高中數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)練習(xí)題

1、第一篇、復(fù)合函數(shù)問題一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè) y=f(u)的定義域?yàn)锳,u=g(x)的值域?yàn)?B,假設(shè) AB,那么 y 關(guān)于 x 函數(shù)的 y=fg(x)叫做函數(shù) f 與 g 的復(fù)合函數(shù),u 叫中間量.二、復(fù)合函數(shù)定義域問題：(一)例題剖析：(1)、f(x)的定義域,求fg(x)的定義域思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?D,即xD,所以f的作用范圍為 D,又 fXg(x)作用,作用范圍不變,所以g(x)D,解得xE,E 為fg(x)的定義域.例 1.設(shè)函數(shù)f(u)的定義域?yàn)?0,1),那么函數(shù)f(lnx)的定義域?yàn)?解析：函數(shù)f(u)的定義域?yàn)?0,1)即u(0,1),所以f的作用范圍為(0,1)又

2、f 對 lnx 作用,作用范圍不變,所以01nx1解得x(1,e),故函數(shù)f(1nx)的定義域?yàn)?1,e)1例 2.假設(shè)函數(shù)f(x),那么函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)?x1解析：先求 f 的作用范圍,由f(x)-,知x1x1即 f 的作用范圍為xR|x1,又 f 對 f(x)作用x1所以f(x)R且f(x)1,即ff(x)中 x 應(yīng)滿足x1故函數(shù)ff(x)的定義域?yàn)閤R|x1且x2(2)、fg(x)的定義域,求f(x)的定義域思路： 設(shè)fg(x)的定義域?yàn)?D,即xD,由此得g(x)E,所以 f 的作用范圍為 E,又 f 對 x 作用,作用范圍不變,所以xE,E為f(x)的定義域.例 3.f(32

3、x)的定義域?yàn)閤1,2,那么函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?解析：f(32x)的定義域?yàn)?,2,即x1,2,由此得32x1,5所以 f 的作用范圍為 1,5,又 f 對 x 作用,作用范圍不變,所以即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5f(x)1,52例 4.f(x124)lgIx一,那么函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?X2822解析：先求 f 的作用范圍,由f(X24)lg2-,知Tx0 x8x8解得X244,f 的作用范圍為(4,),又 f 對 x 作用,作用范圍不變,所以x(4,),即f(x)的定義域?yàn)?4,)(3)、fg(x)的定義域,求fh(x)的定義域思路：設(shè)fg(x)的定義域?yàn)镈,即xD,由此得g(x)

4、E,f的作用范圍為E,又 f 對h(x)作用,作用范圍不變,所以h(x)E,解得xF,F 為fh(x)的定義域.例 5.假設(shè)函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?,1,那么f(log2x)的定義域?yàn)?1解析：f(2x)的定義域?yàn)?,1,即x1,1,由此得2x22f的作用范圍為1,221又 f 對log2x作用,所以log2x,2,解得x22,42即f(log2x)的定義域?yàn)?x22x23)y2yi0即y2yi.y在(3,)上是減函數(shù).同理可證：y在(,i)上是增函數(shù).例2、討論函數(shù)f(x)loga(3x22xi)的單調(diào)性.解由3x22xi0得函數(shù)的定義域?yàn)閕x|xi,或x-.3那么當(dāng)ai時,假設(shè)xi,u3

5、x22xi為增函數(shù),f(x)loga(3x22x函數(shù).4i右x-,.u3x22xi為減函數(shù).3f(x)loga(3x22xi)為減函數(shù).當(dāng)0ai時,假設(shè)xi,那么f(x)loga(3x22xi)為減函數(shù),假設(shè)xf(x)loga(3x22xi)為增函數(shù).例 3、.y=loga(2-ax)在0,i上是 x 的減函數(shù),求 a 的取值范圍解：a0 且 awi當(dāng) ai 時,函數(shù) t=2-ax0 是減函數(shù)由 y=loga(2-ax)在0,i上 x 的減函數(shù),知 y=logat 是增函數(shù),ai由 x0,i時,2-ax2-a0,得 a2,ia2當(dāng) 0a0 是增函數(shù)由 y=loga(2-ax)在0,i上 x 的

