的非均勻采樣；偽隨機(jī)采樣中每個(gè)采樣點(diǎn)的選擇是經(jīng)過(guò)挑選的偽隨機(jī)數(shù)。非均勻采樣的一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)就是它具有抗頻率混疊的性能，從而可以突破奈奎斯特頻率的限制，實(shí)現(xiàn)以比較低的采樣頻率檢測(cè)到很高頻率的信號(hào)。采樣時(shí)刻的選擇無(wú)疑是非常重要的，它決定了采樣后得到的信號(hào)的性質(zhì)。時(shí)鐘抖動(dòng)的均勻采樣在工程實(shí)踐中是普遍存在的，并且是不可避免的，例如AD時(shí)鐘頻率存在一定偏差。有

2、抖動(dòng)的均勻采樣時(shí)刻tk,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：tk=kT+rk.T>0其中，T表示均勻采樣的采樣周期，Tk為服從同分布的一組隨機(jī)變量，其均值是0。設(shè)Tk的概率密度函數(shù)為p(Tk),則采樣時(shí)刻tk的概率密度函數(shù)為p(t(tk-to)。時(shí)鐘抖動(dòng)的均勻采樣明顯存在很大的缺點(diǎn)。如果Tk在區(qū)間kT-0.5t,kT+0.5T上不是均勻分布，則顯然，在kT點(diǎn)附近采樣點(diǎn)數(shù)很多，其他地方采樣點(diǎn)很少。如果Tk在區(qū)間kT-0.5t,kT+0.5T上滿足均勻分布，則會(huì)發(fā)生某些相鄰采樣點(diǎn)間距很小的情況。對(duì)第一種情況，它和均勻采樣區(qū)別很小，無(wú)法利用非均勻采樣的優(yōu)點(diǎn)；對(duì)第二種情況，在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中會(huì)非常困難，以致無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因?yàn)?/p>

3、采樣間距過(guò)小對(duì)AD的要求很高。顯然，這兩種情況都不是本案例所希望的。在加性非均勻采樣中，當(dāng)前采樣時(shí)刻是根據(jù)前一個(gè)采樣時(shí)刻來(lái)選擇的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：“+1其中，Tk為服從同分布的一組隨機(jī)變量，其值恒為正。設(shè)Tk的概率密度函數(shù)為PT(Tk)其均值為u,由于tk=t0+Ti+T2+Tk,故Pk(t)=pk-i(t)*Pt(T)。根據(jù)中心極限定理，對(duì)于一組相互獨(dú)立隨機(jī)變量，當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)大到一定程度的時(shí)候，它們的總和服從正態(tài)分布，因此當(dāng)K-8時(shí)，Pk(t)將趨向于正態(tài)分布。當(dāng)t增加時(shí)，加性非均勻采樣點(diǎn)的概率分布P(t)將趨向于平坦，其數(shù)值大小為l/臼如圖1所示。圖1加性非均勻采樣點(diǎn)的概率分布非均勻采

4、樣具有一個(gè)非常重要由于采樣時(shí)刻的分布與均勻采樣中采樣時(shí)刻的分布不同，的特點(diǎn)就是可以消除頻率混疊現(xiàn)象，下例可以形象化地闡述這個(gè)問(wèn)題。假設(shè)給出一組采樣數(shù)據(jù)，它代表了一個(gè)正弦信號(hào)（加粗的黑色）的均勻采樣值，如圖2所示。圖2混疊的產(chǎn)生觀察圖2,就會(huì)清楚發(fā)現(xiàn)其他的頻率的正弦信號(hào)和原始信號(hào)同一個(gè)采樣點(diǎn)處的采樣值相等（曲線交點(diǎn)處）。因此，如果要用這組采樣值進(jìn)行重建原始信號(hào)，顯然得到的信號(hào)不是惟一的。也就是說(shuō)，用小于奈奎斯特頻率的采樣頻率進(jìn)行采樣，得到的采樣值是無(wú)法恢復(fù)出原始信號(hào)，這與Shann如采樣定理是相一致的。這種現(xiàn)象反映到頻域上就是頻率混疊。頻率混疊現(xiàn)象就會(huì)引起信號(hào)的不確定，仔細(xì)看這些不同頻率的正弦波

