(完整版)指數(shù)方程與對數(shù)方程教師版

1、指數(shù)方程與對數(shù)方程【知識要點】1 指數(shù)方程與對數(shù)方程的定義：在指數(shù)上含有未知數(shù)的方程，叫做指數(shù)方程；在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程，叫做對數(shù)方程。2解指數(shù)方程、對數(shù)方程的基本思想：化同底或換元。3. 指數(shù)方程的基本類型：( 1 ) ax c(a 0, a 1,c 0), 其解為 x loga c ；af(x)ag(x)g。e1),轉化為代數(shù)方程 f(x) g(x)求解；af(x)bg(x)(ao,a后 。由 i),轉化為代數(shù)方程 f(x)lga g(x)lg b求解；xx( 4) F(ax) 0(a 0,a 1)，用換元法先求方程F(y) 0的解，再解指數(shù)方程ax y。4. 對數(shù)方程的基本類型

2、：( 1 ) log a x b(a 0,a 1), 其解為 x ab；f(x) g(x)( 2) log a f (x) loga g(x)(a 0, a 1)，轉化為f(x) 0 求解；g(x) 0( 3) F (log a x) 0(a 0,a 1) ，用換元法先求方程 F (y) 0 的 解，再解對數(shù)方程log a x y?！疽?guī)范解答】化原方程為:2x 2ax 06a 3 02x 2ax 6a 3a2+6a-3>1+6x 1-3>0,42故由(x-a2)=a2+6a-3 得:- 2x-a= ± va 6a 3 即 x=a士 ,a2 6a 31(a>2).典型

3、例題【例1】 解下列方程:9x+6x=22x+1；(2)log4(3-x)+log i (3+x)=log4(1-x)+log i (2x+1);44(3)log 2(9x-1-5)-log 2(3"1-2)=2.【解前點津】(1)可化為關于(2) x的一元二次方程；(2)直接化為一元二次方程求解；3(3)轉化為關于3x-1的一元二次方程.【規(guī)范解答】(1)由原方程得：32x+3x 2x=2 - 2% 兩邊同除以22x得：(9 )2x+ ( - ) x-2=0.22因式分解得：(3)x-1 (3)x+2=0. 22(3)x+2>0,(3)x-1=0, x=0.22(2)由原方程

4、得：log 4(3-x)-log 4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x) (2x+1)=(1-x) (3+x)解之:x=0或7,經(jīng)檢驗知：x=0為原方程解.(3)log2(9x-1-5)=log24 (3"1-2)9x-1-5=4 (3x-1)-8 因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.經(jīng)檢驗x=2是原方程解.【解后歸納】指數(shù)方程與對數(shù)方程的求解思路是轉化.將超越方程轉化為代數(shù)方程，因轉化過程中有時“不等價”，故須驗根，“增根須舍去，失根要找回”是解方程的基本原則.【例2】解關于x的方程：lg(x2-2ax)-

5、lg(6 a-3)=0.【解前點津】利用對數(shù)函數(shù)的單調性，去掉對數(shù)符號，并保留“等價性”1a -2(x a)2 a2 6a 3【解后歸納】含參方程的求解，常依具體條件，確定參數(shù)的取值范圍【例3】解關于x的方程：a2 4x+(2a-1) 2x+1=0.【解前點津】令t=2x,則關于t的一元方程至少有一個正根，a是否為0,決定了方程的“次數(shù)”.【規(guī)范解答】當a=0時，2x=i, x=0；1當 aw0 時，A =(2a-1)2-4a2=1-4a;若0 則 aw (aw0).41.一且關于t的一兀一次萬程 a2 t2+(2a-1)t+1=0至少有一個正根， 而兩根之積為 1>0,故兩a 12a根

6、之和為正數(shù)，即二2a >0 a1 身711 x (1 2a)14a.a一,故 aw 一(aw。)時，2x=-2,故 a242aw 1 (aw 0)時,1 x=log 2 -2a 1 4a、一 巾2為原方程之根2a【解后歸納】方程經(jīng)“換元”之后，如何保持“等價性”是關鍵所在，應確定“新元”和“舊元”的對應關系以及“新元”的取值范圍【例4】 當a為何值時，關于x的方程4x-(2a+1) 2x+a2+2=0的根一個比另一個大1.【解前點津】令y=2x,則問題轉化為：關于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一個是另一個的兩倍.【規(guī)范解答】令y=2x,x1=x2+1 ,故2x2=2

