人教培優(yōu)旋轉(zhuǎn)輔導專題訓練

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖：在 ABC中，Z ACB=90°, AC=BC, Z PCQ=45",把NPCQ繞點C旋轉(zhuǎn)，在整個旋 轉(zhuǎn)過程中，過點A作AD_LCP,垂足為D,直線AD交CQ于E.（1）如圖，當N PCQ在N ACB內(nèi)部時，求證：AD+BE=DE；（2）如圖，當CQ在NACB外部時，則線段AD、BE與DE的關(guān)系為；【答案】見解析（2） AD=BE+DE （3） 8【解析】試題分析：（1）延長到匕使。尸DE，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距 離相等可得CE=CF,再求出N4CF=N8CE,然后利用“邊角邊"證明 ACF和

2、8CE全等，根 據(jù)全等三角形的即可證明AF=8E，從而得證：（2）在4。上截取。尸DE,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得 C£=CF,再求出N4CF=N8CE,然后利用“邊角邊"證明 4CF和 8CE全等，根據(jù)全等三角形 的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=。尸DE,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底 邊的比求出AF=2AD,然后求出4。的長，再根據(jù)AE=4D+DE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解. 試題解析：（1）證明：如圖，延長。4至IJF,使DF=DE. CDLAE, /. CE=CF,N DCE=N

3、OCF=N PCQ=45°, Z ACD+Z ACF=Z. DCF=45°.又：N 4C8=90°, Z PCQ=45°,Z ACD+ BCE=90° - 45°=45°, Z ACF=Z. BCE.在A/CF 和A8C£ 中,CE = CF.NACF = /BCE , ：. ACa BCE （SAS） , /. AF=BE, ：. AD+BE=AD+AF=DF=DE,即 AC = BCAD+BE=DE；（2）解：如圖，在4。上截取CDL4E,，CE=CF, N OCE:N DCF二N PCQ=45°,

4、； ECF=N DCE+N DCF=90 ； BCE+N BCF=N ECF=900 .又Z ACB=90 ：. Z ACF+Z BCF=90 ：. Z ACF=N BCE.在 ACF 和a BCE 中，CE = CF,一 /ACF = /BCE , ：. AC色 & BCE （SAS） , ：. AF=BE, ：. AD=AFWF=BEWE9 即 AC = BCAD=BEWE；故答案為：AD=BE+DE.(3) , Z DCE=Z DCF=N PCQ=45。，Z ECF=450+45°=90°, /. ECF 是等腰直角三角形,1CD=DF=DE=6.S«

5、; 6C£=2Sa 八8，AF=UD9AD=x6=2,AE=ADDE-2.+G=8.1 + 2點睛：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離 相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全 等三角形是解題的關(guān)鍵.2.如圖1,在 A8c中，N4CB=90。，點P為 ABC內(nèi)一點.（1）連接P8、PC,將ABCP沿射線以方向平移，得到O4E,點8、C、P的對應點分別 為點。、4、E,連接CE.依題意，請在圖2中補全圖形；如果8P_LCE, A8+8P=9, C£= 36，求八8的長.（2）如圖3,以點4為旋轉(zhuǎn)中心，

6、將 48P順時針旋轉(zhuǎn)60。得到 4MN,連接以、PB、PC,當4c=4, 48=8時，根據(jù)此圖求%+P8+PC的最小值.【答案】見解析，AB = 6：4st.【解析】分析：（1）根據(jù)題意補全圖形即可：連接8D、CD.根據(jù)平移的性質(zhì)和N4C8 = 90。，得到四邊形8c4）是矩形，從而有CD=AB,設CD=A8=X,貝lj P8=DE= 9-X，由勾股定理求解即可；（2）當C、P、M、A/四點共線時，PA + P8 + PC最小.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求解即可.詳解：（1）補全圖形如圖所示：如圖：連接8D、CD.： BCP沿射線CA方向平移，得到 DAE,：.BCW AD 且 BC=AD9 PB

