蘭州資源環(huán)境職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)單招試題測試版附答案解析

1、限時(shí)：90分鐘滿分：122分一、選擇題（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）1. 若集合A=（x|x|>1,xCR,B=y|y=2x2,xCR,則（？rA）nB=（）A.x|1<x<1B.x|x>0C.x|0<x<1D.?解析：選C依題意得，？rA=x|1<x<1,B=y|y>0,所以(?rA)nB=x|0<x<1.一，.人r十_兀1I2. 已知命題p：?xC0,sinx=2，則緯p為().-c兀1A. ?xC0,sinx=§_八廠八兀1B. ?xC0,sinx豐£、-一八"1C. ?xC0,2,si

2、nx豐2_-兀.1D. ?xC0,2,sinx>2、一一人、兀1解析：選B依題息礙，命題緯p應(yīng)為：？xC0,sinx.3. 命題p：若a-b>0,則a與b的夾角為銳角；命題q：若函數(shù)f(X)在(一8,0及(0,+°°)上都是減函數(shù)，貝(Jf(X)在(一8,+8)上是減函數(shù).下列說法中正確的是()A.“p且q”是真命題B.“p或q”是假命題C.緯p為假命題D.緯q為假命題解析：選B.當(dāng)ab>0時(shí)，a與b的夾角為銳角或零度角，.命X+1,X<0,題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)=綜上一x+2,x>0,可知，“p或q”是假命題.4.命題“?

3、xC1,2,x2-a<0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5解析：選C命題“？xC1,2,X2-a<0”為真命題的充要條件是a>4.故其充分不必要條件是集合4,+°°)的真子集.、一>v+1，>«.tt.»>.-»5.函數(shù)f(x)=1+log2x與g(x)=2在同一直角坐標(biāo)系下的圖像大致是()1)解析：選C函數(shù)f(x)=1+log2X的圖像是把函數(shù)y=log2X的圖像向上平移一個(gè)單位長度得到的，函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2，0,選項(xiàng)B、

4、C、D中的圖像均符合；函數(shù)g(x)=2x+1=2x1的圖像一一1v是把函數(shù)y=2x的圖像向右平移一個(gè)單位長度得到的，函數(shù)g(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，選項(xiàng)A、C符合要求.故正確選項(xiàng)為C.6.已知g(x)為三次函數(shù)f(x)=|x3+ax2+cx的導(dǎo)函數(shù)，則它們的圖3像可能是()7解析：選D由題意知g(x)=f(x)=ax2+2ax+c=a(x+1)2+c-a,則g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，排除B、C;對選項(xiàng)A,由g(x)的圖像知x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，與f(x)的圖像不相符，所以只有D項(xiàng)的圖像是可能的.7.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+°°)上單調(diào)遞增

5、，則滿足f/XT2)<f(x)的x的取值范圍是()A.(2,+°°)B.(-1)U(2,+8)C.2,-1)U(2,+oo)D.(1,2)解析：選Cf(x)是偶函數(shù)，二f(x)=f(x).又f/x)<f(x),f(Vx)<f(|x|),f(x)在0,+8)上單調(diào)遞手/*xx2>0,一，、一增，/x+2<|x|，即解得2<x<1或x>2."x+2A0,8.若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)=ax+x4的零點(diǎn)為m函數(shù)g(x)=logax+x-4的零點(diǎn)為n,貝M+1的取值范圍是()mnA.(1,+8)B.1,+8)C.(4,+

6、oo)解析：選B函數(shù)f(x)=ax+x4的零點(diǎn)是函數(shù)y=ax的圖像與函數(shù)y=4-x的圖像的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，函數(shù)g(x)=logax+x4的零點(diǎn)是函數(shù)y=logax的圖像與函數(shù)y=4-x的圖像的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo).由于指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對稱,直線y=4-x與直線y=x垂直，故直線y=4-x與直線y=x的交點(diǎn)（2,2）即為線段AB的中點(diǎn)，所以對n=4,所以，：=：（對n）-%+:=12+斗-X,當(dāng)且僅當(dāng)en=2時(shí)等號成立，此時(shí)只要a=寸2即可.4nm二、填空題（共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）)9x29函數(shù)f(x)=log2(x-1)糜乂域?yàn)榻馕?/p>

