空間幾何體的表面積和體積講解及經典例題

1、空間幾何體的表面積和體積一.課標要求：了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式)。二.命題走向近些年來在高考中不僅有直接求多面體、 旋轉體的面積和體積問題，也有已知面積或體 積求某些元素的量或元素間的位置關系問題。 即使考查空間線面的位置關系問題， 也常以幾 何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉體的概念、性質以及它們的求積公式.同時也要學會運用等價轉化思想，會把組合體求積問題轉化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉化求解問題，會把立體問題轉化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。由于本講公式多反映在考題上，預測2009年高考有以下特色：(1)用選擇、填空題考查本章的基本

2、性質和求積公式；(2)考題可能為：與多面體和旋轉體的面積、體積有關的計算問題；與多面體和旋轉 體中某些元素有關的計算問題； 三.要點精講1 .多面體的面積和體積公式名稱側面積(S側)全面積(S全)體積(V)棱 柱棱柱直截回周長x lS側+2S底S底, h=S直截面, h直棱柱chS底 h梭錐棱錐各側面積之和S側+S底-S 底, h 3正棱錐ch' 2棱 臺棱臺各側向面積之和S側+S上底+S下底1 -C.C-h(S上底+S下底+、； Sr 底 Sr 底)正棱臺1,一 (c+c )h2表中S表小面積，c'、c分別表不上、下底面周長，h表斜局，h ,表不斜tWj, l表不側棱長。2

3、.旋轉體的面積和體積公式名稱圓柱圓錐圓臺球S側2兀rl兀rl兀(r 1+r2)lS全2 兀 r(l+r)兀 r(l+r)兀(r 1+r2)l+兀(r/武)4兀R2V兀r 2h(即兀r 21)1 兀 r 2h3 兀 h(r 21+r12+r22) 3-% R3 3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，ri、r2分別表示圓臺 上、下底面半徑，R表示半徑。四.典例解析題型1:柱體的體積和表面積例1 . 一個長方體全面積是 20cm2,所有棱長的和是 24cm,求長方體的對角線長.解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm伏日加 2(xy yz zx)

4、 20(1)依題思得：4(x y z) 24(2)由(2) 2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 (3)由(3) ( 1)得 x2+y2+z2=16即 l2=16所以 l=4(cm)。點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素(對角線、內切)與面積、 體積之間的關系。例2.如圖1所示，在平行六面體 ABCD A1B1C1D1中，已知AB=5 , AD=4 , AA1=3,AB ±AD , / A1AB= / AAD=一。3(1)求證：頂點 A1在底面ABCD上的射影O在/BAD的

5、平分線上;(2)求這個平行六面體的體積。解析：(1)如圖2,連結A1O,則A1。，底面ABCD。作OM LAB交AB于M ,作ON ±AD 交 AD 于 N,連結 Aim, A1N。由三垂線定得得 A1M ±AB , AiNAD。. / AiAM= ZA1AN , RtAA1NARtAA1MA, /.AiM=AiN, 從而OM=ON 。.點O在/ BAD的平分線上。1 3(2) . AM=AA icos =3 x =AO=AMcos49 9又在 RtAAOA中，AiO2=AA 12 - AO2=9 =一，2 23、. 2 一， .AiO= 3- ,平行六面體的體積為 V23

6、-2230y 2 。題型2:柱體的表面積、體積綜合問題例3. 一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是<2, V3, <6 ,這個長方體對角線的長是( )A. 2j3B. 3J2C. 6D. J6解析：設長方體共一頂點的三邊長分別為a=1, b= J2, c= J3,則對角線l的長為1=一b2 c2J6 ;答案 D。點評：解題思路是將三個面的面積轉化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長。例4.如圖，三棱柱 ABC-ABC中，若E、F分別為AR AC的中點，平面 EBCi將三棱柱分成體積為 Vi、V2的兩部分，那么 Vi ： V2=解：設三棱柱的高為 h,上下底的面積為S,體積為 V,則

