高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案函數(shù)的微分

1、25函數(shù)的微分授課次序15教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題8.5函數(shù)的微分教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)微分的概念，函數(shù)的微分法則教學(xué)難點(diǎn)微分的四則運(yùn)算法則；一階微分形式的/、變性同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)(第6版)作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)經(jīng)美孜河自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程雙語(yǔ)教學(xué)導(dǎo)數(shù)：derivative；連續(xù)性：continuity；連續(xù)函數(shù)：continuousfunction；斜率：slope；微分：differentialcalculus；階：order；切線：tangentline；切線方程：tangentialequation；法線：normalline課堂教學(xué)目標(biāo)1. 了解微分的四則運(yùn)

2、算法則，會(huì)求函數(shù)的微分；2. 一階微分形式的不變性，3. 初步了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程1 .函數(shù)極限的te義(35min),著重介紹兩種小同的趨勢(shì)卜極限的不同步式；2 .應(yīng)用定義證明極限(20min)介紹幾種極限的證明過(guò)程，讓學(xué)生明白基本過(guò)程。3 .左右極限的定義及與函數(shù)極限的關(guān)系(10min)4 .收斂數(shù)列的性質(zhì)(唯一性、后界性)(25min)本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)微分定義1 本知識(shí)點(diǎn)的背景知識(shí)微分的概念從萌發(fā)到完整，其嚴(yán)格化經(jīng)歷了幾個(gè)世紀(jì).即使在微積分蓬勃發(fā)展的牛頓萊布尼茨歐拉時(shí)代，數(shù)學(xué)家們盡管能用微分進(jìn)行近似計(jì)算、布列并求解微分方程，但由于無(wú)窮小量的概念尚未精確化，微分的概念并不明晰；直

3、到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性發(fā)展到了新的高度，微分的概念才被確切地理解2 本知識(shí)點(diǎn)的多種講解方法講解方法一從純分析的角度來(lái)研究函數(shù)的改變量y與自變量的增量x的依賴關(guān)系，而引出微分定義.設(shè)y=f(x),a<x<b,取xO(a,b)及xo-xo+x(xwQ,則函數(shù)有改變里y=f(xo+x)f(xo),y依賴于二個(gè)要素：函數(shù)f,點(diǎn)xo及x.當(dāng)取7E函數(shù)f,固7Exo,則y依賴于x.一般依賴關(guān)系復(fù)雜、多樣.但是在局部范圍內(nèi)，當(dāng)|x|很小時(shí)，則可用一個(gè)線性化來(lái)近似.即y=Ax+o(x).正工：設(shè)函數(shù)尸f(x),a<x<b,固/E點(diǎn)x0(a,b).若：y=f(xo+x)f(xo)=A_

4、x+o(x)(*)成立(其中，A與x無(wú)關(guān)).則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo可微，稱Ax為函數(shù)在點(diǎn)xo的微分，即為dy=Ax;若(*)不成立，則稱y=f(x)在點(diǎn)xo不可微.規(guī)定：自變量的微分，就是它的增量，即：dx=xdy=Adx.講解方法二由于導(dǎo)數(shù)與微分都是研究函數(shù)增量y與自變量增量x之間的運(yùn)算關(guān)系，在已有導(dǎo)數(shù)概念的前提下，利用導(dǎo)數(shù)作為變化量之比極限的數(shù)量表現(xiàn)，而進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的運(yùn)算引出微分定義由函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f(x0)limy,得到x0x,f(xo)(x)x其中l(wèi)im(x)0,于是y=f"(xo)x+xa(x),記o(x)=xa(x),則xoyf(xo)xo(x).