7、：由題意知9-x2>0,x1>0且x1頭1,3<x<3,解得日故1<x<2或2<x3.x>1且x豐2,答案：(1,2)U(2,31一-10. 設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意xCR,都有f(x+3)=Rxy,且當(dāng)xC3,-2時(shí)，f(x)=2x,f(2012)=.1解析：f(x+6)=f=f(x),I(x3)f(x)是以6為周期的函數(shù),.f(2012)=f(6X335+2)=f(2).又f(x)為偶函數(shù)，f(2)=f(2)=22=.答案：4一，.1,11. 已知x>0,y>0,xlg2+ylg8=lg2,則一+廠的最小值是x3y11一+丁-(x+

8、3y)=2+x3y3yx今+丁2+x3y解析：因?yàn)閤lg2+ylg8=lg2x+lg23y=lg(2x23y)=lg2x3y=11當(dāng)且僅當(dāng)3y=辦的最小值是4.lg2，所以x+3y='所以x+3?=-11I,11即x=2，y=g時(shí)等與成立，故x+而答案：4x-2<0,12. 已知點(diǎn)P(x,y)在不等式組y-1<0,表示的平面區(qū)域x+2y-2>0上運(yùn)動，則z=xy的最小值是.解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線x-y=0,平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(0,1)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距達(dá)到最小,此時(shí)z=x-y取得最小值，且最小值是一1.答案：一

9、113. 函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像如圖，貝f(x)在2,1上的最小值為.解析：由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像可知，函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，且其圖像的對稱軸為x=1,開口方向向上.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),f(0)=0,.c=0,f'(x)=2ax+b,又f'(x)的圖像過點(diǎn)(一1,0)與點(diǎn)(0,2),則有2ax(1)+b0,2ax0+b=2,f(x)=x2+2x,則f(x)在2,1上的最小值為f(1)=1.答案：一114. 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意xCR,都有f(x2)=f(x+2)，且當(dāng)xC2,

10、0時(shí)，f(x)=2J1.若在區(qū)間(一2,6內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝a的取值范圍是.解析：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱.根據(jù)f(x2)=f(x+2)，可得f(x)=f(x+4),即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù).當(dāng)xC-2,0時(shí)，1¥f(x)=2、一1,在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f(x)(x£2,6)和函數(shù)y=loga(x+2)的圖像，如圖.若方程f(x)-loga(x+2)=0在區(qū)間(一2,6內(nèi)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=loga(x+2)的圖像在區(qū)間(一2,6內(nèi)恰有三個(gè)不

11、同的交點(diǎn)，再結(jié)合圖像可得實(shí)數(shù)1a應(yīng)滿足不等式loga(6+2)>3且loga(2+2)<3，即log2a<1且log4a>3,即3：4<a<2.答案：(落，2)三、解答題(共4個(gè)小題，每/、題13分，共52分)15.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+axa),其中a是常數(shù).(1) 當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程；(2) 求f(x)在區(qū)間0,+00)上的最小值.解：(1)由f(x)=ex(x2+axa)可得f'(x)=exx2+(a+2)x.當(dāng)a=1時(shí)，f(1)=e,f'(1)=4e.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(

12、1)處的切線方程為ye=4e(x1),即y=4ex-3e.(2)令f'(x)=exx2+(a+2)x=0,解得x=-(a+2)或x=0.當(dāng)一(a+2)<0,即a>-2時(shí)，在區(qū)間0,+°°)上，f'(x)>0,所以f(x)在0,+°°)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,+°°)上的最小值為f(0)=a；當(dāng)一（a+2）>0,即a<2時(shí)，f（x）,f（x）隨x的變化情況如下表:x0(0,(a+2)一(a+2)(a+2),+oo)f'(x)0一0+f(x)f(0)f(a+2)由上表可知函數(shù)