7、 V=V+V2=Sh。. B F分別為AB AC的中點,- Sa aekS,11- 17V=-h(S+ -S+. S 尸一 Sh34,412V2=Sh-V1 = Sh,12 V1 ： V2=7 : 5。點評：解題的關鍵是棱柱、 棱臺間的轉化關系, 關系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結論即可。建立起求解體積的幾何元素之間的對應題型3:錐體的體積和表面積例5.（2008山東卷6）右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是D（A）9 兀（B） 10 幾（C）11 兀（D）12 幾（2008江西卷10）連結球面上兩點的線段稱為球的弦。半徑為4 的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于27

8、7、4向，M、N分別為AB、CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題:弦AB、CD可能相交于點MMN的最大值為5其中真命題的個數為CA. 1個 B.2個 C .3個弦AB、CD可能相交于點NMN的最小值為1D . 4個（2008湖北卷3）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為,則球的體積為BA.B.C.D.832點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。例 6. (2008 北京,19).(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD , AB / DC , zPAD是等邊三角形，已

9、知BD 2AD 8, AB 2DC 4更.(I)設M是PC上的一點，證明：平面 MBD 平面PAD； (n)求四棱錐 P ABCD的體積.(I)證明：在 ABD中，由于 AD 4, BD 8, AB 4廄,所以 AD2 BD2 AB2.故 AD BD.又平面PAD 平面ABCD,平面PAD I平面ABCD AD , BD 平面 ABCD ,所以BD 平面PAD ,又BD 平面MBD ,故平面MBD 平面PAD .(n)解：過 P作PO AD交AD于O, 由于平面PAD 平面ABCD , 所以PO 平面ABCD.因此PO為四棱錐P ABCD的高，又 PAD是邊長為4的等邊三角形.因此 PO 4

10、2J3.2在底面四邊形 ABCD中，AB/DC, AB所以四邊形ABCD是梯形，在 RtADB中，斜邊 AB邊上的高為4_84 v 58,5此即為梯形ABCD的高,2.5 4.5 8、. 5所以四邊形 ABCD的面積為S8-5 24.25故 VP ABCD點評:-24 273 16G3本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理。題型4:錐體體積、表面積綜合問題例7. ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且 GC=2,求點B到平面EFC的距離？解：如圖，取 EF的中點 O,連接 GB

11、、GO、CD、FB構造三棱錐 BEFG。G設點 B 到平面 EFG 的距離為h,BD =4，2,EF2 J2, CO = - X4723/2。4GO .CO2 GC2 V（3<2）2 22418 4 V22。而 GC，平面 ABCD ,且 GC = 2。、，1 _ 一 ,1-由 VB EFG VG EFB ,得二 EF , GO ' h SAEFB , 63點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉化為體積問題來求解。構造以點B為頂點， EFG為底面的三棱錐是解此題的關鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方 程是解這類題的方法，從而簡化了運算。例8. （2007江西理，12）

12、如圖，在四面體ABCD43,截面AEF經過四面體的內切球（與 四個面都相切的球）球心 O,且與BC DC分別截于E、F, 如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A-BEFDW三B隹A- EFC的表面積分別是 S, G,則必有（）A. Si S2B. S S2C. Si=S2D. Si, S2的大小關系不能確定b解：連 OA、 OB、 OC、 OD, 貝U Va-befd = Vo-abd + Vo-abe + Vo-befdVa EFC= V O ADC + V O AEC + VO EFC 又 VA BEFD = VA - EFC,而每個二棱錐的Wj都是原四面體的內切球的半徑，故Sa

13、bd + Sabe + Sbefd = Sadc + Saec+ Sefc又面AEF公共，故選 C點評：該題通過復合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、 表面積首先要轉化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應關系。題型5:棱臺的體積、面積及其綜合問題例9. （2008四川理,19）（本小題滿分12分）如圖，面ABEFL面ABCD四邊形ABEF與四邊形 ABCDTB是直角梯形，/ BADhFAB=90 ,BC/ - AD, BE/ -AF, G H 分別是 FA、FD的中點。=2= 2（I ）證明：四邊形 BCH提平行四邊形；（n）C、D> E、F四點是否共面？為什么

14、？（m）設AB=BE證明：平面 ADEL平面 CDE.）解法一：（I ）由題設知，FG=GA,FH=HD.所以 GH&1AD ,2一 _一 1.又 BC4 AD ,故 GH留BC2所以四邊形BCH俚平行四邊形（n）C、D. F、E四點共面.理由如下：1由BE幺一AF , G是FA的中點知，BE幺GF所以EF/ BG 2由（I ）知BG/ GH故FH共面.又點D在直線FH上.所以G D. F、E四點共面.（山）連結EG由AB=BE, BE笈AG及/ BAG90°知ABE境正方形.故BGL EA由題設知，FA AD. AB兩兩垂直，故 AD_1平面FABE 因此EA> ED

