高等數(shù)學教學教案函數(shù)的微分

1、25函數(shù)的微分授課次序15教學基本指標教學課題8.5函數(shù)的微分教學方法當堂講授，輔以多媒體教學教學重點微分的概念，函數(shù)的微分法則教學難點微分的四則運算法則；一階微分形式的/、變性同濟大學編高等數(shù)學(第6版)作業(yè)布置高等數(shù)學標準化作業(yè)經(jīng)美孜河自編教材高等數(shù)學習題課教程雙語教學導數(shù)：derivative；連續(xù)性：continuity；連續(xù)函數(shù)：continuousfunction；斜率：slope；微分：differentialcalculus；階：order；切線：tangentline；切線方程：tangentialequation；法線：normalline課堂教學目標1. 了解微分的四則運

2、算法則，會求函數(shù)的微分；2. 一階微分形式的不變性，3. 初步了解微分在近似計算中的應(yīng)用教學過程1 .函數(shù)極限的te義(35min),著重介紹兩種小同的趨勢卜極限的不同步式；2 .應(yīng)用定義證明極限(20min)介紹幾種極限的證明過程，讓學生明白基本過程。3 .左右極限的定義及與函數(shù)極限的關(guān)系(10min)4 .收斂數(shù)列的性質(zhì)(唯一性、后界性)(25min)本節(jié)教學設(shè)計微分定義1 本知識點的背景知識微分的概念從萌發(fā)到完整，其嚴格化經(jīng)歷了幾個世紀.即使在微積分蓬勃發(fā)展的牛頓萊布尼茨歐拉時代，數(shù)學家們盡管能用微分進行近似計算、布列并求解微分方程，但由于無窮小量的概念尚未精確化，微分的概念并不明晰；直

3、到19世紀，數(shù)學的嚴格性發(fā)展到了新的高度，微分的概念才被確切地理解2 本知識點的多種講解方法講解方法一從純分析的角度來研究函數(shù)的改變量y與自變量的增量x的依賴關(guān)系，而引出微分定義.設(shè)y=f(x),a<x<b,取xO(a,b)及xo-xo+x(xwQ,則函數(shù)有改變里y=f(xo+x)f(xo),y依賴于二個要素：函數(shù)f,點xo及x.當取7E函數(shù)f,固7Exo,則y依賴于x.一般依賴關(guān)系復(fù)雜、多樣.但是在局部范圍內(nèi)，當|x|很小時，則可用一個線性化來近似.即y=Ax+o(x).正工：設(shè)函數(shù)尸f(x),a<x<b,固/E點x0(a,b).若：y=f(xo+x)f(xo)=A_

4、x+o(x)(*)成立(其中，A與x無關(guān)).則稱函數(shù)y=f(x)在點xo可微，稱Ax為函數(shù)在點xo的微分，即為dy=Ax;若(*)不成立，則稱y=f(x)在點xo不可微.規(guī)定：自變量的微分，就是它的增量，即：dx=xdy=Adx.講解方法二由于導數(shù)與微分都是研究函數(shù)增量y與自變量增量x之間的運算關(guān)系，在已有導數(shù)概念的前提下，利用導數(shù)作為變化量之比極限的數(shù)量表現(xiàn)，而進行函數(shù)關(guān)系的運算引出微分定義由函數(shù)y=f(x)在點xo處的導數(shù)f(x0)limy,得到x0x,f(xo)(x)x其中l(wèi)im(x)0,于是y=f"(xo)x+xa(x),記o(x)=xa(x),則xoyf(xo)xo(x).

5、當f(x)在xo處可導時，y是f'(xo)x與o(x)之和，記dyf(xo)x,則ydy與x相比為高階無窮小(x-o),這里把dyf(xo)x叫做微分.定義:設(shè)y=f(x)在區(qū)間I有定義，xoI,若存在關(guān)于x的線性函數(shù)Ax(A是與x無關(guān)的常數(shù))，使yf(xox)f(xo)Axo(x),則稱f在xo處可微，稱Ax為f在xo處的微分，記作dy|x3或df(%)Ax.若f在區(qū)間I的每一點可微，則稱f在I上可微.講解方法三切線存在.切線在切點P(x,y)附近與曲線密合，并且在相當靠近切點的地方，密合得難以區(qū)分.這在分析上意味著在點x的小鄰域內(nèi)，函數(shù)值y=f(x)可用切線上相應(yīng)點白縱坐標值來近似

6、.而在x充分小的鄰域內(nèi)，近似誤差R與x相比是微不足道的.事實上，Ryf'(x)x,由于f'(x)存在，就有R0(x0),yf(x)xo(x)(x0).x這樣，函數(shù)的改變量y就被分解成了兩部分之和，其中第一項線性地依賴于x,而它與y相差是關(guān)于x的高階無窮小量，即當x很小時，舍棄這個微不足道的誤差，剩下的部分f'(x)x就是可以作為y的近似值.這一項被稱為y的線性主要部分.定義:自變量x的變化量x與x是無關(guān)的，稱為自變量的微分，記為dx;而因變量相應(yīng)的變化量y的線性主要部分f(x)xf(x)dy則稱為函數(shù)y=f(x)在點x處相應(yīng)于自變量的變化量x的微分，用df(x)或dy表