5、當(dāng)f(x)在xo處可導(dǎo)時(shí)，y是f'(xo)x與o(x)之和，記dyf(xo)x,則ydy與x相比為高階無(wú)窮小(x-o),這里把dyf(xo)x叫做微分.定義:設(shè)y=f(x)在區(qū)間I有定義，xoI,若存在關(guān)于x的線性函數(shù)Ax(A是與x無(wú)關(guān)的常數(shù))，使yf(xox)f(xo)Axo(x),則稱f在xo處可微，稱Ax為f在xo處的微分，記作dy|x3或df(%)Ax.若f在區(qū)間I的每一點(diǎn)可微，則稱f在I上可微.講解方法三切線存在.切線在切點(diǎn)P(x,y)附近與曲線密合，并且在相當(dāng)靠近切點(diǎn)的地方，密合得難以區(qū)分.這在分析上意味著在點(diǎn)x的小鄰域內(nèi)，函數(shù)值y=f(x)可用切線上相應(yīng)點(diǎn)白縱坐標(biāo)值來(lái)近似

6、.而在x充分小的鄰域內(nèi)，近似誤差R與x相比是微不足道的.事實(shí)上，Ryf'(x)x,由于f'(x)存在，就有R0(x0),yf(x)xo(x)(x0).x這樣，函數(shù)的改變量y就被分解成了兩部分之和，其中第一項(xiàng)線性地依賴于x,而它與y相差是關(guān)于x的高階無(wú)窮小量，即當(dāng)x很小時(shí)，舍棄這個(gè)微不足道的誤差，剩下的部分f'(x)x就是可以作為y的近似值.這一項(xiàng)被稱為y的線性主要部分.定義:自變量x的變化量x與x是無(wú)關(guān)的，稱為自變量的微分，記為dx;而因變量相應(yīng)的變化量y的線性主要部分f(x)xf(x)dy則稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處相應(yīng)于自變量的變化量x的微分，用df(x)或dy表

7、示，即：dydf(x)f(x)dx.講解方法四引進(jìn)實(shí)際問題，由研究函數(shù)的改變量y=f(x0+x)f(x0)與自變量改變量x之間的關(guān)系，計(jì)算函數(shù)改變量的大小，引發(fā)出微分的根本思想是在局部范圍內(nèi)用線性函數(shù)來(lái)近似函數(shù)的本質(zhì).例如：計(jì)算正方形面積增量S=2xx+(x)2計(jì)算圓面積增量S=2rr+(r)2計(jì)算球體積增量V4<2r471r(r)2-u(r)33計(jì)算自由落體路程增量Sgttg(t)2以上實(shí)際問題的增量計(jì)算都可以被分解成兩部分之和，第一部分是函數(shù)關(guān)于自變量增量的線性函數(shù)，第二部分是關(guān)于自變量增量的高階無(wú)窮小，當(dāng)自變量的增量很微小時(shí)，函數(shù)的增量可近似地用第一部分代替定義：設(shè)y=f(x)在某

8、區(qū)向內(nèi)有定義，小及x0+x在這區(qū)間內(nèi).如果函數(shù)的增量y=f(x0+x)f(x)可表不為y=Ax+o(x)其中A是不依賴于x的常數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo是可微白而Ax叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo相應(yīng)于自變量x的微分，記作dy,即dy=Ax.3與其它知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)1)導(dǎo)數(shù)與微分，都是討論y與x的關(guān)系，它們的內(nèi)在聯(lián)系，表現(xiàn)在下面的定理定理：(可微即可導(dǎo))函數(shù)y=f(x)在xo可微它在xo可導(dǎo);且有dyf(x0)dx2)由于dyf'(x0)dx,所以微分有與導(dǎo)數(shù)計(jì)算安全一致的微分運(yùn)算法則.由復(fù)合函數(shù)的微分法，一階微分又具形式不變性.3)由微分的幾何意義而衍生的微分三角形ds微分三角形包含