15、在平面FAB曲的射影，根據三垂線定理， BGL ED又EDA EA= E,所以BGL平面 ADE由（I ）知，CH/ BG所以CHL平面 八口£由（n ）知F 平面CDE故CH 平面CDE得平面ADEL平面CDE解法二：由題設知，FA AB AD兩兩互相垂直.如圖，以A為坐標原點，射線 AB為x軸正方向建立直角坐標系 A-xyz.（I ）設AB=a,BC=b,BE=c則由題設得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2 b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H。,b，c).uuuruur所以，GH (0, b,0), BC (0,b,0).uuur uu

16、m于是GH BC.所以四邊形BCH俚平行四邊形又點G不在直線BC上.(n)c、DK F、E四點共面.理由如下:由題設知，F(0,0,2 c),所以uuuruuuruuir uurEF ( a,0,c),CH( a,0,c),EF CH,又C EF, H FD,故C、D、F、E四點共面.uuuruur(出)由 AB=BE 彳導 c=a,所以 CH ( a,0, a), AE (a,0, a).uuruuur uuiruuir uuir又 AD (0,2b,0),因此 CHgAE 0,CH gAD 0.即CHL AECHL AD又 Am AE =A所以CHL平面ADE故由CH 平面CDFE得平面

17、ADEL平面CDE面平行這一常規(guī)運算置于非規(guī)則而第三步研究擬柱體的近似計算 是極具實際意義的問題。 考查了OM ,分別過N, M ,0作垂線于點評：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、 幾何體(擬柱體)中，能考查考生的應變能力和適應能力， 公式與可精確計算體積的辛普生公式之間計算誤差的問題， 考生繼續(xù)學習的潛能。例 10. ( 1) (2008 四川理，8)設M , N是球心O的半徑OP上的兩點，且 NP MN0P的面截球得三個圓，則這三個圓的面積之比為：(D )(A) 3,5,6(B) 3,6,8(C) 5,7,9(D) 5,8,9【解】：設分別過N,M,0作垂線于0P的面截球得三個圓

18、的半徑為 r1,r2,r3 ,球半徑為R ,222則：r12R2-R5R2,r22R2-R8R2,r32R2- RR21 39, 239, 332 22，r1 :2 : B 5:8 : 9 這三個圓的面積之比為：5,8,9 故選D【點評】：此題重點考察球中截面圓半徑，球半徑之間的關系；【突破】：畫圖數形結合，提高空間想象能力，利用勾股定理；例11. (2008四川文，12)若三棱柱的一個側面是邊長為2的正方形，另外兩個側面都是有一個內角為600的菱形，則該棱柱的體積等于(B )(A)亞(B)2V2(C)372(D) 472【解】：如圖在三棱柱ABCAB1C1中，設AA1B1 AAG60

19、6;,由條件有 C1AB1 60°,作AO面ABiCi于點O,則 cos AAOcos AA| Bcos EB1 AO0cos600cos301,3 sinAAO6八AO3AAi sinAAO2 /63BiAVABC A1B1aoC1AB1C1AO.“0 sin60故選B同時考察空間想象能力;【點評】：此題重點考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式,【突破】：具有較強的空間想象能力，準確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理 并能準確應用是解決此題的關鍵；例12.如圖99, 一個底面半徑為 R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高解析：水面高

20、度升高-4,。,因此有一汽r3=nR2r。故3則圓柱體積增加2-0答案為3'21汽R2 r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積,2.3O3點評：本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。 題型7:圓錐的體積、表面積及綜合問題例13.已知過球面上 A, B,C三點的截面和球心的距離為球半徑的半，且AB BC CA 2,求球的表面積。解：設截面圓心為，連結O A ,設球半徑為R,2.3 ,3在Rt OOA中,222OA2O A2OO2,門圖:R2乎243S點評:4 R264§正確應用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關系。例14.如圖所示，球面上有四個點

