正交向量組及正交矩陣

1、15.3.2 正交向量組及正交矩陣正交向量組及正交矩陣 Rn 中一個(gè)向量組中不含零向量，若其中任意兩個(gè)中一個(gè)向量組中不含零向量，若其中任意兩個(gè)向量都正交，則稱該向量組為向量都正交，則稱該向量組為正交向量組。正交向量組。 若正交向量組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱該若正交向量組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱該向量組為向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。例如例如 設(shè)向量組設(shè)向量組12( , , ) ,( , ) ,( , ,) TTT31 1 111 01 12為一個(gè)正交向量組。把它的每個(gè)向量單位化，就得到為一個(gè)正交向量組。把它的每個(gè)向量單位化，就得到標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組：標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組：12(,)

2、 ,(, ) ,(,) TTT3111111120333226662證：證：innii ex ex ex eex1122(1), 為為Rn 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基正交基,定理定理5.2 設(shè)設(shè) neee12, ,為為V 中任意向量，設(shè)中任意向量，設(shè)nnx yx yx y1122(2), nxxx22212(3) nnxyxyxy2221122(4)()()() iiiixeye(1), 則則nnx ex ex e1 122, nny ey ey e1122, 3nnxxx2212(3), nnnnx ex ex ey ey ey e1 1221 122, nnnnx ey ex ey ex

3、ey e1 11 12222 ，nnx yx yx y1122 ,)2(性質(zhì)：性質(zhì)：正交系必是線性無(wú)關(guān)的向量組。正交系必是線性無(wú)關(guān)的向量組。證：證：設(shè)設(shè) n21, 為正交系，則為正交系，則 ji , 0ji, ,2iji4令令nkkk12,，使使nnkkk11220 n21, 故故線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。iiii k , k0 , in,01,2, innikkk1122,00 用用i 與兩邊作內(nèi)積，則與兩邊作內(nèi)積，則 定義定義 （正交矩陣）（正交矩陣）如果實(shí)方陣如果實(shí)方陣A 滿足滿足AAT = ATA = I，或或A-1 = AT, 則稱則稱A為為正交矩陣。正交矩陣。如如cossin,sinco

4、s 1000101/21/21001/21/2都是正交矩陣。都是正交矩陣。5 定理定理5.3 方陣方陣A 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 A的列的列 (行行) 向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。 證證 必要性必要性 設(shè)設(shè)A為為n階正交矩陣，階正交矩陣，A的按列分塊為的按列分塊為 12nA則有則有 12nTTT12nTAAI即即 TTT11121nTTT21222nTTTn1n2nn1000100016比較兩邊的對(duì)應(yīng)的元素，得比較兩邊的對(duì)應(yīng)的元素，得, Tijij1 ij0 ij這表明這表明A的列向量組的列向量組 是標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。是標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。, 12n

5、充分性充分性 將以上證明過(guò)程倒過(guò)來(lái)即可。將以上證明過(guò)程倒過(guò)來(lái)即可。 定義定義 設(shè)設(shè)A為為n階正交矩陣，則稱階正交矩陣，則稱Rn 到到 Rn 的線性變換的線性變換nyAx xR, 為為Rn為上的一個(gè)為上的一個(gè)線性變換線性變換。定理定理5.4 Rn上的線性變換上的線性變換 y = Ax 有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：保持內(nèi)積不變，即保持內(nèi)積不變，即保持長(zhǎng)度不變，即保持長(zhǎng)度不變，即保持夾角不變，即保持夾角不變，即212n122Ax Ax = x ,x, Axx x xRAx Axx x111211,cos(,)cos(,) 75.3.3 Gram-Schmidt正交化方法正交化方法證證 (1) TTTT2

6、212112Ax Ax = AxAxxA A x =x x = x ,x 121,() ()() (2) 在（在（1）中取）中取 x1=x2 即可。即可。22AxAxxxAxAxxxAxAxxx1212111212,cos(,)cos(,) (3) 線性無(wú)關(guān)向量組未必是正交向量組，而正交向量組線性無(wú)關(guān)向量組未必是正交向量組，而正交向量組又是十分重要，所以，現(xiàn)在的問(wèn)題是能否從一組線性又是十分重要，所以，現(xiàn)在的問(wèn)題是能否從一組線性無(wú)關(guān)的向量組無(wú)關(guān)的向量組 出發(fā)，來(lái)構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，來(lái)構(gòu)造出一組標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組的正交向量組 ？ 12naaa,12neee,而且還要求而且還要求 和和 是等價(jià)的？是等

