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1、一、氫原子的薛定諤方程一、氫原子的薛定諤方程reU024氫原子中電子的勢能函數(shù)氫原子中電子的勢能函數(shù)0)4(20222reEm定態(tài)定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程222zyxr為使求解的問題變得簡便為使求解的問題變得簡便, ,通常采用球坐標(biāo)通常采用球坐標(biāo) 。),(rxyz)r電子電子原核子原核子12-6 量子力學(xué)中的氫原子問題量子力學(xué)中的氫原子問題拉普拉斯算符變?yōu)椋豪绽顾惴優(yōu)椋?2222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr設(shè)波函數(shù)為設(shè)波函數(shù)為)()()(),(rRr 代入薛定諤方程,采用分離變量法得到三個(gè)常代入薛定諤方程,采用分離變量法得到三個(gè)常微分方程。微分方程。 在解波函數(shù)時(shí),
2、考慮到波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)在解波函數(shù)時(shí),考慮到波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件,很自然地得到氫原子的量子化特征。條件,很自然地得到氫原子的量子化特征。(1 1)能量量子化)能量量子化同玻爾得到的氫原子的能量公式一致,但卻沒有認(rèn)同玻爾得到的氫原子的能量公式一致,但卻沒有認(rèn)為的假設(shè)。為的假設(shè)。 在求解在求解 得到氫原子能量必須滿足量子化條件為得到氫原子能量必須滿足量子化條件為)(rR22220422202416 .1318132nnhmenmeEn, 3 , 2 , 1n 稱為主量子數(shù)稱為主量子數(shù)nn =1 基態(tài)能量基態(tài)能量eV6 .131EeV6 .131EEn =2,3, 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的能量稱為激發(fā)態(tài)能量能
3、量稱為激發(fā)態(tài)能量eV40. 32EeV51. 13E當(dāng)當(dāng)n很大時(shí),能級(jí)間隔消失而變?yōu)檫B續(xù)很大時(shí),能級(jí)間隔消失而變?yōu)檫B續(xù)。 對(duì)應(yīng)于電子被電離,對(duì)應(yīng)于電子被電離,氫原子的電子電離能為:氫原子的電子電離能為:n當(dāng) ,0En11E232E3E454EE 說明角動(dòng)量只能取由說明角動(dòng)量只能取由 l 決定的一系列分立值,決定的一系列分立值,即角動(dòng)量也是量子化的。即角動(dòng)量也是量子化的。(2 2)軌道角動(dòng)量量子化和角量子數(shù))軌道角動(dòng)量量子化和角量子數(shù) 處于能級(jí)處于能級(jí) 的原子的原子, ,其角動(dòng)量共有其角動(dòng)量共有 n 種可種可能值,即能值,即 , ,用用s, p, d,表示角表示角動(dòng)量狀態(tài)。動(dòng)量狀態(tài)。nEl=0,
4、 1,2,., n-1() 在求解角量在求解角量 為變量的函數(shù)所滿足的方程時(shí),為變量的函數(shù)所滿足的方程時(shí),進(jìn)一步得到角動(dòng)量量子化的結(jié)果。進(jìn)一步得到角動(dòng)量量子化的結(jié)果。,稱稱 為為角量子數(shù)角量子數(shù),或或副量子數(shù)副量子數(shù)。l) 1( llL) 1(, 3 , 2 , 1nl氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)氫原子內(nèi)電子的狀態(tài)n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0 l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s(3 3)軌道角動(dòng)量空間量子化和磁量子數(shù)
5、)軌道角動(dòng)量空間量子化和磁量子數(shù), lzmL lml,.,2, 1, 0 稱為稱為磁量子數(shù)磁量子數(shù)。對(duì)于一定的角量子數(shù)。對(duì)于一定的角量子數(shù) 可以取可以取 個(gè)值。個(gè)值。lmlml,) 1(2l 氫原子中電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量不僅大小取分氫原子中電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量不僅大小取分離值,其方向也有一定限制。若取外磁場離值,其方向也有一定限制。若取外磁場B的方向的方向?yàn)闉?軸,角動(dòng)量在軸,角動(dòng)量在 軸上的投影軸上的投影 只能取只能取zLzz)(zBo226L2l角動(dòng)量的空間角動(dòng)量的空間量子化量子化 例例1 設(shè)氫原子處于設(shè)氫原子處于2p態(tài),求氫原子的能量、角動(dòng)量大小態(tài),求氫原子的能量、角動(dòng)量大小 及角動(dòng)量的
6、空間取向。及角動(dòng)量的空間取向。解解 : 2p態(tài)表示態(tài)表示 n=2, l=1。得得eV40. 3eV26 .1322E角動(dòng)量的大小為角動(dòng)量的大小為2) 1(llL 當(dāng)當(dāng)l=1時(shí),時(shí),ml的可能值是的可能值是-1, 0, +1,角動(dòng)量方向,角動(dòng)量方向與外磁場的夾角可能值為:與外磁場的夾角可能值為:4324) 1(arccosllmleV6 .132nEn根據(jù)根據(jù)二、氫原子中電子的概率分布二、氫原子中電子的概率分布 要知道電子在氫原子中的分布,必須要知道要知道電子在氫原子中的分布,必須要知道定態(tài)波函數(shù):定態(tài)波函數(shù):),()(lmnlnlmYrR 稱為徑向函數(shù);稱為徑向函數(shù);)(rRnl),(lmY稱
7、為角分布函數(shù)。稱為角分布函數(shù)。以下給出前幾個(gè)函數(shù):以下給出前幾個(gè)函數(shù):02)1()(2300, 1arearR0202300, 2)2()21()(areararR0202301 , 23)21()(areararR角分布函數(shù):角分布函數(shù):410, 0Y) 1cos3(16520, 2Ycos430, 1YieYsin831, 1 為玻爾半徑為玻爾半徑0adrrRRdrrP24)(電子的徑向分布概率為電子的徑向分布概率為)(rP表示電子出現(xiàn)在表示電子出現(xiàn)在 至至 的球殼中的概率。的球殼中的概率。rdrr氫原子中電子徑向概率分布?xì)湓又须娮訌较蚋怕史植茧娮拥慕欠植几怕视呻娮拥慕欠植几怕视?決定。決定。 ),(lmY 與與 無關(guān),表示角向概率密度對(duì)于無關(guān),表示角向概率
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