7、=DE.N4CB = 90°, 四邊形8G4D是矩形，.CD=48,設CD=48=X,則P8=9-X，de=bp=9-x,BP±CE. BPW DE, ：. DE±CE. . CE2 + DE2 = CD2，.（3褥） +（9 - a ）2 = Y,，X=6,即 48=6：(2)如圖，當C、P、M. /V四點共線時，%+ P8+PC最小./. PB = MN.易得4PM、ABN都是等邊三角形，,% = PM,/. pa+pb+pc=pm+mn+pc=cn, ，8/=48=8, Z BNA = 60 Z PAM=60：.Z CAN=N C48 + N 84N=60&

8、#176; + 60° = 120°, Z CBN = 90°.在 R3 48C 中，易得：BC=ylAB2-AC2 = V82 -42 = 45/3 > 在 R3 8CN 中，CN7bC?+BN2 =,48 + 64=477.點睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性 質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和 全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進行計算求解.3.如圖，點A是x軸非負半軸上的動點，點B坐標為(0, 4) , M是線段AB的中點，將 點M繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到點C,過點C

9、作x軸的垂線，垂足為F,過點B作y 軸的垂線與直線CF相交于點E,連接AC, BC,設點A的橫坐標為t.(I)當t=2時，求點M的坐標；(II)設ABCE的而積為S,當點C在線段EF上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍：(皿)當t為何值時，BC+CA取得最小值.3【答案】(1) (It 2) ： (2) S= -1+8 (0<t<8) ： (3)當 t=0 時，BC+AC 有最小值 2【解析】試題分析：(/)過例作MGJ_OF于G,分別求0G和MG的長即可；(/)如圖1,同理可求得4G和0G的長，證明AMG2&C4F,得：AG=CF=-t.2AF=MG=

10、2,分別表示EC和8E的長，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取 值范圍：(/)證明八80s C4F,根據(jù)勾股定理表示AC和8c的長，計算其和，根據(jù)二次根式的 意義得出當t=0時，值最小.試題解析：解： 如圖1,過M作MG_L0F于G,08,當仁2時，0A=2.M是48的中點，.G是40的中點，.OG=!o4=1, MG是aAOB的中位線，2/. MG= - 08=-x4=2, /. M (1, 2 )： 22(/)如圖 1,同理得：0G=.NBAC=90°, 2/. Z B/AO+Z CAF=90 Y N C4F+N ACF=90°, /. Z BAO= ACF

11、. 丁 N4FC=90°,11MA=AC. ：. AMG CAF. .AG=CF=-t. 4F=MG=2,二 EC=4 - t, BE=0F=t+2, 2213(t+2) = - - F+ 1+4；42111.S“bce=-EC8E=- (4 - -t) 222當月與。重合，C與重合，如圖2,此時GO,當C與E重合時，如圖3, AG=EF,即1 3-t=4, t=8,.S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-t+8 (0<t<8):2 2(/)如圖1,易得ABO- a C4F,d竺二竺二四:2,.4F=2, CF-t9由勾股定理AC AF FC2得:心JA尸+ C尸=,22+(；

12、02 =/ + ；/ .8C=qbe? + EC?=卜 + 2>+(4_；/)2 =小5(；/+4), . bc+AC= ( a/5+1)圖3點睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識點包括相似三角形、全等三角形、點的坐標、幾 何變換（旋轉(zhuǎn)）、三角形的中位線等，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解 決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.4.正方形ABCD的邊長為1,對角線AC與BD相交于點O,點E是AB邊上的一個動點 （點E不與點A、B重合），CE與BD相交于點F,設線段BE的長度為x.(1)如圖1,當AD=20F時，求出x的值；(2)如圖2,把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，

