初中一次函數(shù)典型應(yīng)用題

1、近幾年來，各地的中考題中越來越多地出現(xiàn)了與函數(shù)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)型考試題，這種類型的試題，由于條件多，題目長，很多考生無法下手，打不開思路，在考場上出現(xiàn)了僵局，在這里，我特舉幾例，也許對你有所幫助。例1已知雅美服裝廠現(xiàn)有 A種布料70米，B種布料52米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn) M N 兩種型號的時(shí)裝共80套。已知做一套M型號的時(shí)裝需要A種布料0.6米，B種布料0.9 米，可獲利潤45元；做一套N型號的時(shí)裝需要A種布料1.1米，B種布料0.4米，可獲 利潤50元。若設(shè)生產(chǎn)N種型號的時(shí)裝套數(shù)為x,用這批布料生產(chǎn)這兩種型號的時(shí)裝所獲 總利潤為y 元。（ 1）求y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍

2、；（2）雅美服裝廠在生產(chǎn)這批服裝中，當(dāng) N型號的時(shí)裝為多少套時(shí)，所獲利潤最大？最大利潤是多少？例 2 某市電話的月租費(fèi)是20 元，可打60 次免費(fèi)電話（每次3 分鐘），超過60 次后，超過部分每次0. 13 元。（ 1）寫出每月電話費(fèi)y （元）與通話次數(shù)x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）分別求出月通話50 次、100 次的電話費(fèi)；（ 3）如果某月的電話費(fèi)是27. 8 元，求該月通話的次數(shù)。例 3 荊門火車貨運(yùn)站現(xiàn)有甲種貨物1530噸， 乙種貨物1150噸，安排用一列貨車將這批貨物運(yùn)往廣州，這列貨車可掛 A、B兩種不同規(guī)格的貨廂50節(jié)，已知用一節(jié)A型貨廂的運(yùn)費(fèi) 是0.5萬元，用一節(jié)B型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0

3、.8萬元。（1）設(shè)運(yùn)輸這批貨物的總運(yùn)費(fèi)為y （萬元），用A型貨廂的節(jié)數(shù)為x （節(jié)），試寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，可裝滿一節(jié)A型貨廂，甲種貨物25噸和 乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)B型貨廂，按此要求安排A、B兩種貨廂的節(jié)數(shù)，有哪幾種運(yùn)輸 方案？請你設(shè)計(jì)出來。（ 3）利用函數(shù)的性質(zhì)說明，在這些方案中，哪種方案總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少萬元？例 4 某工廠現(xiàn)有甲種原料360 千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、 B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克， 可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種

4、原料4千克、乙種原料10千克，可獲利 潤 1200 元。（ 1）按要求安排A、 B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來；（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤為y （元），生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？例 5 某地上年度電價(jià)為0. 8 元， 年用電量為1 億度。 本年計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0. 550. 75 元之間，經(jīng)測算，若電價(jià)調(diào)至x元，則本年度新增用電量y （億度）與屋0.4） （元）成反比 例，又當(dāng) x =0.65時(shí)，y =0. 8。（ 1）求y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每度電的成本價(jià)為0

5、.3元，則電價(jià)調(diào)至多少元時(shí)，本年度電力部門的收益將比上年度增加20% 收益=用電量X （實(shí)際電價(jià)一成本價(jià)）例6為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某城市制定了以下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)： 每戶每月用水未超過7立 方米時(shí)，每立方米收費(fèi)1.0元并加收0.2元的城市污水處理費(fèi)，超過7立方米的部分每立 方米收費(fèi)1.5元并加收0.4元的城市污水處理費(fèi)，設(shè)某戶每月用水量為 x （立方米），應(yīng) 交水費(fèi)為y （元）（1）分別寫出用水未超過7立方米和多于7立方米時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果某單位共有用戶50戶，某月共交水費(fèi)514. 6元，且每戶的用水量均未超過10立方米，求這個(gè)月用水未超過 7立方米的用戶最多可能有多少戶？例

6、7遼南素以“蘋果之鄉(xiāng)”著稱，某鄉(xiāng)組織 20輛汽車裝運(yùn)三種蘋果42噸到外地銷售。按規(guī)定每輛車只裝同一種蘋果，且必須裝滿，每種蘋果不少于2車。（1）設(shè)用x輛車裝運(yùn)a種蘋果，用y輛車裝運(yùn)b種蘋果，根據(jù)下表提供的信息求y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍；（2）設(shè)此次外銷活動的利潤為 W（百元），求W與x的函數(shù)關(guān)系式以及最大利潤，并 安排相應(yīng)的車輛分配方案。蘋果品種ABC每輛汽布運(yùn)載量（噸）2. 22. 12 1每噸蘋果猶利（百兀）685解：（1）由題意得：2.2x 2.1y 2（20 x y） 42化簡得：y 2x 20當(dāng)y=0時(shí)，x = 10 . 1< x<10答：y與x之間的函

