勾股定理及其逆定理 講義及答案

1、勾股定理及其逆定理（講義）Ø 課前預(yù)習(xí)1. 請(qǐng)你回顧直角三角形的性質(zhì)：邊：直角三角形斜邊長(zhǎng) 任意一條直角邊長(zhǎng)；角：直角三角形兩銳角 ；2. 請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算并背誦下列數(shù)的平方：112=， 122= ， 132= ， 142= ，152= ， 162= ， 172= ， 182= ，192= 3. 想一想：如圖是由邊長(zhǎng)為 1 的正方形組成的網(wǎng)格，直角三角形的頂點(diǎn)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上分別以直角三角形的三邊為邊， 向外作正方形，請(qǐng)你分別求出這三個(gè)正方形的面積 SA，SB， SC，并思考 SA，SB，SC 之間的數(shù)量關(guān)系CABØ 知識(shí)點(diǎn)睛背 記 1119 的 平 方 ： 112=121，12

2、2=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=3611. 勾股定理：如果用 a，b 和 c 分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊， 那么 a2+b2=c2外弦圖2. 勾股定理的驗(yàn)證：內(nèi)弦圖勾股定理：角（Rt）邊（a2+b2=c2） 勾股定理逆定理：邊（a2+b2=c2）角（Rt）3. 勾股定理逆定理：如果 ，那么這個(gè)三角形是 如果三角形的三邊長(zhǎng) a，b，c 滿足 a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形4. 勾股數(shù)：滿足 a2+b2=c2 的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)常見勾股數(shù)有 ； ； ；Ø 精講精練1. 一個(gè)直

3、角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 3 和 4，下列說法正確的是A斜邊長(zhǎng)為 25B三角形的周長(zhǎng)為 25C斜邊長(zhǎng)為 5D三角形的面積為 202. 如圖，在 RtABC 和RtACF 中，BC 長(zhǎng)為 3cm，AB 長(zhǎng)為4cm，AF 長(zhǎng)為 12cm，則正方形 CDEF 的面積為 FEAS2BS1S3ACD第 2 題圖第 3 題圖3. 如圖，在ABC 中，ABC=90°，分別以 BC，AB，AC 為邊向外作正方形，面積分別記為 S1，S2，S3若 S2=4，S3=6， 則 S1= 4. 如圖，已知 RtABC 的兩直角邊長(zhǎng)分別為 6 和 8，分別以其三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為 5. 等面

4、積法是幾何中一種常見的證明方法，可以直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”例如，著名的趙爽弦圖（如圖 1，其中四個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)都為 a，較短的直角邊長(zhǎng)都為 b，斜邊長(zhǎng)都為 c），大正方形的面積可以表示為 c2，也可以表示為4 ´ 1 ab + (a - b)2 由此推導(dǎo)出重要的勾股定2理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為 a，b，斜邊長(zhǎng)為 c，那么 a2+b2=c2圖 2 為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證圖1法”，請(qǐng)你利用圖 2 推導(dǎo)勾股定理CDabAaEbB圖26. 如圖，直線 l 上有三個(gè)正方形 a，b，c，若 a，c 的面積分別為 5 和 11，則 b 的面積為 E

5、DlCB第 6 題圖第 7 題圖7. 如圖，在 RtABC 中，ACB=90°，以斜邊 AB 為邊向外作正方形 ABDE，已知正方形 ABDE 的面積為 100，BC 的長(zhǎng)為8，則點(diǎn) E 到直線 BC 的距離為 8. 如 圖 ， 在 ABC 中 ，ADBC 于 點(diǎn) D， 若 AB=13cm，BD=5cm， CD=9cm，求線段 AD，AC 的長(zhǎng)ABDC9. 小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)， 然后將繩子拉到離旗桿底端 5 米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處 1 米請(qǐng)?jiān)O(shè)法算出旗桿的高度10. 下列各組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A0.3，0.4，0.5B7，12

6、，15C11，60，61D9，40，4111. 如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中有 AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（）ACD，EF，GH BAB，EF，GH CAB，CD，GH DAB，CD，EFCEBHFDG12. 若三角形的三邊長(zhǎng)分別是2n +1，2n2 + 2n，2n2 + 2n +1（n 為正整數(shù)），則三角形的最大內(nèi)角等于 度13. 三邊長(zhǎng)分別是 15，36，39 的三角形是 三角形14. 五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為 7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，下列圖形中正確的是（）72524202025241520247207151571525ABCD15. 一個(gè)零件的形狀如圖 1 所示，按規(guī)定這個(gè)零件中A 和DBC 都應(yīng)為直角工人師傅量得這個(gè)零件各邊長(zhǎng)如圖 2 所示，這個(gè)零件符合要求嗎？請(qǐng)說明理由CCDD4ABA3 B圖1圖2【參考答案】Ø 課前預(yù)習(xí)1.大于，互余2.121，144，169，196，225，256，289，324，3613.SA=16，SB=9，SC=25 SA+SB=SCØ 知識(shí)點(diǎn)睛1. 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2. 略3. 三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，直角三角形4.3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60