7、示，即：dydf(x)f(x)dx.講解方法四引進實際問題，由研究函數(shù)的改變量y=f(x0+x)f(x0)與自變量改變量x之間的關(guān)系，計算函數(shù)改變量的大小，引發(fā)出微分的根本思想是在局部范圍內(nèi)用線性函數(shù)來近似函數(shù)的本質(zhì).例如：計算正方形面積增量S=2xx+(x)2計算圓面積增量S=2rr+(r)2計算球體積增量V4<2r471r(r)2-u(r)33計算自由落體路程增量Sgttg(t)2以上實際問題的增量計算都可以被分解成兩部分之和，第一部分是函數(shù)關(guān)于自變量增量的線性函數(shù)，第二部分是關(guān)于自變量增量的高階無窮小，當自變量的增量很微小時，函數(shù)的增量可近似地用第一部分代替定義：設(shè)y=f(x)在某

8、區(qū)向內(nèi)有定義，小及x0+x在這區(qū)間內(nèi).如果函數(shù)的增量y=f(x0+x)f(x)可表不為y=Ax+o(x)其中A是不依賴于x的常數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在點xo是可微白而Ax叫做函數(shù)y=f(x)在點xo相應(yīng)于自變量x的微分，記作dy,即dy=Ax.3與其它知識點的關(guān)聯(lián)1)導數(shù)與微分，都是討論y與x的關(guān)系，它們的內(nèi)在聯(lián)系，表現(xiàn)在下面的定理定理：(可微即可導)函數(shù)y=f(x)在xo可微它在xo可導;且有dyf(x0)dx2)由于dyf'(x0)dx,所以微分有與導數(shù)計算安全一致的微分運算法則.由復(fù)合函數(shù)的微分法，一階微分又具形式不變性.3)由微分的幾何意義而衍生的微分三角形ds微分三角形包含

9、了微分學的全部要素:dsdx,dy,4)高階微分可以歸納地定義.設(shè)ydytandx其中斜邊J(dx)2(dy)2稱為弧微分.d(dy)f"(x)dx2,一般(n1)(n)(n1)n1dyd(dy)f(x)dx注意高階微分不再具有形式不變性§2.5函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計算及增量的構(gòu)成一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響少？其邊長由xo變到xox問此薄片的面積改變了多設(shè)此正方形的邊長為x面積為A則A是x的函數(shù)Ax2金屬薄片的面積改變量為A(xox)2(xo)22xox(x)2幾何意義2xo數(shù)學意義當是A的主要部分定義設(shè)函數(shù)yf(xo可表不為x表示兩個長為xo寬為

10、xo時(x)2是比x可以近似地代替Ayf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義x)f(xo)x的長方形面積(x)2表示邊長為x的正方形的面積高階的無窮小即(x)2o(x)2xox是x的線性函數(shù)xo及xox在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量yAxo(x)其中A是不依賴于相應(yīng)于自變量增量函數(shù)可微的條件的常數(shù)那么稱函數(shù)的微分記作dy即yf(x)在點xo是可微的dyAx而Ax叫做函數(shù)yf(x)在點xo函數(shù)f(x)在點xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點xo可導且當函數(shù)f(x)備注欄在點X0可微時其微分一一定是dyf(xo)x證明設(shè)函數(shù)f(x)在點xo可微則按定義有yAxo(x)上式兩邊除以x得上Ao(x)xx于是當x0時由

11、上式就得到Alimyf(x0)x0x因此如果函數(shù)f(x)在點xo可微則f(x)在點xo也一定可導且Af(xo)反之如果f(x)在點xo可導即lim_yf(xo)xox存在根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系上式可寫成_yf(xo)x其中o(當xo)且Af(xo)是常數(shù)xo(x)由此又有yf(xo)xx因且f(xo)不依賴于x故上式相當于yAxo(x)所以f(x)在點xo也是可導的簡要證明一方面yAxo(x)yAo(x)limyf(xo)Axxxox別一方面lim-yf(xo)yf(xo)yf(xo)xxxoxx以微分dy近似代替函數(shù)增量y的合理性當f(xo)o時有l(wèi)im-ylimy1limy1xodyxof

12、(xo)xf(xo)xodxydyo(dy)結(jié)論在f(xo)o的條件下以微分dyf(xo)x近似代替增量yf(xox)f(xo)時其誤差為o(dy)因此在|xR艮小時有近似等式y(tǒng)dy函數(shù)yf(x)在任意點x的微分稱為函數(shù)的微分記作dy或df(x)即dyf(x)x例如dcosx(cosx)xsinxxdex(ex)xexx例1求函數(shù)yx2在x1和x3處的微分解函數(shù)yx2在x1處的微分為dy(x2)|x1x2x函數(shù)yx2在x3處的微分為dy(x2)|x3x6x例2.求函數(shù)yx3當x2xo.。2時的微分解先求函數(shù)在任意點x的微分dy(x3)x3x2x再求函數(shù)當x2xo.。2時的微分dy|x2xo.o

