柯西不等式與排序不等式課件

1、一、二維形式的柯西不等式一、二維形式的柯西不等式 ., )( 1等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)都都是是若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba 222222222222222)()(bd)(ac )(:bdacbcadcbdadbcadcba 證證明明bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二維形式的柯西不等式的變式二維形式的柯西不等式的變式:22222)()(bdacdcba .,., )( 2等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則是是兩兩個(gè)個(gè)向向量量設(shè)設(shè)柯柯西西不不等等式式的的向

2、向量量形形式式定定理理 kk 2332244)()(, 1babababa 證證明明為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)已已知知例例的最大值的最大值求函數(shù)求函數(shù)例例xxy21015 3 4111,ba, 2 baRba求證求證設(shè)設(shè)例例復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): .,),()()()1(22222等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(2212212222212122

3、11)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx 那那么么設(shè)設(shè)二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 證明證明22122122222121)()(yyxxyxyx 22122122222121)()( yyxxyxyx 二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxz

4、yxzyx 三三維維形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題:.1,yb, 1的最小值的最小值求求且且已知已知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 時(shí)時(shí)取取等等號(hào)號(hào)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解變式引申變式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1

5、)32()11)(94(:222222222最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)為為的的最最小小值值為為得得由由時(shí)時(shí)取取等等號(hào)號(hào)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范圍圍是是則則且且若若補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值為為函函數(shù)數(shù) xxy_2, 623,. 422值值是是的的最最大大則則滿滿足足設(shè)設(shè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)yxPy

6、xyx _)1()1(, 1. 522的的最最小小值值是是則則若若bbaaba AB311225小結(jié)小結(jié): .,),()()()1(22222等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(22122122222121)()(5)yyxxyxyx 二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式221221232232231231)()(x

7、)()()()()6(yyxyyxxyyxx .,:1221等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)?shù)牡目驴挛魑鞑徊坏鹊仁绞交?jiǎn)簡(jiǎn)后后得得二二維維形形式式將將平平面面向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)代代入入能能得得到到從從平平面面向向量量的的幾幾何何背背景景baba， 2221122212221)()()(bababbaa 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后后得得將將空空間間向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)代代入入也也能能得得到到從從空空間間向向量量的的幾幾何何背背景景類類似似地地，, 2332211232221232221)()()(babababbbaaa .)3 , 2 , 1(, 0,等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使得得或或存存在在一一個(gè)個(gè)數(shù)

8、數(shù)即即共共線線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)，ikbakii 猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa ，aaaAn22221 設(shè)設(shè)，bbbCn22221 nnbababaB 22112BAC 則則不不等等式式就就是是分析：分析：)( )(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 構(gòu)構(gòu)造造二二次次函函數(shù)數(shù)0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又0)()(4)(4, 0)(222212222122211 nnnnbbbaaabababaxf即即的的判判別別式式二二次

9、次函函數(shù)數(shù)。等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)使使得得或或存存在在一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理,),2 , 1(,),2 , 1(0,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn 222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa 2222122121)(1, 1nnnaaaaaanaaa 求求證證都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)已已知知例例22122221222)111( )(111(:nnaaaaaa 證證明明22122221)( )(nnaaaaaan 22221221)(1nnaaaaaan dacdbcabdc

10、badcba 2222, 2證證明明是是不不全全相相等等的的正正數(shù)數(shù)已已知知例例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca 2222222222222222222a )()(,)( )(:即即不成立不成立是不全相等的正數(shù)是不全相等的正數(shù)證明證明的的最最小小值值求求已已知知例例222, 132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)32()321)(:2222222222222取取最最小小值值時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)證證明明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 1111x1x:1,xx,Rx,x, 6. 4122221

11、21n21n21 nxxxxxxPnn求求證證且且設(shè)設(shè)1)()1x1 1111()x1x 11()11x(1 )111()1(:2212n222111n2n222121212222121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn證明證明1111x1x2222121 nxxxxnn.,16a, 8, 122222的的取取值值范范圍圍求求滿滿足足已已知知實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)例例eedcbedcbaedcba 5160, 01651664464,)8()16(4d)cb(a )(1111( )4(a :22222222222222 eeeeeeeedcbadcb故故即即即即解解 補(bǔ)充補(bǔ)充例題

12、例題.,21,31,61,914136)321()941)(941:2222等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)用用柯柯西西不不等等式式證證法法一一 zyxzyxzzyyxxzyxzyxzyx36941, 1, 2 zyxzyxRzyx求證求證且且已知已知例例36941, 1, 2 zyxzyxRzyx求證求證且且已知已知例例.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等等號(hào)號(hào)成成立立時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)代代入入法法證證法法二二 zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)3100)1()1()1

13、(:, 1,. 2222 ccbbaacbacba求證求證且且為正數(shù)為正數(shù)設(shè)設(shè)222222236)sin1sin1sin1)(:,1RCBAcbaRcbaABC 求求證證外外接接圓圓半半徑徑為為設(shè)設(shè)其其各各邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為中中在在2221121413121174:,2. 3 nnn試證試證的正整數(shù)的正整數(shù)是不小于是不小于若若23)(1)(1)(1:, 1,. 4333 baccabcbaabcRcba試試證證明明且且滿滿足足設(shè)設(shè)的的和和叫叫做做數(shù)數(shù)組組則則的的任任何何一一個(gè)個(gè)排排列列是是數(shù)數(shù)組組設(shè)設(shè)),(),( ,)1(21212121nnnnbbbaaabbbcccnncacacaS 2211亂

14、序和亂序和稱稱為為所所得得的的和和按按相相反反順順序序相相乘乘和和將將數(shù)數(shù)組組 ),(),()2(2121nnbbbaaa 1231211babababaSnnnn 反序和反序和稱稱為為所所得得的的和和按按相相同同順順序序相相乘乘和和將將數(shù)數(shù)組組 ),(),()3(2121nnbbbaaa 3322112nnbabababaS 順序和順序和21 SSS 即即順順序序和和亂亂序序和和反反序序和和.,c,)( 212122112211112121212121反反序序和和等等于于順順序序和和時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)那那么么的的任任一一排排列列是是為為兩兩組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)理理排排序序不不等等式式或或稱稱排排序序原原定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbccbbbaaa ?,10,)10, 2 , 1(,10 1多多少少這這個(gè)個(gè)最最少少的的總總時(shí)時(shí)間間等等于于少少使使他他們們等等候候的的總總時(shí)時(shí)間間最最人人的的順順序序應(yīng)應(yīng)如如何何安安排排問問