9、了微分學(xué)的全部要素:dsdx,dy,4)高階微分可以歸納地定義.設(shè)ydytandx其中斜邊J(dx)2(dy)2稱為弧微分.d(dy)f"(x)dx2,一般(n1)(n)(n1)n1dyd(dy)f(x)dx注意高階微分不再具有形式不變性§2.5函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響少？其邊長(zhǎng)由xo變到xox問此薄片的面積改變了多設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為x面積為A則A是x的函數(shù)Ax2金屬薄片的面積改變量為A(xox)2(xo)22xox(x)2幾何意義2xo數(shù)學(xué)意義當(dāng)是A的主要部分定義設(shè)函數(shù)yf(xo可表不為x表示兩個(gè)長(zhǎng)為xo寬為

10、xo時(shí)(x)2是比x可以近似地代替Ayf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義x)f(xo)x的長(zhǎng)方形面積(x)2表示邊長(zhǎng)為x的正方形的面積高階的無(wú)窮小即(x)2o(x)2xox是x的線性函數(shù)xo及xox在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量yAxo(x)其中A是不依賴于相應(yīng)于自變量增量函數(shù)可微的條件的常數(shù)那么稱函數(shù)的微分記作dy即yf(x)在點(diǎn)xo是可微的dyAx而Ax叫做函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xo函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)且當(dāng)函數(shù)f(x)備注欄在點(diǎn)X0可微時(shí)其微分一一定是dyf(xo)x證明設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微則按定義有yAxo(x)上式兩邊除以x得上Ao(x)xx于是當(dāng)x0時(shí)由

11、上式就得到Alimyf(x0)x0x因此如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微則f(x)在點(diǎn)xo也一定可導(dǎo)且Af(xo)反之如果f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)即lim_yf(xo)xox存在根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系上式可寫成_yf(xo)x其中o(當(dāng)xo)且Af(xo)是常數(shù)xo(x)由此又有yf(xo)xx因且f(xo)不依賴于x故上式相當(dāng)于yAxo(x)所以f(x)在點(diǎn)xo也是可導(dǎo)的簡(jiǎn)要證明一方面yAxo(x)yAo(x)limyf(xo)Axxxox別一方面lim-yf(xo)yf(xo)yf(xo)xxxoxx以微分dy近似代替函數(shù)增量y的合理性當(dāng)f(xo)o時(shí)有l(wèi)im-ylimy1limy1xodyxof

12、(xo)xf(xo)xodxydyo(dy)結(jié)論在f(xo)o的條件下以微分dyf(xo)x近似代替增量yf(xox)f(xo)時(shí)其誤差為o(dy)因此在|xR艮小時(shí)有近似等式y(tǒng)dy函數(shù)yf(x)在任意點(diǎn)x的微分稱為函數(shù)的微分記作dy或df(x)即dyf(x)x例如dcosx(cosx)xsinxxdex(ex)xexx例1求函數(shù)yx2在x1和x3處的微分解函數(shù)yx2在x1處的微分為dy(x2)|x1x2x函數(shù)yx2在x3處的微分為dy(x2)|x3x6x例2.求函數(shù)yx3當(dāng)x2xo.。2時(shí)的微分解先求函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分dy(x3)x3x2x再求函數(shù)當(dāng)x2xo.。2時(shí)的微分dy|x2xo.o

13、23x2|x2,xo.o2322o.o2o.24自變量的微分因?yàn)楫?dāng)yx時(shí)dydx(x)xx所以通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分記作dx即dxx于是函數(shù)yf(x)的微分又可記作dyf(x)dx從而有dyf(x)dx這就是說(shuō)函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”二、微分的幾何意義當(dāng)y是曲線yf(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)dy就是曲線的切線上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)|x|很小時(shí)|ydy|比|x|小得多因此在點(diǎn)M的鄰近我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dyf(x)dx可以看出要計(jì)算函數(shù)的微分只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)

14、數(shù)再乘以自變量的微分因此可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則1基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公工大微分公式(x)ixd(x)x1dx(sinx)cosxd(sinx)cosxdx(cosx)sinxd(cosx)sinxdx(tanx)sec2xd(tanx)sec2xdx(cotx)csc2xd(cotx)csc2xdx(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdx(cscx)cscxcotxd(cscx)cscxcotxdx(ax)axlnad(ax)aixlnadx(ex)exd(ex)exdx(logax)1xlna，,、1.d(l0gax)xlnadx(lnx)1x1d(l

