2.3.1 平面向量基本定理題組訓(xùn)練-2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修4（Word版含解析）

1、第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一基底的概念與判定1.下面三種說(shuō)法,其中正確的是()一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可以作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線向量可以作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;零向量不可以作為基底向量.A.B.C.D.2.已知e1,e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底,那么下面四組向量中,不能作為一組基底的是()A.e1,e1+e2B.e1-2e2,e2-2e1 C.e1-2e2,4e2-2e1D.e1+e2,e1-e23.已知e1,e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+e2,若a,b能作為平面內(nèi)的

2、一組基底,則實(shí)數(shù)的取值范圍為. 題組二用基底表示向量4.(黑龍江哈爾濱三中高三期中)如圖所示,在正方形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn),則DF=()A.-12AB+34ADB.12AB+23AD C.13AB-12ADD.12AB-34AD5.(山東棗莊八中高三月考)在ABC中,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E滿足EB=4EC,則ED=()A.56AB-43ACB.43AB-56AC C.56AB+43ACD.43AB+56AC6.在梯形ABCD中,ABCD,M,N分別是DA,BC的中點(diǎn),且DCAB=k.設(shè)AD=e1,AB=e2,以e1,e2為基底表示向量DC,BC,MN.題組三平面向

3、量的夾角7.已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120°,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為. 8.已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為60°,設(shè)a+b與a的夾角為,a-b與a的夾角是,求+.題組四平面向量基本定理的應(yīng)用9.(安徽高一期末)在ABC中,N是AC邊上一點(diǎn),且AN=12NC,P是BN上的一點(diǎn),若AP=mAB+29AC,則實(shí)數(shù)m的值為()A.19B.13C.1D.310.(遼寧遼陽(yáng)高一上期末)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上,滿足BE=4EA,AF=3FD,連接EF交AC于點(diǎn)M,若AM=2AB-3AC

4、,則5-192=()A.-32B.1C.12D.-311.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)的一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,若向量e1+e2可以表示為以a,b為基向量的線性組合,請(qǐng)求出e1+e2.12.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)證明:a,b可以作為一組基底;(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.能力提升練一、選擇題1.()以下說(shuō)法中正確的是() A.若a與b共線,則存在實(shí)數(shù),使得a=b B.設(shè)e1和e2為一組基底,a=1e1+2e2,若a=0,則1=2=0C.a的長(zhǎng)度為|a| D.

5、若兩個(gè)向量的方向恰好相反,則這兩個(gè)向量是相反向量2.()在ABC中,BD=DC,AP=2PD,BP=AB+AC,則+= ()A.-13B.13C.-12D.123.(廣東珠海高一上期末,)如圖,平行四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),EF與AC交于點(diǎn)G.若AB=a,AD=b,則DG=()A.14a-34b B.-14a+34b C.-14a-34bD.14a+34b4.(2018福建閩侯四中高三上期末,)在ABC中,點(diǎn)D滿足BD=34BC,當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動(dòng)時(shí),若AE=AB+AC,則t=(-1)2+2的最小值是()A.31010B.824C.910D.418二、填空題5.(河北

6、高一期中,)已知O是ABC內(nèi)一點(diǎn),且OA+OB+OC=0,點(diǎn)M在OBC內(nèi)(不含邊界),若AM=AB+AC,則+2的取值范圍是. 6.(浙江高一期中,)已知點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足6AM-AB-2AC=0,若SABC=SABM,則實(shí)數(shù)的值是. 7.(四川成都高三調(diào)研,)在平面向量中有如下定理:設(shè)點(diǎn)O、P、Q、R為同一平面內(nèi)的點(diǎn),則P、Q、R三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP=(1-t)·OQ+tOR(OQ與OR不共線).試?yán)迷摱ɡ斫獯鹣铝袉?wèn)題:如圖,在ABC中,點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點(diǎn)M,設(shè)AM=xAE+y

7、AF,則x+y=. 三、解答題8.(河南高一月考,)如圖,在ABC中,點(diǎn)O在BC邊上,且BO=2OC,過(guò)點(diǎn)O的直線與直線AB,AC分別交于M,N兩點(diǎn)(M,N不與點(diǎn)B,C重合),若AM=mAB,AN=nAC,求mn2m+n的值.9.()如圖所示,在ABC中,BC=4BD,AC=3CE,BE與AD相交于點(diǎn)M.(1)用AB,AC表示AD,BE;(2)若AM=23AB+29AC,證明:B,M,E三點(diǎn)共線.答案全解全析第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.B一個(gè)平面內(nèi)只要是不共線的一對(duì)向量就可以作為該平面的基底,故說(shuō)法錯(cuò)誤;顯然正確.故選B.2

8、.C因?yàn)?e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2與4e2-2e1共線,不能作為一組基底.3.答案(-,4)(4,+)解析若a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則a與b不共線,即akb(kR),又a=e1+2e2,b=2e1+e2,4.實(shí)數(shù)的取值范圍為(-,4)(4,+).4.D利用向量的三角形法則,可得DF=AF-AD,AE=AB+BE.E為BC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn),AF=12AE,BE=12BC,DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BE)-AD=12AB+14BC-AD.又BC=AD,DF=12AB-34AD.故選D.5.AD為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E滿足EB=4EC,BD=-1