13、使點C落在點P處，連接AP,設 APE 的面積為S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值.【答案】 1 1 1(2) S=-2 (x-2) z+8(o<x<l), 1 1當x=2時，S的值最大，最大值為我.【解析】試題分析：(1)過O作OMII AB交CE于點M,如圖1,由平行線等分線段定理得到CM=ME,根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,1 -x l-x JI X 十，- 求得OF=OM=2解方程 22 ,即可得到結(jié)果：(2)過P作PG±AB交AB的延長線于G,如圖2,根據(jù)已知條件得到N ECB=Z PEG,根據(jù)1

14、全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x,由三角形的面積公式得到S=> (l-x) ”，根據(jù)二次函數(shù) 的性質(zhì)即可得到結(jié)論.試題解析：(1)過O作OMII AB交CE于點M,如圖1,/ OA=OC,/. CM=ME, AE=2OM=2OF,/. OM=OF, OM OF .Te = bf ，, BF=BE=x, 1-X/. OF=OM= 2 ,二 AB二 1, 正 OB= 2 ,(2)過P作PG±AB交AB的延長線于G,如圖2,Z CEP=Z EBC=90Z ECB=Z PEG,PE=EC, Z EGP=Z CBE=90°,在仆EPG與 CEB中，LCBE=LPGE乙CEB

15、=jPECPE = EC ：.a EPG合 CEB,EB=PG=x,AE=1 - x, 1 1 1 1 1 1(0<x<l),/. S=2 (i - x)x=-x2+2x= - 2 (x - 2) 2+8,1,.1 - 2<0, 1 1考點：四邊形綜合題5.如圖 1,在 ABC 中，CA=CB, Z ACB=90% D 是 ABC 內(nèi)部一點，N ADC=135。，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接DE.(1)依題意補全圖形：請判斷/ ADC和N CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.（2）在（1）的條件下，連接BE,過點C作CM_LDE,請判斷線段CM, AE

16、和BE之間的 數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）如圖2,在正方形ABCD中，ABA4 如果pd=1, z BPD=90%請直接寫出點A到BP 的距離.圖1圖2【答案】（1）作圖見解析；（2）Z ADC+Z CDE=180°： （2） AE=BE+2CM,理由解析； 姆- 1（3） 2【解析】試題分析：（1）作CE_LCD,并且線段CE是將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到的， 再連接DE即可；根據(jù)NADC和NCDE是鄰補角，所以N ADC+N CDE=180。.（2）由（1）的條件可得A、D、E三點在同一條直線上，再通過證明4ACD2 BCE,易得AE=BE+2cM.（3）運用勾股定理，可

17、得出點A到BP的距離.試題解析：解：（1）依題意補全圖形（如圖）；N ADC+Z CDE=180°.（2）線段CM, AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM,理由如下： 線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE, . CD=CE, Z DCE=90°. , Z CDE=Z CED=45°.文:Z ADC=135%/. Z ADC+Z CDE=180%:.A、D、E三點在同一條直線上. . AE=AD+DE.又丁 Z ACB=90%/. Z ACB-Z DCB=Z DCE-Z DCB, 即N ACD=Z BCE.又.,AC=BC, CD=CE,/. ACD合

18、 & BCE./. AD=BE. / CD=CE, Z DCE=90 CM±DE./. DE=2CM.Z. AE=BE+2CM.（3）點A到BP的距離為2考點：作圖一旋轉(zhuǎn)變換.6.如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC, CD上，且BE=DF,點P是AF的中 點，點Q是直線AC與EF的交點，連接PQ, PD.（1）求證：AC垂直平分EF：（2）試判斷 PDQ的形狀，并加以證明；（3）如圖2,若將4CEF繞著點C旋轉(zhuǎn)180。，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立 嗎？若成立，請加以證明：若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明見解析：（2） PDQ是等腰直角三角形；理

19、由見解析（3）成立：理 由見解析.【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD, Z B=Z ADF=90°,Z BCA=Z DCA=45%由BE=DF,得出CE=CF, CEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論：1 1（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出pd=1af, pq/af,得出pd=pq,再證明Z DPQ=90%即可得出結(jié)論:1 1（3）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PDAF, pqNaf,得出pd=pq,再證明點 A、F、Q、P四點共圓，由圓周角定理得出N DPQ=2N DAQ=90。，即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：.四邊形ABCD是正方形，