7、數(shù)關(guān)系式為：y 2x 20 ；自變量x的取值范圍是：1<x<10的 整數(shù)。（2）由題意得：W 2.2 6x 2.1 8y 2 5（20 x y）= 3.2x 6.8y 200= 3.2x 6.8（ 2x 20） 200=10.4x 336,W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y= 10.4x 336.W遁x的增大而減小當(dāng)x=2時(shí)，W有最大值，最大值為：W最大值10.4 2 336 =315. 2 （百元）當(dāng) x=2 時(shí)，y 2x 20 = 16, 20 x y =2答：為了獲得最大利潤，應(yīng)安排2輛車運(yùn)輸A種蘋果，16輛車運(yùn)輸B種蘋果，2輛車 運(yùn)輸C種蘋果。同學(xué)們，從以上幾例的解答過程中，你學(xué)

8、到了解決這類問題的基本思路和方法嗎？小結(jié)：確定函數(shù)解析式，求函數(shù)值次確定自變量取值范圍A 實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題方案設(shè)計(jì)：利用不等式或不等式組及M意方案決策：最優(yōu)方案：利用一次函數(shù)的性質(zhì)及y(徵.克)圖1一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，設(shè)計(jì)一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，備 受各地命題者的青睞.本文采擷幾例中考試題加以評析，供參考.一、圖象型例1(2003年廣西)在抗擊“非典” 中，某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種預(yù)防“非 典”的藥品.經(jīng)試驗(yàn)這種藥品的效果得 4 知：當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用該藥后1小_ 時(shí)時(shí)，血液中含藥量最高，達(dá)到每毫升5 3 微克，接著逐步衰減，至8小時(shí)時(shí)血液 2 中含藥量為每毫升1.5微克.每

9、毫升血液 中含藥量y(微克)隨時(shí)間x(小時(shí))的變化 如圖所示.在成人按規(guī)定劑量服藥后：(1)分別求出x<1, x>l時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果每毫升血液中含藥量為2微克或2微克以上，對預(yù)防“非典”是有效的, 那么這個(gè)有效時(shí)間為多少小時(shí)？解析 本題涉及的背景材料專業(yè)性很強(qiáng)，但只要讀懂題意，用我們學(xué)過的函數(shù) 知識是不難解答的.題目的主要信息是由函數(shù)圖象給出的，圖象是由兩條線段組成的 折線，可把它看成是兩個(gè)一次函數(shù)圖象的組合.(1)當(dāng)x&l時(shí)，設(shè)y=kx將(1 , 5)代入，得 匕=5.y=5x.當(dāng) x>1 時(shí)，設(shè) y=k2X+b.以(1 , 5) , (8 ,

10、1.5)代入，得 2 ,?111-X 1.2以y=2代入y=5x，得5 ；H以y=2代入22 ,得X2=7.6 故這個(gè)有效時(shí)間為 5小時(shí).注：題中圖像是已知條件的重要組成部分，必須充分利用.二、預(yù)測型例2（2002年遼寧?。╇S著我國人口增長速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量有所減 少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，試用你所學(xué)的函 數(shù)知識解決下列問題：（1）求入學(xué)兒童人數(shù)y（人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用所求函數(shù)關(guān)系式，預(yù)測該地區(qū)從哪一年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過1000年份（X）200020012002入學(xué)兒童人數(shù)（y）252023302140解析 建立反比例函數(shù)，一

11、次函數(shù)或二次函數(shù)模型，考察哪一種函數(shù)能較好地k描述該地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，這就要討論.若設(shè)底（k >0）,在三點(diǎn)（2000 ,2520)， (2001 ， 2330)， (2002， 2140)中任選一點(diǎn)確定k 值后，易見另兩點(diǎn)偏離曲線較遠(yuǎn)，故反比例函數(shù)不能較好地反映入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，從而選用一次函數(shù)(1) &y=kx+b(k0),將(2000, 2520)、(2001, 2330)代入，得故 y=-190x+382520.又因?yàn)?y=-190x+382520 過點(diǎn)(2002, 2140),所以 y=-190x+382520 能較好地描 述這一變化趨勢.所求函數(shù)關(guān)系式

