電磁場(chǎng)與電磁波課件之靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題

1、3.43.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 1. 1. 靜態(tài)場(chǎng)的問(wèn)題：靜態(tài)場(chǎng)的問(wèn)題：分布型問(wèn)題：由已知場(chǎng)源（電荷、電流）分布，直接從場(chǎng)的積分分布型問(wèn)題：由已知場(chǎng)源（電荷、電流）分布，直接從場(chǎng)的積分 公式求空間各點(diǎn)的場(chǎng)分布。公式求空間各點(diǎn)的場(chǎng)分布。邊值型問(wèn)題：由已知場(chǎng)量在場(chǎng)域邊界上的值，求場(chǎng)域內(nèi)的場(chǎng)分布。邊值型問(wèn)題：由已知場(chǎng)量在場(chǎng)域邊界上的值，求場(chǎng)域內(nèi)的場(chǎng)分布。解法解法解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法（鏡像法、分離變量法）（鏡像法、分離變量法）（有限差分法）（有限差分法） 數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間空間和和時(shí)間時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定

2、的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值初始值與與邊界值邊界值，即，即初始條件初始條件和和邊界條件邊界條件，兩者又統(tǒng)稱(chēng)為該方程的，兩者又統(tǒng)稱(chēng)為該方程的定解條件定解條件。 靜態(tài)場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此位函數(shù)所滿(mǎn)足的泊松方程及拉普拉斯方程靜態(tài)場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此位函數(shù)所滿(mǎn)足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的位函數(shù)就的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的位函數(shù)就是靜態(tài)場(chǎng)的是靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題。( (有限場(chǎng)源的無(wú)限遠(yuǎn)處有限場(chǎng)源的無(wú)限遠(yuǎn)處 ) )2. 2. 靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的類(lèi)型

3、：靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的類(lèi)型： 第二類(lèi)邊界條件是已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界面第二類(lèi)邊界條件是已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界面S S上各點(diǎn)的法向?qū)细鼽c(diǎn)的法向?qū)?shù)值，即給定數(shù)值，即給定 第三類(lèi)邊界條件是已知一部分邊界面第三類(lèi)邊界條件是已知一部分邊界面S S1 1上位函數(shù)的值，而在另上位函數(shù)的值，而在另一部分邊界面一部分邊界面S S2 2上已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定上已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定 第一類(lèi)邊界條件是已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界面第一類(lèi)邊界條件是已知位函數(shù)在場(chǎng)域邊界面S S上各點(diǎn)的值，即上各點(diǎn)的值，即給定給定)(1SfS)(2SfnS)(111SfS)(222SfnS這種邊值問(wèn)題又稱(chēng)為這種邊值問(wèn)題又稱(chēng)為狄里赫

4、利狄里赫利問(wèn)題。問(wèn)題。這種邊值問(wèn)題稱(chēng)為這種邊值問(wèn)題稱(chēng)為紐曼紐曼問(wèn)題。問(wèn)題。這種邊界條件稱(chēng)為這種邊界條件稱(chēng)為混合混合問(wèn)題。問(wèn)題。自然邊界條件自然邊界條件有限值rrlim0對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在存在、穩(wěn)定穩(wěn)定及及惟一性惟一性問(wèn)題。問(wèn)題。 泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢圆此煞匠碳袄绽狗匠探獾姆€(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明靜態(tài)場(chǎng)的位函數(shù)微分方程的解也是惟一的。證明靜態(tài)場(chǎng)的位函數(shù)微分方程的解也是惟一的。 由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，

5、解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。 解的解的惟一性惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。 解的解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。發(fā)生很大的變化。解的解的存在存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜態(tài)場(chǎng)是客觀(guān)存在的，因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無(wú)疑。靜態(tài)場(chǎng)是客觀(guān)存在的，因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無(wú)疑。 若已知導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為若已知導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位

6、導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為 ，可見(jiàn)，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，給定導(dǎo)體可見(jiàn)，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，給定導(dǎo)體上的電荷，就是第二類(lèi)邊界問(wèn)題。上的電荷，就是第二類(lèi)邊界問(wèn)題。 靜電場(chǎng)的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。此時(shí)，若給定導(dǎo)體上的電位靜電場(chǎng)的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。此時(shí)，若給定導(dǎo)體上的電位值，即為第一類(lèi)邊界問(wèn)題。值，即為第一類(lèi)邊界問(wèn)題。Sn 因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界的靜電場(chǎng)問(wèn)題，當(dāng)邊界上的因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界的靜電場(chǎng)問(wèn)題，當(dāng)邊界上的電位電位，或電位，或電位的的法向?qū)?shù)法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w給定時(shí)，或?qū)w表面電荷表面電荷給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定一地