7、價(jià)的？ 12ne ee,12na aa, 定理定理5.5 設(shè)設(shè) 為線性無(wú)關(guān)的向量組，則必能為線性無(wú)關(guān)的向量組，則必能構(gòu)造出一組與其等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組構(gòu)造出一組與其等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組 。 12na aa,12ne ee,8。則則 , 1111222 , ,k 1112 令令*證：證：12211 k , 令令11212 ,k, 使使, ,k,01112 331122 令令 kk ,22211323 ,kk,12211313 ,kk, 使使, ,k11131 , ,k,011113 , ,k22232 , ,k,022223 , , 222231111333 即即O1 2 2 1 k9這樣就

8、可使這樣就可使 ji,ji,iji02即即 n, 21是一個(gè)正交基。是一個(gè)正交基。GramSchmidt 這這種種構(gòu)構(gòu)造造正正交交基基正正交交的的方方法法稱稱為為化化方方法法。以此類推，可得以此類推，可得iikiikkkk in 1111,1,2,1, 則則就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。nnn e e , e121212, 再再令令 neee12,10 因?yàn)橹荒苷业揭粋€(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以，因?yàn)橹荒苷业揭粋€(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以，A不不能對(duì)角化。能對(duì)角化。 xIA kx120111000 將將代代入入，得得， 所所以以 對(duì)于一般的對(duì)于一般的n階方陣不一定都能對(duì)角化階方陣不一定都

9、能對(duì)角化. . 例如例如 1011A IA211(1)0,01 , 1211 IA1101 5.3.4 正交矩陣與實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化正交矩陣與實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化11然而，對(duì)于實(shí)的對(duì)稱矩陣，有然而，對(duì)于實(shí)的對(duì)稱矩陣，有 定理定理5.6 實(shí)對(duì)稱矩陣必能對(duì)角化。（證明從略）實(shí)對(duì)稱矩陣必能對(duì)角化。（證明從略） 我們知道實(shí)矩陣的特征值可能為實(shí)數(shù)也可能為復(fù)數(shù)，我們知道實(shí)矩陣的特征值可能為實(shí)數(shù)也可能為復(fù)數(shù)， 然而，對(duì)于對(duì)稱矩陣，有下列重要性質(zhì)然而，對(duì)于對(duì)稱矩陣，有下列重要性質(zhì) ：定理定理5.7 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。 證證 反證法反證法 若若 （復(fù)數(shù)）為復(fù)數(shù)）為的特征值，相

10、應(yīng)的特征向量為的特征值，相應(yīng)的特征向量為 xA Axx 則則兩邊取共軛兩邊取共軛 xxAxxAxAx 兩邊取轉(zhuǎn)置兩邊取轉(zhuǎn)置 TTTTxxxAAx )()(TTx x Axx x 用用 右右乘乘得得 12TTT xxx x x x()0即，即，Tnnxx x xx xxx1212(,) 而而nnnx xx xx xxx22112210 0 ， 即即， 所所以以 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)。注意注意 :由此定理可知實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)，因而由由此定理可知實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)，因而由 求出的非零解（特征向量）也必為實(shí)向量。求出的非零解（特征向量）也必為實(shí)向量。 IA x()0 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于實(shí)對(duì)稱