21、P、A、B、C,如果PA, PB, PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,求這個球的表面積。解析：如圖，設過 A、B、C三點的球的截面圓半徑為r,圓心為O',球心到該圓面的距離為do在三棱錐 PABC中， PA, PB, PC兩兩互相垂直，且 PA=PB=PC= a,AB=BC=CA= J2a,且P在ABC內的射影即是 ABC的中心 O'。由正弦定理，得Jia- =2r,r=工6 a。sin 603又根據球的截面的性質，有 OO'，平面ABC,而PO'，平面ABC,r -P、O、O'共線，球的半徑 R= VPd7oXPO, =v,PA2 r2 = J

22、'a2 2a2 = a,33.OO' =R a=d= VR2 r2 ,(R- -a)2=R2 - (a)2,解得 R= a,3332S 球=4 兀 R2=3 兀 a2。點評：本題也可用補形法求解。將 PABC補成一個正方體，由對稱性可知，正方體一.、3內接于球，則球的直徑就是正萬體的對角線，易得球半徑 R=a,下略。2題型9:球的面積、體積綜合問題例15. (1)表面積為324的球，其內接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積。(2)正四面體 ABCD的棱長為a,球。是內切球，球 Oi是與正四面體的三個面和球。都相切的一個小球，求球 Oi的體積。解：(1)設球半徑為 R,正

23、四棱柱底面邊長為 a,則作軸截面如圖， AA 14, AC J2a,又 4AC,AC2 CC264 2 32 14576.(2)如圖，設球O半徑為R,球Oi的半徑為r, E為CD中點，球O與平面ACD、BCD切于點F、G,球Oi與平面ACD切于點H.DB由題設AGAE2 GE2 AOFA AEGR3一 a6.6a3. 3a2v 6a .12 AOiHsAOF2R r- 624VOi4 r3136 a 24a ，1728點評：正四面體的內切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等。 題型10:球的經緯度、球面距離問題例19. (1)我國首都靠近北緯 40o緯線，求北緯40o緯線的長度等于多

24、少 km?(地球半徑大約為6370km)(2)在半徑為13cm的球面上有 A, B,C三點，AB BC AC 12cm,求球心到經過這三點的截面的距離。解：(1)如圖，A是北緯40o上一點，AK是它的半徑,OK AK ,設C是北緯40o的緯線長,AOBOAK 400,AK 2 OA cos OAK 2 OA cos40o2 3.146370 0.7660 3.066 104(km)答：北緯40o緯線長約等于3.066 104km.(2)解：設經過 A, B,C三點的截面為。O ,設球心為O ,連結OO ,則OO 平面ABC , AOOOOA2 OA2所以，球心到截面距離為11cm .例16 .

25、在北緯45o圈上有A,B兩點，設該緯度圈上A,B2兩點的劣弧長為 R ( R為地球半徑)，求A, B兩點間4B口的球面距離。2AO'B ,解：設北緯45o圈的半徑為r ,則r J R ,設O為北緯450圈的圓心,4. r R, . . R42AB 72r2R, ABC 中，AOB , 3所以，A, B兩點的球面距離等于 R .3點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進 而求出這兩點的球面距離。(2008廣東文18)(本小題滿分14分)如圖5所示，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形，其中 BD 是圓的直徑，ABD 600, B

26、DC 45°, ADP BAD 。(1)求線段PD的長；(2)若PC J11R,求三棱錐P-ABC的體積?！窘馕觥?1) Q BD是圓的直徑BAD 90° 又 VADPVBAD,3R ;AD DP ,DPBA ADAD2BA(2 )在 RtVBCD 中,CDc 2BDsin60°BDsin30°°BD c°s45Q PD2 CD2 9R2 2R2 11R2PD 底面ABCD4R22R34 12、2RPC2PDCD 又 PDA 90°2Rg-2R日日1SVABC - ABgBC sin 60° 45° 21 <23 1 d2R2 24113 1 o 3 1.二棱錐 P ABC 的體積為 VP ABC-gSVABcgPDR2g3R -R33344五.思維總結1.正四面體的性質設正四面體的棱長為a,則這個正四面體的(1)全面積：S全= 3 a?；(2)體積：V=：2a3;匚,2(3)對梭中點連線段的長：d=1-a;6(4)內切球