13、f(x)在區(qū)間0,+°°)上的最小值為a+4f(a+2)=1+2.e綜上可知，當(dāng)a>-2時(shí)，f(x)在0,+°°)上的最小值為一a；當(dāng)a<-2時(shí)f(X)在0,+°°)上的最小值為a+4a+2.e16. 已知函數(shù)f(x)=2ax33ax2+1,g(x)=jx+,aCR.當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a<0時(shí)，若對于任意給定的x°C0,2，在0,2上總存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2)，使得f(xi)=g(x°)成立，求a的取值范圍.2解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=6x6x=6x(x-

14、1).由f'(x)>0，得x>1或x<0；由f'(x)<0，得0<x<1.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0)和(1,+OO)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).3當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1,g(x)=2，顯然不滿足題息；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=6ax26ax=6ax(x1).x變化時(shí)，f(x),f'(x)的變化如下表：x0(0,1)1(1,2)2f'(x)0+0一f(x)1極大值1-a1+4aa3.又因?yàn)楫?dāng)a<0時(shí)，g(x)=4X+分在0,2上是增函數(shù)，對于任怠3a3xe0,2,g(x)e-2+2，一一*a3.由題息可

15、礙一2+2<1-a,解得a<-1.綜上，a的取值范圍為(一8,-1).17. 已知函數(shù)f(x)=sinx(x>0),g(x)=ax(x>0).(1)若f(x)<g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；當(dāng)a取中最小值時(shí)，求證：g(x)-f(x)十解：(1)令h(x)=sinx-ax(x>0),貝，h(x)=cosxa.若a»1,h'(x)=cosxa<0,h(x)=sinxax(x>0)單調(diào)遞減，h(x)<h(0)=0,貝，sinx<ax(x>0)成立；有0<a<1,存在x°C0,萬，使得cos

16、x°=a,當(dāng)xC(0,x°)時(shí)，h'(x)=cosxa>0,h(x)=sinx-ax(xC(0,x。)單調(diào)遞增，h(x)>h(0)=0,不合題意：結(jié)合f(x)與g(x)的圖像可知a<0顯然不合題意.綜上可知，a的取值范圍是1,+8).(2)證明：當(dāng)a取(1)中的最小值1時(shí)，g(x)f(x)=xsinx.設(shè)H(x)=xsinxx3(x>0),則H，(x)=1cosx£x2.令Gx)62=1cosx；x2，貝，G(x)=sinxx<0(x>0),所以G(x)=1cos12,12x空在0,+°°)上單調(diào)遞減

17、，此時(shí)G(x)=1cosxx<G(0)=0,即H(x)=1cosx：x2<0,所以H(x)=xsinx£x3(x>0)單調(diào)遞261313減，所以1-(x)=xsinxgx<1-(0)=0,即xsinxgx<0(x>0),即xsinx<x3(x>0).6所以，當(dāng)a取中的最小值時(shí)，g(x)-f(x)<x3.6>、億.1+x18. 已知函數(shù)f(x)=rInx.a(1x)(1)設(shè)a=1,討論f(x)的單調(diào)性；(2)若對任意xC(0,1),f(x)<2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.一,_,一一.1+x解：(1)因?yàn)閍=1,所以f(x)=

18、-InIxx,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)U(1,+8).,2lnx1+xf(x)=2+-(1x)(1x)x12lnx+x(1x)22一1xI,設(shè)g(x)=2lnx,貝(Jx因?yàn)閤>0,g(x)<0,所以g(x)在(0,+°°)上是減函數(shù)，又g(1)=0,于是當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(x)>0,f'(x)>0；當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，g(x)<0,f，(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+°°).(2)由題可知a頭0,因?yàn)閤e(0,1)1+x，所以mlnx<0.當(dāng)a<0時(shí),xC(0,1)，f(x)>0,不合題意;當(dāng)a>0時(shí),xC(0,1)，由f(x)<-2,可得lnx+羹"<0.設(shè)h(x)=lnx+2a11-x)，則當(dāng)xe(0,1),a>0時(shí)，h(x)<0,h(x)xxx(1+x)+(24a)x+1設(shè)m(x)=x2+(24a)x+1,方