7、2x2,即y2=2y1,故關于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一個是另一個的兩倍，不妨設為 m, 2m._22_70(2a 1)4(a2) a -,4由 m 2m 2a 13m 2a 12a 4.一一 一2a 1 om?2m a2 2 2m2 a2 22 -aa2 23【解后歸納】在不等式與方程式的混合不等式組中,常從解方程入手,將方程之根代入不等式檢驗便知真?zhèn)?【例5】(1)方程210gx 25 310g 25 x 1的解集為(2)方程 10g式3 x) 10g43 x) 10g4(1 x) 10g1(2x 1)的解集為 。44221O解：(1) 設 t 10g 25x,

8、貝U 3t2 t 2 0 t 1,t - o x 一，x 53/5。325(2) x 0。注意：在對數(shù)方程求解過程中，有些變形會改變未知數(shù)的范圍，方程可能產生增根或失根，故對數(shù)方程求解后必須檢驗?！纠?】關于x的方程k 9x k 3x1 6(k 5) 0在區(qū)間0,2上有解，求k的取值范圍。解法指導：有關方程的有解與無解的問題以及方程的解的個數(shù)問題，可轉化為函數(shù)類的問題。本題可利用分離參數(shù)，數(shù)形結合求解。30解：由k 9x k 3x 1 6(k 5) 0,得一 9x 36,因為萬程在0,2上有解,k所以30在函數(shù)u 9x 3x1 6,x 0,2的值內取值即可，不難求得其值域為 k1,8 ,所以

9、1k 8。2 2【例7】解關于x的方程4x (a 1) 6x2(a2 a) 9x。2xxx解：原方程可化為 2 (a 1) 22 a2 a 0,設t 23 33WJ t 2a t a 10(1)當 a 0時，x log2(1 a)；3(2)當 0 a 1 時，x1log2(1 a),x2 log2(2a);33(3)當 a 1 時,x log2(2a)。3作業(yè)：1 .方程 log 2 log 3(log 5x) =0 的根是(D )A.1B.9C.25D.1252 .方程 210g2(2x2 7x 3) =x2- x-2 的解集是(C )A.1 , 5B.-1, 5C.5D.13 .方程:lo

10、g (4- x)(x2-2 x)=log(4-x)(5x-6)的根的個數(shù)是(A )A.0B.1C.2 D.無窮多個4 .若關于x的方程2x-1+2x2+a=0有實根，則a的取值范圍是(B )A.(-1)B.(- 1)C.(1, +00)D.(1, +00)225.方程2x+3x=5 6x-1的解集是(B )以上都不是A.0B.1C.-1 D.6.若關于x的方程：lg（ ax） lg（ ax2）=4的根都大于1,則實數(shù)a的取值范圍 是 （ C ）A.（0，1） B<上，1） C. （°，工） D. （1，+°°）1001008 .若關于x的方程ax-a-x=b

11、(ax+a-x)( a>0, aw1)有解，則b的取值范圍是( B )A. -1 , 1B.(-1,1) C (- 巴 1) U1 , +oo) D. (- oo, -1)U (1 , +OO)9 .關于x的方程| x-2|二log M(a>1)的解的個數(shù)是(C )A.0B.1C.2D.3二、思維激活10 .若關于 x 的方程：2x2+(3log 2m-1) x-3=0 和 6x2+(2log 2m3) x-2=0 有公共根, 則使log 2m為整數(shù)的m值為.10.從方程組中消去x2得公共卞I為：x=logm2,令u=log2m代入第一個原方程得2 ，、1八+(3u-1)-3=0

12、u=2log2m=2, . m=4.uu11 .方程 510g34x=1210g35 的解集是.11兩邊取對數(shù)：10g3(4x) 10g35=log35 - 10g312 4x=12,x=3 即解集為3.12 .關于x的方程5x=lg( a+3)有負根，a C Z,則a的值所成之集為.12/. x<0, /.5x (0, 1)即 0<lg(a+3)<1lg1<lg(a+3)<lg101<a+3<10 -3<a<7,.aC-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.三、能力提高13 .解方程：9x-4 - 3x+3=0.13.由(

13、3x)2-4(3x)+3=0(3x-1)(3x-3)=0 3x=1 或 3 x=0 或 1.14 .已知關于x的方程：2l0g 2x-7 log ax+3=0有一個根是2,求a值及另一個根.7log a 2 log a m 一14 .設另一根為 m, A >0,故由根與系數(shù)關系得：2loga2log a 2 ? log a m 一23(2-loga2)= 2a=4 或 V 2 .15 .解關于 x 的方程:lg( ax-l)-lg( x-l)=l.15.由axax0010(xx 1ax 1 10x 101)x 1(10 a)x 91910 ax 9(1<a<10).10 a1