6、減函數(shù),知 y=logat 是減函數(shù),0a0,.-0a1綜上述,0a0,解 得X4或XV1,所 以xC(8,1)u(4,+00),當(dāng)XC(8,1)U(4,+8),|=x2-5x+4=R+,所以函數(shù)的值域是R+.因?yàn)楹瘮?shù)y=l0gl(x25x+4)是由y=log1(x)與(x)=x25x+4復(fù)合而成,函335、(x)=x25x+4在(8,一)2.,一,5.上為減函數(shù),在5,+8上為增函數(shù).考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,y=l0gl23(x25x+4)的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y=l0gl(x)為減函數(shù)、(x)=x25x+4也3為減函數(shù)的區(qū)間,即(一00,1)；y=log1(x25x+4)的減區(qū)間

7、是定義域內(nèi)使y=log133(x)為減函數(shù)、(x)=x25x+4為增函數(shù)的區(qū)間,即(4,+8).變式練習(xí)、選擇題1 .函數(shù)f(x)=log1(x1)的定義域是(V2數(shù)y=log1(x)在其定義域上是單調(diào)遞減的,函數(shù)3A.(1,+8)B.(2,+8)C.(8,2)解析：要保證真數(shù)大于0,還要保證偶次根式下的式子大于等于0,x10所以10gl(x1)0解得10,所以x2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.答案：D4 .假設(shè)定義在區(qū)間(一1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)=10g2a(x+1)滿足f(x)0,那么a的取值范圍為(2D.(1,24y答案：選B1,、C.(,+)2解析：由于xC(1,0),所以x+1

8、C(0,1).當(dāng)f(X)0時,根據(jù)圖象只有0V12avi,解得0vav-(根據(jù)本節(jié)思維過程中第四條提到的性質(zhì))2答案：A一、.,2一、一5 .函數(shù)y=lg(-D的圖象關(guān)于()1xA.y軸對稱B.x軸對稱C.原點(diǎn)對稱D.直線y=x對稱2.1+x1+x1+x斛析：y=lg(1)=lg,所以為奇函數(shù).形如y=lg或y=lg1x1x1x1x的函數(shù)都為奇函數(shù).答案：C二、填空題y=loga(2ax)在0,1上是x的減函數(shù),那么a的取值范圍是.解析：a0且aw1(x)=2ax是減函數(shù),要使y=loga(2ax)是減函數(shù),一2一,那么a1,又2ax0a-(0 x1)a0,解得0vxv2.3(x)=2xx2在

9、(0,1)上單調(diào)遞增,那么f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；(x)=2xx2在(1,2)上單調(diào)遞減,那么f(x)在1,2)上單調(diào)遞增.所以f(2xx2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).答案：(0,1)8.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在0,+上是增函數(shù),且f(1)=0,2那么不等式f(log4x)的解集是.D.(0,+8)解析：由于f(x)是偶函數(shù),所以f(1)=f(1)=0.又(的在0,+8221八上是增函數(shù),所以f(x)在(0)上是減函數(shù).所以 f(lOg4X)0log4x_或 log4x21V一.2一八1解得 x2 或0vxv.2一八1答案：x2或0vxv2三、解做題9.求函數(shù)y=l0gl(x25

10、x+4)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.3解：由(x)=x2-5x+40,解得x4或xvl,所以xC(巴1)U(4,+),當(dāng)xC(8,1)U(4,+),|=x2-5x+4=R+,所以函數(shù)的值域是R十.由于函數(shù)y=10gl(x25x+4)是由y=10gl(x)與(x)=x25x+4復(fù)合而成,335(x)在其定義域上是單調(diào)遞減的,函數(shù)(x)=x25x+4在(8,一)2,一一,5上為減函數(shù),在5,+8上為增函數(shù).考慮到函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,2(x2-5x+4)的增區(qū)間是定義域內(nèi)使y=10gl(x)為減函數(shù)、(x)=x25x+4也3為減函數(shù)的區(qū)間,即(一00,1);y=10gl(x25x+4)的減區(qū)