7、確定。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為靜電場(chǎng)惟一性定理靜電場(chǎng)惟一性定理。例如例如已知場(chǎng)域邊界已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值上各點(diǎn)電位值自然邊界條件自然邊界條件參考點(diǎn)電位參考點(diǎn)電位邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題微分方程微分方程邊界條件邊界條件場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件分界面銜接條件分界面銜接條件第一類(lèi)第一類(lèi)邊界條件邊界條件第二類(lèi)第二類(lèi)邊界條件邊界條件第三類(lèi)第三類(lèi)邊界條件邊界條件已知場(chǎng)域邊界已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)法向?qū)?shù)一、二類(lèi)邊界條件的線(xiàn)性組合，一、二類(lèi)邊界條件的線(xiàn)性組合，即即022nn221121)(1sfS)(2sfnS有限值rrlim)(111SfS)(222SfnS靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題框圖靜電場(chǎng)的

8、邊值問(wèn)題框圖 例例 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。參考點(diǎn)電位參考點(diǎn)電位邊界條件邊界條件012212)(1drdrdrdr)0(ar 0)(122222drdrdrdr)( ra2102116)(CrCrrarar21ararrr2010有限值01 r02r432)( CrCr解：采用球坐標(biāo)系，分區(qū)域建立方程解：采用球坐標(biāo)系，分區(qū)域建立方程積分之，得通解積分之，得通解 對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)

9、二階常系對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由到電位的解；再由 得到電場(chǎng)強(qiáng)度得到電場(chǎng)強(qiáng)度 的分布。的分布。0041CC0320233,2aCaCarrar0)3(6)(2201arrrrr03)(0111eerErararrreerE2022223)(Erarar0323)(解得解得電位：電位：電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：E3. 3. 惟一性定理惟一性定理( (Uniqueness Theorem) )222

10、)()()(uuuuuudVddVsVV200000)()(S0221202 在場(chǎng)域在場(chǎng)域V V中的邊界面中的邊界面S S上給定上給定 或或 的值，則泊松方程或拉普拉的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域斯方程在場(chǎng)域V V內(nèi)具有惟一解。內(nèi)具有惟一解。證明：（反證法）證明：（反證法） n 設(shè)在邊界面設(shè)在邊界面S S包圍的場(chǎng)域包圍的場(chǎng)域V V內(nèi)有兩個(gè)位函數(shù)內(nèi)有兩個(gè)位函數(shù) 和和 都滿(mǎn)足泊松都滿(mǎn)足泊松方程，即方程，即121222 令令210利用矢量恒等式利用矢量恒等式對(duì)整個(gè)場(chǎng)域?qū)φ麄€(gè)場(chǎng)域V V積分，并利用散度定理有積分，并利用散度定理有0210SSS0210SSSnnn對(duì)于第一類(lèi)邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面對(duì)

11、于第一類(lèi)邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面S S上上對(duì)于第二類(lèi)邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面對(duì)于第二類(lèi)邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面S S上上對(duì)于第三類(lèi)邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面對(duì)于第三類(lèi)邊值問(wèn)題，在整個(gè)邊界面S S1 1和和S S2 2上上0111210SSS0222210SSSnnn無(wú)論哪一類(lèi)邊值問(wèn)題，都將得到無(wú)論哪一類(lèi)邊值問(wèn)題，都將得到sVdSndV0)(0020 由此，在場(chǎng)域由此，在場(chǎng)域V V中各點(diǎn)，中各點(diǎn)， ，即，即 ，也就是說(shuō)有兩個(gè)不同的解，也就是說(shuō)有兩個(gè)不同的解都滿(mǎn)足微分方程和邊界條件的假設(shè)是不成立的，故得證。都滿(mǎn)足微分方程和邊界條件的假設(shè)是不成立的，故得證。對(duì)于第二類(lèi)邊值問(wèn)題，若對(duì)于第二類(lèi)邊值問(wèn)題，若 與與