5、，到底哪個(gè)才是真的需要的信號(hào)昵？在沒(méi)有其他先驗(yàn)知識(shí)的情況下，如何消除頻率混疊現(xiàn)象是信號(hào)處理理論的一個(gè)重要研究課題。均勻采樣理論中，在進(jìn)行信號(hào)采樣前，信號(hào)先通過(guò)一個(gè)低通濾波器以便把信號(hào)的頻譜限制在一個(gè)特定的范圍內(nèi)，然后用高于信號(hào)最高頻率兩倍的采樣頻率進(jìn)行采樣，從而消除了頻率混疊。雖然這種解決混疊問(wèn)題的方法能夠滿足要求，但是這種方法濾掉了信號(hào)組成成分中超過(guò)某一頻率的頻率成分，很容易造成失真，同時(shí)由于采樣頻率要高于信號(hào)最高頻率的兩倍，極大限制了數(shù)字信號(hào)處理理論使用的范圍。如果能突破這個(gè)限制，將為數(shù)字信號(hào)處理理論開(kāi)辟更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。所以擺在面前的問(wèn)題就是在較低樣頻率的情況下，消除頻率混疊是否可能？

6、非均勻采樣給出了肯定的回答。圖3直觀地說(shuō)明了非均勻采樣如何具有消除混疊的性能。圖3消除混疊圖3中對(duì)原始的低頻正弦信號(hào)進(jìn)行了重新采樣，采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)保持不變，所不同的地方是采樣點(diǎn)的間隔不再是相等的了。很容易從圖3中看出，由于采樣點(diǎn)不再是均勻的，只有原始的低頻正弦波可以通過(guò)采樣點(diǎn)，可以被擬合出來(lái)，從而也就消除了頻率混疊。非均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換和均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換的區(qū)別主要在于積分時(shí)間上的不同。以下均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換(DFT,Discrete_FourierTransform)以DFT表示，非均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換(NDFT,NonuniformDiscreteFourierTran

7、sform)以NDFT表示。假設(shè)x(t)為有限帶通信號(hào)，Xc(f)為x(t)的連續(xù)信號(hào)傅立葉變換結(jié)果，T為采樣時(shí)間間隔，N為總的采樣點(diǎn)數(shù)，NT為總的采樣時(shí)間，x(n)和x(tn)(n=1,2,3,8)分別為均勻采樣和非均勻采樣信號(hào)，Xd(f)為非均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換結(jié)果，則連續(xù)時(shí)間的傅立葉變換如下：NTXc(/)=Jx(/)exp(-j2n/r)dro均勻采樣信號(hào)的離散傅立葉變換就是將上式的積分換成求和累加的形式，均勻采樣情況下采樣時(shí)間間隔相等，也就是每個(gè)采樣時(shí)間段的寬度相等，均勻采樣信號(hào)的離散傅立葉的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下。N足=匯5)yxp(-j2植n)n=類似，非均勻采樣的離散傅立葉變換的數(shù)

8、學(xué)表達(dá)式如下：jV-IXd(/)=Zx5)exp(-j2，X%-。)n1NDFT和DFT的區(qū)別在于NDFT每個(gè)采樣時(shí)間段的積分區(qū)間的寬度不等。均勻采樣中，求和區(qū)間為等間隔T,所以均勻采樣的采樣信號(hào)各個(gè)頻譜的大小和T成比例關(guān)系，在計(jì)算頻譜時(shí)是否引人常數(shù)T都不影響頻譜的檢測(cè)。而在非均勻采樣中，求和區(qū)間為不等間隔(g+1-tn),所以必須引入采樣間隔這個(gè)變量，如上式中的(tn+1-tn)。均勻采樣信號(hào)的傅立葉變換算法根據(jù)傅立葉變換因子的對(duì)稱性，可以實(shí)現(xiàn)快速傅立葉變換。非均勻采樣的傅立葉變換由于采樣時(shí)間間隔的不等，使得非均勻快速傅立葉變換很難旱接實(shí)現(xiàn)。如果信號(hào)f(t)滿足下列條件：(1)f(t)絕對(duì)可