11、間是定義域內(nèi)使y=10gl33(x)為減函數(shù)、(x)=x25x+4為增函數(shù)的區(qū)間,即(4,+8).232x10.設(shè)函數(shù)f(x)=+1g3-2,3x+53+2x(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給出證實(shí)；(3)函數(shù)f(x)的反函數(shù)P1(x),問函數(shù)y=f1(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎？假設(shè)有,求出交點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)無交點(diǎn),說明理由.一3-2x,一5一33一八一3解：(1)由3x+5W0且0,解得xw3且一x.取交集得一3Vx函數(shù)y=log13y=iog133一.2那么f(x1)f(x2)axx12X1x2ax22x21ax2x12x22x11x21c為ex2aa(2)令(

12、x)=3x+5,隨著 X 增大,函數(shù)值減小,所以在定義域內(nèi)是減函數(shù);3-2x632X=-1+6隨著x增大,函數(shù)值減小,所以在定義域內(nèi)是減函數(shù).3+2x3+2x32x一又 y=lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù),根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知,y=lg3_J2是減函數(shù),所以f3+2x232x_(x)=+lg324 是減函數(shù).3x+53+2x(3)由于直接求 f(x)的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出,于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解.設(shè)函數(shù) f(x)的反函數(shù) f1(x)與工軸的交點(diǎn)為(xo,0).根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系可知,f(x)與y軸的交點(diǎn)是(0,xo),將(0,xo)代入f(x),解得x

13、o2一.所以函數(shù)y=f1(x)的圖象與x軸有交點(diǎn),交點(diǎn)為(5-.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù).同底的指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)；(二)主要方法：1 .解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題,要特別重視定義域；2 .指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于 1 還是小于 1,要注意對底數(shù)的討論;3 .比擬幾個數(shù)的大小的常用方法有：以0和1為橋梁；利用函數(shù)的單調(diào)性；作差.(三)例題分析：2b例 1.(1)右aba1,那么10gb,10gba,logab從小到大依次為axyz(2)右235,且x,y,z都是正數(shù),那么2x,3y,5z從小到大依次為xx(3)設(shè)x0,且ab1(a0,b0),那么a與b的大小

14、關(guān)系是()(A)ba1(B)ab1(C)1ba(D)1ab2.b.b.斛：(1)由aba1得一a,故logblogba1logab.aa(2)令2x3y5zt,那么t1,x巫,y巫,z星,lg2lg3lg5.2x3y致1皿lgt-9響 0,.,2x3y;lg2lg3lg2lg3同理可得：2x5z0,2x5z,3y2x5z.(3)取x1,知選(B).x2例 2.函數(shù)f(x)ax(a1),x1求證：(1)函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù);證實(shí)：(1)設(shè)1x,x2,(2)方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.,函數(shù)f(X)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0.21、函數(shù)f(x)f(x)的定義域?yàn)?,0,1,求函數(shù)f

15、(xf(x)的定義域.答案:112、函數(shù)f(32x)f(32x)的定義域?yàn)?,33,3,求f(x)f(x)的定義域.1XiX2,Xi10,X210,XiX20,3(X!X2)0.(Xi1)(X21)XXXX1X1X2,且a1,aa,.aa0,f(X1)f(X2)0,即f(X1)f(X2),函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù);假設(shè)X0是方程f(x)0的負(fù)數(shù)根,且X01,那么a上一20,X01即ax02X03(X01)3X01X01X01當(dāng)1X00時,0,式不成立；當(dāng)X01時,1,式不成立.綜上所述,方程f(X)X011,33,312,而由aX01X01-3_3一X-0,0,11,而a0,X01X010沒有負(fù)數(shù)根.1知a為例3.函數(shù)f(x)loga(aX1)(a0且a1).(?高考A方案?考點(diǎn)15,例4).求證:(1)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè)；(2)函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0.證實(shí)：(1)由aX10得：aX1,當(dāng)a1時,X0,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),此時函數(shù)f(x)的圖象在y軸的右側(cè)；當(dāng)0a1時,X0,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,