9、2AB,EB=43CB,ED=EB+BD=43CB-12AB=43(AB-AC)-12AB=56AB-43AC.故選A.6.解析解法一:如圖所示,AB=e2,且DCAB=k,ABCD,DC=kAB=ke2.又AB+BC+CD+DA=0,BC=-AB-CD-DA=-AB+DC+AD=e1+(k-1)e2.又MN+NB+BA+AM=0,且NB=-12BC,AM=12AD,MN=-AM-BA-NB=-12AD+AB+12BC=k+12e2.解法二:如圖所示,過(guò)C作CEDA,交AB于點(diǎn)E,交MN于點(diǎn)F.同解法一可得DC=ke2,則BC=BE+EC=-(AB-DC)+AD=e1+(k-1)e2,MN=M

10、F+FN=DC+12EB=DC+12(AB-DC)=k+12e2.解法三:如圖所示,連接MB,MC.同解法一可得DC=ke2,BC=e1+(k-1)e2.由MN=12(MB+MC),得MN=12(MA+AB+MD+DC)=12(AB+DC)=k+12e2.7.答案90°解析由題意可畫(huà)出圖形,如圖所示.在OAB中,易知OAB=60°,又|b|=2|a|,所以ABO=30°,OAOB,即向量a與c的夾角為90°.8.解析如圖,作OA=a,OB=b,且AOB=60°,以O(shè)A,OB為鄰邊作OACB,則OC=a+b,BA=OA-OB=a-b,BC=OA=

11、a.因?yàn)閨a|=|b|=2,AOB=60°,所以O(shè)AB為正三角形,所以O(shè)AB=60°=ABC,即a-b與a的夾角=60°.因?yàn)閨a|=|b|,所以平行四邊形OACB為菱形,所以O(shè)CAB,所以COA=90°-60°=30°,即a+b與a的夾角=30°,所以+=90°.9.B設(shè)NP=NB ,AP=AN+NP=13AC+NB=13AC+(NA+AB) =13-13AC+AB,所以13-13=29, 解得=13,故m=13.故選B.10.C因?yàn)锳C=AB+AD,所以AM=2AB-3AC=2AB-3(AB+AD)=(2-3)

12、AB-3AD.因?yàn)锽E=4EA,AF=3FD,所以AM=5(2-3)AE-4AF,因?yàn)镋,F,M三點(diǎn)共線,所以5(2-3)-4=1,10-19=1,所以5-192=12.11.解析設(shè)e1+e2=ma+nb(m,nR).a=e1+2e2,b=-e1+e2,e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.e1與e2不共線,m-n=1,2m+n=1,解得m=23,n=-13,e1+e2=23a-13b.12.解析(1)證明:若a,b共線,則存在R,使a=b,則e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共線,得=1,3=-2,解得=1,=-23,不存在,故a與

13、b不共線,可以作為一組基底.(2)設(shè)c=ma+nb(m,nR),則3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.e1,e2不共線,m+n=3,-2m+3n=-1,解得m=2,n=1,c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.e1,e2不共線,+=4,-2+3=-3,解得=3,=1.故所求,的值分別為3,1.能力提升練一、選擇題1.BA不正確,a0,b=0時(shí),不存在;C不正確,當(dāng)<0時(shí)不成立;D不正確,相反向量是方向相反模相等的向量.故選B.2.A因?yàn)锽D=

14、DC,AP=2PD,所以AD=12AB+12AC,所以32AP=12AB+12AC,所以AP=13AB+13AC,所以BP=AP-AB=-23AB+13AC,因?yàn)锽P=AB+AC,所以=-23,=13,所以+=-13.故選A.3.A平行四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),EF與AC交于點(diǎn)G,AG=14AC,AB=a,AD=b,AG=14AC=14(a+b),DG=DA+AG=-b+14(a+b)=14a-34b.4.C如圖,由題意可得,存在實(shí)數(shù)m使得AE=mAD(0m1),又因?yàn)锳D=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC,所以AE=m14AB+3

15、4AC=m4AB+3m4AC,所以=m4,=3m4,所以t=(-1)2+2=m4-12+3m42=58m2-m2+1=58m-252+910(0m1),當(dāng)m=25時(shí),t取得最小值,最小值為910.故選C.二、填空題5.答案(1,2)解析因?yàn)镺是ABC內(nèi)一點(diǎn),且OA+OB+OC=0,所以O(shè)為ABC的重心.又點(diǎn)M在OBC內(nèi),所以當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí),+2最小,此時(shí)AM=AB+AC=23×12(AB+AC)=13AB+13AC ,所以=13,=13,即+2=1.當(dāng)M與C重合時(shí),+2最大,此時(shí)AM=AC ,所以=0,=1,即+2=2,因?yàn)镸在OBC內(nèi)且不含邊界,所以取開(kāi)區(qū)間,即+2(1,2).

16、6.答案3解析記2AM=AN,由題意得AN-AB+2AN-2AC=0,BN=2NC,SABC=32SABN. 又SABM=12SABN,SABC=3SABM,從而有=3.7.答案75 解析B,M,F三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù)t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC.又E,M,C三點(diǎn)共線,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.三、解答題8.解析由BO=2OC得AO-AB=2(AC-AO),即AO=13AB+23AC.又M,O,N三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù),使MO=ON,即AO-AM=(AN-AO),整理得(+1)AO=AM+AN=mAB+nAC,AO=m+1AB+n+1AC,m+1=13,n+1=23,13m+23n=1+1+1=1.則1m+2n=