12、取同一參考點(diǎn)，則在參考點(diǎn)處取同一參考點(diǎn)，則在參考點(diǎn)處要使上式成立，必須在場(chǎng)域要使上式成立，必須在場(chǎng)域V V內(nèi)處處有內(nèi)處處有00C210表明，在整個(gè)場(chǎng)域表明，在整個(gè)場(chǎng)域V V內(nèi)內(nèi) 恒為常數(shù)，即恒為常數(shù)，即000S對(duì)于第一類(lèi)邊值問(wèn)題，由于在邊界面對(duì)于第一類(lèi)邊值問(wèn)題，由于在邊界面S S上上有有0C，在整個(gè)場(chǎng)域，在整個(gè)場(chǎng)域V V內(nèi)，內(nèi)，0210，即，即21有有，在整個(gè)場(chǎng)域，在整個(gè)場(chǎng)域V V內(nèi)也有內(nèi)也有021210C對(duì)于第三類(lèi)邊值問(wèn)題，由于對(duì)于第三類(lèi)邊值問(wèn)題，由于所以所以，在整個(gè)場(chǎng)域，在整個(gè)場(chǎng)域V V內(nèi)也有內(nèi)也有210C120111210SSS21004. 4. 類(lèi)比法類(lèi)比法 在邊值問(wèn)題的分析計(jì)算中，根

13、據(jù)位場(chǎng)解答的惟一性定理，廣在邊值問(wèn)題的分析計(jì)算中，根據(jù)位場(chǎng)解答的惟一性定理，廣泛采用類(lèi)比法。例如，泛采用類(lèi)比法。例如，靜電比擬法靜電比擬法。 現(xiàn)進(jìn)一步概括如下：各種物理場(chǎng)，不論它們所對(duì)應(yīng)物理量的現(xiàn)進(jìn)一步概括如下：各種物理場(chǎng)，不論它們所對(duì)應(yīng)物理量的意義是否相同，只要它們具有相同的數(shù)學(xué)描述，也就是說(shuō)，具有意義是否相同，只要它們具有相同的數(shù)學(xué)描述，也就是說(shuō)，具有相似的微分方程和相似的邊界條件，則它們的解答在形式上必完相似的微分方程和相似的邊界條件，則它們的解答在形式上必完全相似。全相似。 因而，在理論計(jì)算時(shí)，可以把某一位場(chǎng)的分析計(jì)算結(jié)果，推因而，在理論計(jì)算時(shí)，可以把某一位場(chǎng)的分析計(jì)算結(jié)果，推廣到一切

14、相似的位場(chǎng)中去。廣到一切相似的位場(chǎng)中去。 一般多從靜電場(chǎng)的角度提出問(wèn)題，進(jìn)行分析。再根據(jù)類(lèi)比關(guān)一般多從靜電場(chǎng)的角度提出問(wèn)題，進(jìn)行分析。再根據(jù)類(lèi)比關(guān)系，將有關(guān)結(jié)論推廣應(yīng)用于導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)以系，將有關(guān)結(jié)論推廣應(yīng)用于導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)以及似穩(wěn)電磁場(chǎng)中的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。及似穩(wěn)電磁場(chǎng)中的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。ED電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度JBHmE電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度電位移矢量電位移矢量電流密度矢量電流密度矢量介電常數(shù)介電常數(shù)電導(dǎo)率電導(dǎo)率電位電位電位電位磁場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度磁導(dǎo)率磁導(dǎo)率標(biāo)量磁位標(biāo)量磁位磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)（沒(méi)有空間電荷分布的區(qū)域）（沒(méi)有空間電荷分布的區(qū)域）導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)（電源以外的區(qū)域）（電源以外的區(qū)域）恒定磁場(chǎng)恒定磁場(chǎng)（沒(méi)有電流密度存在的區(qū)域）（沒(méi)有電流密度存在的區(qū)域） 由拉普拉斯方程描述的場(chǎng)由拉普拉斯方程描述的場(chǎng)0 SdSD0E0 DED02介質(zhì)均勻介質(zhì)均勻0 SdSJ0E0 JEJ02媒質(zhì)均勻媒質(zhì)均勻SSB0d0 B0HHB02m媒質(zhì)均勻媒質(zhì)均勻 由泊松方程描述的場(chǎng)，只在二維場(chǎng)情況下靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)之間由泊松方程描述的場(chǎng)，只在二維場(chǎng)情況下靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)之間才能