第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所2-4

1、第二章 第四節(jié)1第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4 相關(guān)變化率相關(guān)變化率教學(xué)重點教學(xué)重點 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)考研要求本節(jié)考研要求 會求隱函數(shù)和用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)會求隱函數(shù)和用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章 第四節(jié)2一一. . 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在方程在方程F(x,y)=0中中,如果當如果當x在某區(qū)間在某區(qū)間I

2、上取任意一值上取任意一值時時,相應(yīng)地相應(yīng)地 總有唯一一個滿足該方程的總有唯一一個滿足該方程的y值存在值存在,這種由這種由方程所確定的函數(shù)稱為方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù),它的定義域為它的定義域為I,有時有時也記作也記作y=f(x).不過這里的不過這里的f的具體表的具體表 示示 式不一定能求式不一定能求得出來得出來. 例如例如, 方程方程x+3y-4=0, xy+ex - ey0都確定了都確定了y是是x的隱函數(shù)的隱函數(shù),對于前一個方程對于前一個方程,可以解出可以解出,我們稱為我們稱為隱函隱函數(shù)的顯化數(shù)的顯化.后面一個方程就解不出后面一個方程就解不出 y=f(x). 簡單地說有下簡單地說有下面

3、這樣的關(guān)系：面這樣的關(guān)系： 第二章 第四節(jié)3. )( 0) ,F( 隱隱函函數(shù)數(shù)稱稱為為所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyx .)(顯顯函函數(shù)數(shù)形形式式的的函函數(shù)數(shù)稱稱為為xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的隱函數(shù)的顯化顯化問題問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時如何求導(dǎo)：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 視視 y=y(x) , 應(yīng)應(yīng)用用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法直接直接對對方程方程 F(x, y)=0 兩邊求導(dǎo)，然后解出兩邊求導(dǎo)，然后解出 y 即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第二章 第四節(jié)4例例1 1.,00 xyxdxdydxdy

4、yeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),要記住要記住y是是x的函數(shù)的函數(shù),則則y的函數(shù)是的函數(shù)是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù), 1 ,ln ,yyy exx例如等都是 的復(fù)合函數(shù)，對 求導(dǎo)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法做。第二章 第四節(jié)51) xy兩端同時對 求導(dǎo)，注意把 當作復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量來看待；222ln,yarctgxyyx例題 設(shè)求2y） 從求導(dǎo)后的方程中解

5、出 來；隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié)：3, yxy）隱函數(shù)求導(dǎo)允許結(jié)果中含有但求一點的導(dǎo)數(shù)時不但要把 的值代進去，還要將對應(yīng)的值代進去。第二章 第四節(jié)6例例3 3 求由方程求由方程 x-y+1/2siny=0 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)y的二的二 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) y”解解: 方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),得到得到y(tǒng)yyyycos220cos211上述方程再對上述方程再對x求導(dǎo)求導(dǎo),得到得到0cos21)(sin212 yyyyy322)2(cossin42cos)cos22(sin2cos)(sin yyyyyyyyy 隱函數(shù)的二階求導(dǎo)就是在隱函數(shù)的一階求導(dǎo)的基礎(chǔ)隱函數(shù)的二階求導(dǎo)就是

6、在隱函數(shù)的一階求導(dǎo)的基礎(chǔ)上上, 在等式兩邊再對在等式兩邊再對x求導(dǎo)一次，求導(dǎo)一次，第二章 第四節(jié)7例例4 4.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy第二章 第四節(jié)8二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。對數(shù)求導(dǎo)法：對數(shù)求導(dǎo)法： 先先對對 y=

7、f(x)（0）兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)(或加絕對值后或加絕對值后兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :, )( )1()( xvxu函函數(shù)數(shù)冪冪指指型型方方、開開方方運運算算的的函函數(shù)數(shù)。含含有有較較多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(觀察函數(shù)：觀察函數(shù)：.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 第二章 第四節(jié)9例例1 1解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(311

8、1 xxxyy取對數(shù)是一種取對數(shù)是一種重要的映射，重要的映射，它能把運算級它能把運算級別降低，這是別降低，這是其本質(zhì)。其本質(zhì)。32(1)1,1(4)xxxyxyxe設(shè)求第二章 第四節(jié)10例例2 2解解. , )0( sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)等式兩邊取對數(shù), 得得, lnsinlnxxy 得得求求導(dǎo)導(dǎo)上上式式兩兩邊邊對對 , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? sin）（求求出出能能否否用用問問： xx顯顯式式求求導(dǎo)導(dǎo)法法第二章 第四節(jié)11例例3 3 求冪指數(shù)函數(shù)求冪指數(shù)函數(shù) y = uv(