11、矩陣A ，一般希望用一般希望用 “正交矩陣正交矩陣” 使之對(duì)使之對(duì)角化。角化。13定義定義 正交矩陣是指這個(gè)矩陣按列分塊所得的正交矩陣是指這個(gè)矩陣按列分塊所得的n個(gè)個(gè)向量是標(biāo)準(zhǔn)正交系，即向量是標(biāo)準(zhǔn)正交系，即n個(gè)向量都是兩兩正交，而且每個(gè)向量都是兩兩正交，而且每個(gè)向量的范數(shù)都為單位個(gè)向量的范數(shù)都為單位1.這件事不難做到，根據(jù)上述定理：這件事不難做到，根據(jù)上述定理： (1)先求出先求出n個(gè)特征值；個(gè)特征值； (2)對(duì)于單重特征值，我們?nèi)〕鰳?biāo)準(zhǔn)化（單位化）對(duì)于單重特征值，我們?nèi)〕鰳?biāo)準(zhǔn)化（單位化）的特征向量的特征向量； (3)對(duì)于多重特征值，如對(duì)于多重特征值，如s重特征值，它的特征向量重特征值，它的特

12、征向量的全體是的全體是S維線性空間，維線性空間，s個(gè)個(gè)“基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系”的向量是線性的向量是線性 無(wú)關(guān)的，因而可以按無(wú)關(guān)的，因而可以按Schmidt方法將其正交化和標(biāo)準(zhǔn)方法將其正交化和標(biāo)準(zhǔn)化，得到化，得到s個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系。個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系。14定理定理5.6 設(shè)設(shè) 為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣A的不同的特征值的不同的特征值， 21, xx xx 121212, 分分別別為為的的特特征征向向量量，則則。21 Txx120 niii xxa b121,0 即即 xx , xx 1212 與與正正交交。Axx ,111 Axx222 證證 設(shè)設(shè)nnababx xab112212， ， 兩邊取轉(zhuǎn)置兩邊取轉(zhuǎn)置

13、TTxAx111, TT xxxx ,122112 即即T xx2112()0 或或TT x xAxxx212112 右右乘乘得得15把上述兩個(gè)情況所得出的把上述兩個(gè)情況所得出的n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 nxxx12,按列排列即得相似變換的矩陣：按列排列即得相似變換的矩陣： nPxxx ,12, nPAPD121 成對(duì)角矩陣。成對(duì)角矩陣。 A220212020 , ,求正交矩陣求正交矩陣P , 使使P -1AP解解IA220212(2)(1)4402 2(1)(28)(1)(4)(2)0 123 1 , 4 , 2 。例例5.10 設(shè)設(shè)16A222254245 , ,求正交矩陣求正交

14、矩陣P ,使其對(duì)角化。使其對(duì)角化。 P AP1142 Px xx ,123221333122(,)333212333 從從 0)( xAI 中分別求出中分別求出 相應(yīng)的單位化的特征向量相應(yīng)的單位化的特征向量 i , 3231321 x, 3132322 x. 3232313 x例例5.11 設(shè)設(shè)17時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 IA xxxx 123()220 IA122()244244 000000221xxkkx12123221001 xkkxk ,xk112213222 通通解解為為0)10()1(2 解解 542452222AI 542110222 123 1 , 10 。18適當(dāng)取適當(dāng)取 k k1

15、2,，使這兩個(gè)特解正交化。，使這兩個(gè)特解正交化。 k k 12,1 令令，kk , kk12121202211 令令kkkk121212,( 22) 00 kk120 k k 121 ,1 不不妨妨取取，, 114 2 則則這時(shí)這時(shí) 21 ，然后再標(biāo)準(zhǔn)化得，然后再標(biāo)準(zhǔn)化得 T T2e , e1114110223 23 23 219 IA x(10)0 令令變?yōu)樽優(yōu)?xxxx13231020 x x k ,x1231/2,11 3/23/23/1e 3取取單單位位向向量量3xk x kx k1212 令令000990542 0001102/101IA822(10)254245 5429901818010 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，20 Peee ,12341033 2112323 2112323 2 PAP11110 121232210,01xxkkx 另另解解為為221,00112 2222,1,01,0101211122111854455 21PAPD1111 , ,使使解解P實(shí)對(duì)稱矩陣必能對(duì)角化，所以若能找出實(shí)對(duì)稱矩陣必能對(duì)角化，所以若能找出則必可求出則必可求出A。 T 11 1 0 為為 1 所對(duì)應(yīng)的特征向量，試求矩陣所對(duì)應(yīng)的特征向量，試求矩陣 A? 設(shè)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為的特征值為 , 1, 1