一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（一）一元二次方程根的判別式和根系關(guān)系是中考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，即可以單獨(dú)出現(xiàn)，又可能在代數(shù)綜合題、幾何綜合題、應(yīng)用題中出現(xiàn)，我們準(zhǔn)備用兩節(jié)課的時(shí)間，幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)這一內(nèi)容。一、 一元二次方程根的判別式關(guān)于的一元二次方程 用配方法可得 稱為根的判別式 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根反過(guò)來(lái)也成立根的判別式主要用來(lái)解決以下兩類問(wèn)題 不解方程，判斷方程實(shí)數(shù)根的情況； 根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的情況，確定方程中某一字母系數(shù)的取值范圍。例1 不解方程判斷下列關(guān)于的一元二次方程根的情況 解：運(yùn)用判別式先要將方程化為一

2、般形式 方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 方程是一元二次方程 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根例2 一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 。解：錯(cuò)誤解法 = = 注意：應(yīng)用一元二次方程判別式，首先方程應(yīng)為一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，要加上二次項(xiàng)系數(shù)可為0這個(gè)限制條件。 正確解法 且 例3 關(guān)于的一元二次方程 其根的判別式的值為1，求的值。解：= 注意 舍去 例4 已知關(guān)于的方程 有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍。解：注意本題并沒(méi)有說(shuō)方程是一元二次方程，也沒(méi)有說(shuō)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 方程為一元一次方程 有一個(gè)實(shí)根 方程為一元二次方程 且 時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 綜上，當(dāng)時(shí)方程有實(shí)根。小結(jié)：

3、應(yīng)用判別式的條件是方程為一元二次方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)，注意系數(shù)不為0； 應(yīng)用判別式應(yīng)將方程化為一般形式； 注意有實(shí)根和有兩個(gè)實(shí)根的區(qū)別。二、 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果，是方程（）的兩個(gè)根則有 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是初中數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，主要用來(lái)解決以下四類問(wèn)題： 利用兩根關(guān)系確定方程的系數(shù)； 不解方程，求某些關(guān)于根的代數(shù)式的值； 根據(jù)根系關(guān)系構(gòu)造新方程； 判斷方程兩根的符號(hào)。應(yīng)用根系關(guān)系要注意定理的前提條件： 方程應(yīng)為一元二次方程，注意二次項(xiàng)系數(shù) 在有實(shí)數(shù)根的條件下例5 已知關(guān)于的一元二次方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，滿足 求的值解： 即 又 解之得 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 舍去

4、例6 已知方程 的兩個(gè)根為，求 的值。解： ， ，=例7 已知方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，求作一個(gè)以和為根的一元二次方程。解：首先 方程有兩個(gè)不等實(shí)根法1 ， += = 所求方程為 法2 注意到均為原方程的根 這樣計(jì)算較為簡(jiǎn)單。一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（二）例8 已知 實(shí)數(shù) 且 ， 求 的值。 解： 由已知 是方程 的兩個(gè)不等實(shí)根 已知 ， 且 ，求 的值。解： 由 及 可知 ， 又 由 又 與可看作方程 的兩個(gè)不等實(shí)根 已知實(shí)數(shù)分別滿足 ，求 的值。解：依題意 都是方程 的實(shí)數(shù)根 當(dāng)時(shí) 是的兩個(gè)不等實(shí)根 當(dāng)時(shí) 是的同一個(gè)實(shí)數(shù)根 當(dāng)=+時(shí) 當(dāng)=-時(shí) 例9 已知是一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)

5、根，且滿足 ，求的值。解： 不對(duì)稱，利用根系關(guān)系 代入方程， 可求出 當(dāng)時(shí)， 例10 已知關(guān)于的一元二次方程 ，若為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足 ，求的值。解：已知 ， 不對(duì)稱，利用方程和根系關(guān)系 ， = = ， 當(dāng) 時(shí) 或 例11 已知：關(guān)于的一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為， 試分別判斷當(dāng)與時(shí)，4是否成立，并說(shuō)明理由。 若對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)，總成立，求實(shí)數(shù)及的值。分析：求一元二次方程兩根差的方法有兩種 求出，易得 = 由根系關(guān)系可得解： 當(dāng)， 時(shí)，原方程為 ， 成立 當(dāng)，時(shí)，原方程為 ，= 不成立 設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ， =對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)， 當(dāng) ，例12 已知關(guān)于的兩個(gè)方程 和

6、方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 求證：方程的兩根符號(hào)相同； 設(shè)方程的兩根分別為，若，且為整數(shù)，求的最小整數(shù)值。 分析：利用判別式和根系關(guān)系可判別方程兩根符號(hào) 若 兩根同號(hào) 此時(shí) 當(dāng)，兩根同為負(fù)數(shù) 當(dāng)，兩根同為正數(shù) 若 兩根異號(hào) 此時(shí) 當(dāng)，正根絕對(duì)值小于負(fù)根絕對(duì)值 當(dāng)，正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值 當(dāng)=，兩根絕對(duì)值相等 若= 即 兩根至少有一個(gè)為零 此時(shí) 當(dāng)，另一根必為負(fù)數(shù) 當(dāng)，另一根必為正數(shù) 當(dāng)=，即 另一根也為零 證明：設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 由已知 即 解得 由方程有兩個(gè)實(shí)根可知 當(dāng) 時(shí)， ，方程有兩根之積為正。 方程有兩根符號(hào)相同。 由 ，又為整數(shù) 當(dāng) 時(shí) 不是整數(shù) 當(dāng) 時(shí) 或 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 的最小整數(shù)值為小結(jié)： 在使用根系關(guān)系時(shí)，要注