9、u0) 的導(dǎo)數(shù)，其中的導(dǎo)數(shù)，其中u, v是是x的函的函 數(shù)數(shù),且都在點且都在點x處可導(dǎo)處可導(dǎo).分析分析: （方法一（方法一 ）先取對數(shù)）先取對數(shù)uuvuvyyuvyuvyln1)ln(lnlnln)ln()ln()ln(1uvuvuuuuvuvuuuvuvyyvv（方法二）（方法二） 轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的形式 lnv xv xu xyu xyey用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章 第四節(jié)12例例4)0)(, 0)( )()(xxyxyx求)()(lnlnxxy解解:)()()(ln)()()(2xxxxxxyy)()(1)(ln)()()()( 2xxxxxxx)()(1)(ln)()

10、()()( )( 2)(xxxxxxxxyx第二章 第四節(jié)13 22 1,f yyyy xxeed yffdx例題 設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且求考研題 112323 ,ya x b xcxy例題 設(shè)函數(shù)求第二章 第四節(jié)14三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t第二章

11、第四節(jié)15( ) I ,( )txt tyt對1 ( ) I ( ) ( ) I( );txxttxttx若在上單調(diào)、可導(dǎo)且恒不為零在對應(yīng)的上有可導(dǎo)的反函數(shù)1 ( )( ) ( ) I , xytyxy x在上可導(dǎo)且 ( ) I ,tyt又若在上可導(dǎo)dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ( ),( )tt第二章 第四節(jié)16( ) ( ) :( )ytyy xxt確定的求導(dǎo)法( )( )dydytdtdxdxtdt 參數(shù)式的二階求導(dǎo)參數(shù)式的二階求導(dǎo) 在參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上在參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上,我們來討論參數(shù)式我們來討論參數(shù)式的二階導(dǎo)數(shù)的求法。的二階導(dǎo)數(shù)的求法。第二章

12、 第四節(jié)17)()(ttdxdy則它們的二階導(dǎo)數(shù)則它們的二階導(dǎo)數(shù)dxdtttdtdttdxddxyd)()()()(22)(1)()()()()( 2tttttt 3)()()()()( ttttt 設(shè)函數(shù)的參數(shù)式為設(shè)函數(shù)的參數(shù)式為x=(t), y=(t),則則第二章 第四節(jié)18sin1 ,costtxetdydxyet例題設(shè)求22ln12 ,ln1xtttdydxyttt例題設(shè)求cossin3sincos4xatttyatttt例題 求圓的漸近線在的切線方程。 24 20txarctgtdyyy xytyedx例題設(shè)由確定，求第二章 第四節(jié)19例例5 求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)taxtaxcos,s

13、in 解 在求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)時,不要同函數(shù)的求導(dǎo)混淆起來.要求采用 形式dxdtdxdydtddxyd)(22.sin,cos taytay 322)sin()cos(cos)sin(sin tatatatatadxydta3sin1 cossinxatyat應(yīng)用上面的公式應(yīng)用上面的公式第二章 第四節(jié)20例例6 6解解. )( sincos 33的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的表示的求求xyytaytax )()(txtydxdy )sin(cos3cossin322ttatta , tant )(22dxdydxddxyd ttatsincos3sec22 . sin3sec4tat )()tan

14、(txt dxtd)tan( ? 33 dxyd問：問：第二章 第四節(jié)21四.相關(guān)變化率 設(shè)設(shè) x= x(t)及及 y = y(t) 都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量都是可導(dǎo)函數(shù)，而變量x與與y之間存在某種關(guān)系，從而變化率之間存在某種關(guān)系，從而變化率 dx/dt 與與 dy/dt 之之間也存在一定關(guān)間也存在一定關(guān) 系。系。 兩個相互依賴的變化率稱為相兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率關(guān)變化率.相關(guān)變化率問題是研究這兩個變化率之間相關(guān)變化率問題是研究這兩個變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個變化率求出另一個變化率的關(guān)系，以便從其中一個變化率求出另一個變化率.通通 過舉例說明過舉例說明第二章 第四節(jié)22例例101

15、0解解?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以則則水庫內(nèi)水量為水庫內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時刻設(shè)時刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdV 38000,/288003小時小時米米 dtdV小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時米時當當 h第二章 第四節(jié)23五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :視視 y=y(x)， 利用利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則則直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對函數(shù)兩邊取對數(shù)對函數(shù)兩邊取對數(shù), 然后按隱函數(shù)的求然后按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法: y對