15、nx)-dxx(arcsinx)1力x2d(arcsinx)一yj.1dx1x2(arccosx)1d(arccosx),1dx/x2前x2(arctanx)11x2d(arctanx)彳dxx2(arccotx)11x2d(arccotx)12dx1x22函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則微分法則(uv)uvd(uv)dudv(Cu)Cud(Cu)Cdu(uv)uvuvd(uv)vduudv(u)uv2uv(v0)vv2d(u)vduudvdx(v0)vv2證明乘積的微分法則根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式有d(uv)(uv)dx再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則有(uv)uvuv于是d(uv)(uvuv)dxuv

16、dxuvdx由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv3復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)yf(u)及u(x)都可導(dǎo)則復(fù)合函數(shù)yf(x)的微分為dyyxdxf(u)(x)dx于由(x)dxdu所以復(fù)合函數(shù)yf(x)的微分公式也可以寫成dyf(u)du或dyyudu微分形式dy f (u)du保持不變 這一性質(zhì)微分形式dy f (u)du并不改變由此可見無(wú)論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù)稱為微分形式不變性這性質(zhì)表示當(dāng)變換自變量時(shí)例3.ysin(2x1)求dy解把2x1看成中間變量u則dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求復(fù)合函數(shù)的

17、導(dǎo)數(shù)時(shí)可以不寫出中間變量例4yln(1ex2)求dy解dydln(1ex2)1；2d(1ex2)一1一ex2d(x2)一1一ex22xdx1ex21ex2例5.ye13xcosx求dy解應(yīng)用積的微分法則得dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e1(cosx)e13x(3dx)e13x(sinxdx)e13x(3cosxsinx)dx例6.在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立(1) d()xdx(2) d()costdt解(1)因?yàn)閐(x2)2xdx所以1c11cxdx科(x2)d(-x2)即d(；x2)xdx一般地有dx2C)xdx(C為任意常數(shù))(2)因?yàn)閐(sint)costdt所以

18、11.、costdt1d(sint)d(1sint)1.因此d(1sintC)costdt(C為任意常數(shù))四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.函數(shù)的近似計(jì)算在工程問題中經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算那是很費(fèi)力的利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公式改用簡(jiǎn)單的近似公式來(lái)代替如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x)0且x|很小時(shí)我們有ydyf(xo)xyf(xox)f(xo)dyf(xo)xf(xox)f(xo)f(xo)x若令xxox即xxxo那么又有f(x)f(xo)f(xo)(xxo)特別當(dāng)xoo時(shí)有f(x)f(o)f(o)x這些都是近似計(jì)算公式例1.有一批半徑為1cm的球

19、為了提高球面的光潔度要鍍上一層銅厚度定為o01cm估計(jì)一了每只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm3)?解已知球體體積為V4R3Ro1cmRo.01cm3鍍層的體積為VV(RoR)V(Ro)V(Ro)R4Ro2R43.1412o.。1o.13(cm3)于是鍍每只球需用的銅約為o.138.91.16(g)例2.利用微分計(jì)算sin3030的近似值解已知30 30 6 360x 3601. 322 3600.5076,11 11f (0) 1(1 x)n - nx o n代入 f(x) f(0) f (0) x 便得sin3030sin(xox)sinxoxcosxosin八cos八66360即sin30300.5076常用的近似公式(假定岡是較小的數(shù)值)1 1)%1x1xn(2)sinxx(x用弧度作單位來(lái)表達(dá))(3)tanxx(x用弧度作單位來(lái)表達(dá))(4)ex1xln(1x)x證明取f(x)n1"x那么f(0)1證明(2)取f(x)sinx那么f(0)0f(0)cosxxo1代入f(x)f(0)f(0)x便得sinxx例3.計(jì)算v1;Q5的近似值解