20、/. AB=BC=CD=AD, Z B=Z ADF=90°, Z BCA=Z DCA=45°,BE=DF, /. CE=CF,AC垂直平分EF；(2)解：aPDC1是等腰直角三角形：理由如下：.點 P 是 AF 的中點，Z ADF=90°, 1 . PD=2AF=PA,，Z DAP=Z ADP, AC垂直平分EF, Z AQF=90°,1/. PQ=%=PA,Z PAQ=Z AQP, PD=PQ, Z DPF=Z PAD+Z ADP, Z QPF=Z PAQ+Z AQP, , Z DPQ=2Z PAD+2Z PAQ=2 (Z PAD+Z PAQ) =2x

21、450=90%. PDQ是等腰直角三角形：(3)成立：理由如下：.點P是AF的中點，Z ADF=90°,1 , PD=%=PA,BE=DF, BC=CD, Z FCQ=Z ACD=45°, Z ECQ=Z ACB=45%/. CE=CF, Z FCQ=Z ECQ, CQJ»EF, NAQF=90°, 1/. PqNaf=AP二PF,/. PD=PQ=AP=PF,.,.點A、F、Q、P四點共圓，/. Z DPQ=2Z DAQ=90°,PDQ是等腰直角三角形.考點：四邊形綜合題.7. (1)問題發(fā)現(xiàn)如圖14ACB和 DCE均為等腰直角三角形/ AC

22、B=90°,B,C,D在一條直線上.填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為 L(2)拓展探究如圖2A ACB和 DCE均為等腰直角三角形/ ACB=Z DCE=90。,請判斷AD,BE的關(guān)系，并說明 理由.解決問題如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線 段AC,隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.EAA【答案】(1) AD=BE, AD±BE. AD二BE, AD±BE. 53CW5+3 人 【解析】 【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 ACD合 BCE (SAS),得AD=BE, Z EBC=Z CAD

23、,延長BE 交AD于點F,由垂直定義得AD_LBE.(2)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 ACD2a BCE (SAS) , AD=BE, N CAD=N CBE,由垂直定義得NOHB=90°, AD±BE；(3)作 AEJLAP,使得 AE=PA,則易證 APE合 ACP, PC=BE,當 P、E、B 共線時，BE 最 小，最小值=PB-PE；當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE,故5-3 & WBEW5+3點.【詳解】(1)結(jié)論：AD=BE, ADJLBE.理由：如圖1中，V ACB與aDCE均為等腰直角三角形, ，AC=BC, CE=CD, Z ACB=Z

24、ACD=90 在 RtA ACD 和 RtA BCE 中AC=BC ZACD=ZBCECD=CE ：. ACD合 BCE (SAS), , AD=BE, Z EBC=Z CAD 延長BE交AD于點F,; BC±AD» , Z EBC+Z CEB=90°,Z CEB=AEF, /. Z EAD+Z AEF=90",/. Z AFE=90 RP AD±BE. AD=BE, AD±BE.故答案為AD二BE, AD±BE.(2)結(jié)論：AD=BE, AD±BE.理由：如圖2中，設AD交BE于H, AD交BC于0.V ACB與

25、 DCE均為等腰直角三角形,，AC=BC, CE=CD, Z ACB=Z ECD=90", ACD=Z BCE,在 RtA ACD 和 RtA BCE 中'AC=BC< ZACD=ZBCEtCD=CE. ACD合 4 BCE (SAS),，AD二BE, Z CAD=Z CBE,Z CAO+Z AOC=90°, Z AOC=Z BOH,/. Z BOH+Z OBH=90/. Z OHB=90%. AD±BE,/. AD=BE, AD±BE.(3)如圖3中，作AE«LAP,使得AE=PA,則易證 APE合口 ACP,PC=BE, 圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值二PB.PE=53 0圖3.2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3拒,，5-