9、積，即。(2)在任何有限區(qū)間內(nèi)，f(t)只存在有限個(gè)數(shù)目的最大值和最小值。(3)在任何有限區(qū)間內(nèi)，f(t)有有限個(gè)數(shù)目的不連續(xù)點(diǎn)，并且在每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)都必須是有限值；則f(t)的傅立葉變換存在，即存在下面關(guān)系式：+CO。/(“山<8。-0Q當(dāng)f(t)經(jīng)過(guò)均勻采樣后，得到離散序列f(nT),其中T為采樣周期。用f(n)代表f(nT),則序列f(n)的離散時(shí)間傅立葉變換表示如下：九可=；1戶太池慎加也和產(chǎn)(V)二八加一加根據(jù)香農(nóng)采樣定理，時(shí)域上的采樣，將使信號(hào)頻譜在頻域上發(fā)生搬移，若采樣頻率大于奈奎斯特頻率，則不會(huì)發(fā)生頻譜重疊。從而，t+84®卬)=ZFG3-癡s)/4二70其中，F(xiàn)

10、P(ej，為采樣后得到的離散序列的頻譜，T為采樣周期，心為采樣頻率(角頻率)。當(dāng)采用非均勻采樣時(shí)，得到的離散序列為f(t其中tk表示采樣時(shí)刻。直接套用均勻采樣的離散時(shí)間傅立葉變換，可以得到以下公式：p(t),假設(shè)非均勻采樣的各個(gè)采樣點(diǎn)是隨機(jī)的，且相互獨(dú)立，其概率密度分布函數(shù)為采樣點(diǎn)數(shù)為N,則£=»伙3叼4J/k尸叫p仇必l*=1*1*三1m，如果p(t)在信號(hào)持續(xù)時(shí)間上服從均勻分布，即代或聞則有W+®1NZf/(rk)e-p(/k)A=Z伙一叫如*1_匹，dA=1o=5加山=F(ja)=lF(j)1口'dN其中"=§,為平均采樣時(shí)間.N

11、從而得到：11E產(chǎn)(eW)=-F(j0)即非均勻離散傅立葉變換公式計(jì)算結(jié)果的期望是原始信號(hào)頻譜。定義被測(cè)信號(hào)由3個(gè)正弦信號(hào)組成，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下。y(t)=sin(2啖。+§in(2訪f)+sin(2次)式中，f0=200Hz,fi=700Hz,f2=1100Hz,t是采樣時(shí)間。在均勻采樣下，若采樣頻率為1000Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為1024,對(duì)采樣后的信號(hào)做傅立葉變換得到信號(hào)頻譜，如圖4所示。圖中f。、f1以及f2都有對(duì)應(yīng)的混疊信號(hào)f0(800和1200Hz)、f1(300和1300flz)以及f2(100和900Hz),與采樣定理的描述相一致。設(shè)置非均勻采樣的采樣時(shí)間函數(shù)如下。時(shí)+rand式中，rand是均勻分布在(1ms,3ms)之間的隨機(jī)數(shù)。也可以設(shè)置采樣時(shí)間，如函數(shù)tnonunif.m定義的時(shí)間。根據(jù)所設(shè)置的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行非均勻采樣，兩個(gè)采樣時(shí)刻的最小間隔為1ms,對(duì)應(yīng)最大采樣頻率為1000Hz,平均采樣間隔為2ms,對(duì)應(yīng)平均采樣頻率為500Hz。以最大采樣頻率計(jì)算,其中fi和f2都超過(guò)采樣定理的限制。對(duì)以上信號(hào)利用非均勻采樣1024點(diǎn)，并使用傅立葉變換得到信號(hào)頻譜，如圖5所示。圖中對(duì)應(yīng)信號(hào)頻率分別為200Hz700Hz以及1100Hz。1.00.8徵0.40500頓率(Hz)圖4均勻采樣的信號(hào)頻譜圖5非均勻采樣的信號(hào)頻譜比較圖4和圖5可見(jiàn),圖4中的混