第六章 多元函數微分學 知識點

1、第六章第六章 多元函數微分學多元函數微分學 知知 識識 點點一：多元函數的極限、連續(xù)一：多元函數的極限、連續(xù) 極限存在： Ayxfyxyx),(lim),(),(00函數連續(xù)： ),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx計算上可以使用一元函數求極限的方法：例如：換元，重要極限，等價無窮小等等。例例4 4 證明：證明： 證證362( , )(0,0)limx yx yxy 極極限限不不存存在在。取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在例例5 5

2、 討論函數討論函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數在故函數在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 二、偏導數二、偏導數),(yxfz 定義定義Axyxfyxxfxzxyyxx),(),(lim|0000000 Byyxfyyxfyzxyyxx),(),(lim|0000

3、000計算：計算： A)對對x求偏導，求偏導，y 看作常數看作常數 B)在分段函數的分界點，不連續(xù)點在分段函數的分界點，不連續(xù)點的偏導數用定義求。的偏導數用定義求。22xz yxz2 C)高階偏導數（純偏導數高階偏導數（純偏導數，混合偏導數，混合偏導數例P69 2、3222222ln 1.,.yuuuuxzxy xz y 例例9 9設設求求),(yxfz ),(00yx三、全微分三、全微分在 可全微分； 注：可全微分、可偏導、連續(xù)的關系1)定義： )(oyBxAz22yx0000|,|yyxxyyxxyzBxzA 多元函數連續(xù)、可導、可微的關系多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數可微函數

4、連續(xù)函數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數可導函數可導 2)計算 dyyzdxxzdzyyxxyyxx0000|221.( , ),)() ,zf x yxy 若若可可微微 且且則則002.( , )(,)zf x yxy 函函數數在在點點處處連連續(xù)續(xù)和和存存在在偏偏導導數數是是00(,)xy它它在在處處可可微微的的 條條件件. .0lim.zdz 3.( , )( , ),( , )xyf x yfx yfx y函函數數的的偏偏導導數數連連續(xù)續(xù)是是函函數數( , ).f x y 可可微微的的條條件件0必必要要充充分分21sin()03.( , ),(0,1).00 xx yxyxyf x yfxy

5、 設設求求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx 解解 201sin()limxxxx 220sin()lim1.()xxx 例1 1） 222222,),2 ,(yzxzdzxyyxfz求2） 22),(xzyxxfz 3） yxzyxfu222),(四：復合函數的求導四：復合函數的求導(鏈式求導鏈式求導) 4） ;,),(2yxuxeuyxufzy 5） 222,),(),(yzyxzxyfyxxyfz五、五、隱函數求導：隱函數求導：1、兩邊同時對、兩邊同時對x 求導，注：隱含求導，注：隱含y=f(x) （可適用于任意階數）（可適用于任意階數）2、隱函數求導公式（僅適用于一階

6、）、隱函數求導公式（僅適用于一階）令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 222(1)()()(1)()d yyxyxyydxxy 2232()()xyxy 例221),.2)ln,3) (,)0( , ),.zzzxyzexx yxzdzzyF xy yz zxzz x yzzdzxy 求求確定求， 及六：方向導數與梯度方向導數與梯度0000(,)(,)(,)lxyxyfffelxy.),(kzfjyfixfzyxgradf2）梯度jyfixf ),(yxgradf2),(1,1)_xgra

7、dfy函數f(x,y)=arctan解解故故x軸到方向軸到方向l的轉角的轉角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向導數所求方向導數)22(2221 lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,22(,)22PQe 21.3(1,2)zxxyMx函函數數在在點點處處沿沿 軸軸正正向向的的方方向向導導.Mzx 數數2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz 函函數數在在點點處處沿沿從從點點到到點點.的的方方向向的的方方向向導導數數為為3. ( , , )arctan,grad(1,1,1).xf x y zzf

8、y則則8981311( ,)22 4 七七.多元函數微分學的應用多元函數微分學的應用1）空間曲線的切線與法平面）空間曲線的切線與法平面2）曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線A)設空間曲線的方程設空間曲線的方程)()()(tztytx一、空間曲線的切線與法平面在點 )(),(),(000tttT 000(,)xyz在000(,)M xyz切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. 曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 法平面：過法平面：過M點且與切線垂直的法平面點且與切線垂直的法平面.0)()()(000000

9、zztyytxxt 解解當當0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線

10、方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為000000()()()0.yzxyzxzxyzxyFFFFFFxxyyzzGGGGGGzyxzyxGGGFFFkjiT 注：切向量注：切向量解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導并移項，得求導并移項，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 225.(1,1,2)0zxyMxyz 曲曲線線上上點點處處的的切切線線方方程程是是.法法平平面面方方程程為為.112110 xyz 0 xy設曲面方

11、程為設曲面方程為0),( zyxF二、曲面的切平面與法線nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 切平面的法向量：切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 特殊地：特殊地：1.空間曲面方程形為空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(

12、),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令(, 1)xynff解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx7.(2,1,2)zxyM 曲曲面面上上點點處處的的切切平平面面方方程程是是;.法法線線方方程程為為212121xyz 220 xyz 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域

13、內的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于有定義，對于該鄰域內異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數，則稱函數在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數在，則稱函數在),(00yx有極有極小值；小值；1)1)二元函數極值的定義二元函數極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數取得極值的點稱為極值點使函數取得極值的點稱為極值點. .八、多元函數的極值、最值八、多元函數的極值、最值2)駐點：000000(,)0,(,)0,(,)xyfxyfxyxy則為駐點極值點駐點,駐點極值點(錯)駐點駐點極值點極值點注意：注意：求函數求函數),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數解，得駐點求出實數解，得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(0