13、23x2|x2,xo.o2322o.o2o.24自變量的微分因為當yx時dydx(x)xx所以通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分記作dx即dxx于是函數(shù)yf(x)的微分又可記作dyf(x)dx從而有dyf(x)dx這就是說函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導數(shù)因此導數(shù)也叫做“微商”二、微分的幾何意義當y是曲線yf(x)上的點的縱坐標的增量時dy就是曲線的切線上點縱坐標的相應(yīng)增量當|x|很小時|ydy|比|x|小得多因此在點M的鄰近我們可以用切線段來近似代替曲線段三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則從函數(shù)的微分的表達式dyf(x)dx可以看出要計算函數(shù)的微分只要計算函數(shù)的導

14、數(shù)再乘以自變量的微分因此可得如果下的微分公式和微分運算法則1基本初等函數(shù)的微分公式導數(shù)公工大微分公式(x)ixd(x)x1dx(sinx)cosxd(sinx)cosxdx(cosx)sinxd(cosx)sinxdx(tanx)sec2xd(tanx)sec2xdx(cotx)csc2xd(cotx)csc2xdx(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdx(cscx)cscxcotxd(cscx)cscxcotxdx(ax)axlnad(ax)aixlnadx(ex)exd(ex)exdx(logax)1xlna，,、1.d(l0gax)xlnadx(lnx)1x1d(l

15、nx)-dxx(arcsinx)1力x2d(arcsinx)一yj.1dx1x2(arccosx)1d(arccosx),1dx/x2前x2(arctanx)11x2d(arctanx)彳dxx2(arccotx)11x2d(arccotx)12dx1x22函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導法則微分法則(uv)uvd(uv)dudv(Cu)Cud(Cu)Cdu(uv)uvuvd(uv)vduudv(u)uv2uv(v0)vv2d(u)vduudvdx(v0)vv2證明乘積的微分法則根據(jù)函數(shù)微分的表達式有d(uv)(uv)dx再根據(jù)乘積的求導法則有(uv)uvuv于是d(uv)(uvuv)dxuv

16、dxuvdx由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv3復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)yf(u)及u(x)都可導則復(fù)合函數(shù)yf(x)的微分為dyyxdxf(u)(x)dx于由(x)dxdu所以復(fù)合函數(shù)yf(x)的微分公式也可以寫成dyf(u)du或dyyudu微分形式dy f (u)du保持不變 這一性質(zhì)微分形式dy f (u)du并不改變由此可見無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)稱為微分形式不變性這性質(zhì)表示當變換自變量時例3.ysin(2x1)求dy解把2x1看成中間變量u則dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求復(fù)合函數(shù)的

17、導數(shù)時可以不寫出中間變量例4yln(1ex2)求dy解dydln(1ex2)1；2d(1ex2)一1一ex2d(x2)一1一ex22xdx1ex21ex2例5.ye13xcosx求dy解應(yīng)用積的微分法則得dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e1(cosx)e13x(3dx)e13x(sinxdx)e13x(3cosxsinx)dx例6.在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立(1) d()xdx(2) d()costdt解(1)因為d(x2)2xdx所以1c11cxdx科(x2)d(-x2)即d(；x2)xdx一般地有dx2C)xdx(C為任意常數(shù))(2)因為d(sint)costdt所以

18、11.、costdt1d(sint)d(1sint)1.因此d(1sintC)costdt(C為任意常數(shù))四、微分在近似計算中的應(yīng)用1.函數(shù)的近似計算在工程問題中經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式如果直接用這些公式進行計算那是很費力的利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替如果函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)f(x)0且x|很小時我們有ydyf(xo)xyf(xox)f(xo)dyf(xo)xf(xox)f(xo)f(xo)x若令xxox即xxxo那么又有f(x)f(xo)f(xo)(xxo)特別當xoo時有f(x)f(o)f(o)x這些都是近似計算公式例1.有一批半徑為1cm的球

19、為了提高球面的光潔度要鍍上一層銅厚度定為o01cm估計一了每只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm3)?解已知球體體積為V4R3Ro1cmRo.01cm3鍍層的體積為VV(RoR)V(Ro)V(Ro)R4Ro2R43.1412o.。1o.13(cm3)于是鍍每只球需用的銅約為o.138.91.16(g)例2.利用微分計算sin3030的近似值解已知30 30 6 360x 3601. 322 3600.5076,11 11f (0) 1(1 x)n - nx o n代入 f(x) f(0) f (0) x 便得sin3030sin(xox)sinxoxcosxosin八cos八66360即sin30300.5076常用的近似公式(假定岡是較小的數(shù)值)1 1)%1x1xn(2)sinxx(x用弧度作單位來表達)(3)tanxx(x用弧度作單位來表達)(4)ex1xln(1x)x證明取f(x)n1"x那么f(0)1證明(2)取f(x)sinx那么f(0)0f(0)cosxxo1代入f(x)f(0)f(0)x便得sinxx例3.計算v1;Q5的近似值解