12、為y=-190x+382520.(2) 設(shè) x 年時(shí)，入學(xué)兒童人數(shù)為1000 人，由題意得-190x+382520=1000. 解得x=2008. 所以，從2008 年起入學(xué)兒童人數(shù)不超過1000 人 .注：從數(shù)學(xué)的角度去分析，能使我們作出的預(yù)測更準(zhǔn)確. 本題也可構(gòu)造二次函數(shù)模型來描述這一變化趨勢.三、決策型例 3(2003 年甘肅省 ) 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為1 萬元，其原材料成本價(jià)( 含設(shè)備損耗等) 為 0.55 萬元， 同時(shí)在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有1 噸的廢渣產(chǎn)生. 為達(dá)到國家環(huán)保要求，需要對廢渣進(jìn)行脫硫、脫氮等處理. 現(xiàn)有兩種方案可供選擇.方案一：由工廠對廢渣直

13、接進(jìn)行處理，每處理1 噸廢渣所用的原料費(fèi)為0.05 萬元，并且每月設(shè)備維護(hù)及損耗費(fèi)為20 萬元 .方案二： 工廠將廢渣集中到廢渣處理廠統(tǒng)一處理. 每處理 1 噸廢渣需付0.1 萬元的處理費(fèi).(1) 設(shè)工廠每月生產(chǎn)x 件產(chǎn)品，每月利潤為y 萬元，分別求出用方案一和方案二處理廢渣時(shí)，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式( 利潤=總收入- 總支出 ) ；(2) 如果你作為工廠負(fù)責(zé)人，那么如何根據(jù)月生產(chǎn)量選擇處理方案，既可達(dá)到環(huán)保要求又最合算.解析 先建立兩種方案中的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)月生產(chǎn)量的多少通過分類討論求解 .(1)y 1=x-0.55x-0.05x-20=0.4x-20 ；y2=x-0.55x-0

14、.1x=0.35x.(2)若 yi>y2,則 0.4x-20 >0.35x ,解得 x>400;若 yi=y2,則 0.4x-20=0.35x ,解得 x=400;若 yi<y2,則 0.4x-20 <0.35x ,解得 x<400.故當(dāng)月生產(chǎn)量大于400件時(shí)，選擇方案一所獲利潤較大；當(dāng)月生產(chǎn)量等于400 件時(shí)，兩種方案利潤一樣；當(dāng)月生產(chǎn)量小于400件時(shí)，選擇方案二所獲利潤較大.注：在處理生產(chǎn)實(shí)踐和市場經(jīng)濟(jì)中的一些問題時(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光來分辨，會使 我們作出的決策更合理.四、最值型 例4(2003年江蘇省揚(yáng)州市)楊嫂在再就業(yè)中心的支持下，創(chuàng)辦了 “潤揚(yáng)”報(bào)刊零

15、售點(diǎn)，對經(jīng)營的某種晚報(bào)，楊嫂提供了如下信息.買進(jìn)每份0.2元，賣出每份0.3元；一個(gè)月(以30天計(jì))內(nèi)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣 出120份.一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同，當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙，以每 份0.1元退回給報(bào)社.(1)填表:一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份 數(shù)100150當(dāng)月利潤(單位：元)(2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)這種晚報(bào)x份(120 0x0200)時(shí)，月利潤為y元，試求y 與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值.解析(1)由題意，當(dāng)一個(gè)月每天買進(jìn)100份時(shí)，可以全部賣出，當(dāng)月利潤為300 元；當(dāng)一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)150份時(shí)，有20天可以全部賣完，其余1

16、0天每天可賣出 120份，剩下30份退回報(bào)社，計(jì)算得當(dāng)月利潤為 390元.(2)由題意知，當(dāng)120&x&200時(shí)，全部賣出的20天可獲利潤： 20(0.3-0.2)x=2x( 元)；其余10天每天賣出120份，剩下(x-120)份退回報(bào)社，10天可獲利潤：10(0.3- 0.2) X120-0.1(x-120)=-x+240(元).月利潤為y=2x-x+240=x+240(120<x<200).由一次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x=200時(shí)，y有最大值，為y=200+240=440(元).注：對于一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值 y可取最 大(或最小)值，這種最值問題往往用來解決“成本最省”、“利潤最大”等方面的 問題.五、學(xué)科結(jié)合型例5(2002年南京市)聲音在空氣中傳播的速度y(m/s)(簡稱音速)是氣溫x( C) 的一次函數(shù).下表列出了一組不同氣溫時(shí)的音速：氣溫x( C)05