二次函數(shù)總復(fù)習(xí)副

1、的二次函數(shù)。叫做關(guān)于是常數(shù)，其中一般地，函數(shù)xacbacbxaxy)0,(2注意注意: :當(dāng)二次函當(dāng)二次函數(shù)表示某個實際數(shù)表示某個實際問題時問題時,還必須根還必須根據(jù)題意確定自變據(jù)題意確定自變量的取值范圍量的取值范圍.二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=axy=ax+bx+c+bx+c( (其中其中a,b,ca,b,c是常數(shù)，是常數(shù)，a0)a0)想一想想一想: :函數(shù)的函數(shù)的自變量自變量x是否可是否可以取任何值呢以取任何值呢? 1.1.定義：一般地定義：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常是常數(shù)數(shù),a0),a0)的函數(shù)叫做的函數(shù)叫做x x的的二次

2、函數(shù)二次函數(shù). . y=ax y=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的幾種不同表示的幾種不同表示形式形式: : (1)y=ax (1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax (2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定義的實質(zhì)是：定義的實質(zhì)是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式, ,自變量自變量x x的最的最高次數(shù)是二次高次數(shù)是二次, ,自變量自變量x x的取值范圍是全體實數(shù)的

3、取值范圍是全體實數(shù). .思考思考：下列函數(shù)中：下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？是二次函數(shù)的，哪些是二次函數(shù)？是二次函數(shù)的，請說出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：請說出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：22(1)231(2)3yxyxx是是不是，因為不是整式不是，因為不是整式2,0,3abc 1，函數(shù)，函數(shù) （其中（其中a、b、c為常數(shù)），為常數(shù)），當(dāng)當(dāng)a、b、c滿足什么條件時，滿足什么條件時， （1）它是二次函數(shù)；）它是二次函數(shù)； （2）它是一次函數(shù)；）它是一次函數(shù)；（3）它是正比例函數(shù)；）它是正比例函數(shù)；2yaxbxc當(dāng)當(dāng) 時，是二次函數(shù)；時，是二次函數(shù)；0a 當(dāng)當(dāng) 時，是一次函數(shù)；時，是

4、一次函數(shù)；0,0ab當(dāng)當(dāng) 時，是正比例函數(shù)；時，是正比例函數(shù)；0,0,0abc駛向勝利的彼岸駛向勝利的彼岸2，函數(shù)，函數(shù) 當(dāng)當(dāng)m取何值時，取何值時，（1）它是二次函數(shù)？）它是二次函數(shù)？（2）它是反比例函數(shù)？）它是反比例函數(shù)？222(2)mymmx（1）若是二次函數(shù)，則）若是二次函數(shù)，則 且且當(dāng)當(dāng) 時，是二次函數(shù)。時，是二次函數(shù)。222m 2m 220mm（2）若是反比例函數(shù)，則）若是反比例函數(shù)，則 且且當(dāng)當(dāng) 時，是反比例函數(shù)。時，是反比例函數(shù)。221m 1m 220mmy=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函數(shù)的三種解析式二次函數(shù)的三種解析式y(tǒng) = ax2

5、y = ax2 + k y = a(x h )2y = a( x h )2 + k上下平移上下平移左右平移左右平移上下平移上下平移左右平移左右平移結(jié)論結(jié)論: 一般地一般地,拋物線拋物線 y = a(x-h)2+k與與y = ax2形狀相同形狀相同,位置不同。位置不同。小結(jié)小結(jié)：各種形式的二次函數(shù)的關(guān)系各種形式的二次函數(shù)的關(guān)系1、一般二次函數(shù)一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象特點和函數(shù)性質(zhì)的圖象特點和函數(shù)性質(zhì)返回主頁前進(jìn)前進(jìn)(1)是一條拋物線；是一條拋物線；(2)對稱軸是對稱軸是:x=-(3)頂點坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)是:(- , )(4)開口方向開口方向: a0時時,開口向上；開口向上；

6、a0時，對稱軸左側(cè)時，對稱軸左側(cè)(x- )，函數(shù)值，函數(shù)值y隨隨x的增大而的增大而增大增大 。 a0時，對稱軸左側(cè)時，對稱軸左側(cè)(x- )，函數(shù)值，函數(shù)值y隨隨x的增大而的增大而減小減小 。 （2） a0時，時，ymin= a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h h，k k）（h h，k k）直線直線x=hx=h直線直線x=hx=h由由h h和和k k的符號確定的符號確定由由h h和和k k的符號確定的符號確定向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=hx=h時時, ,最小值為最小值為k.k.當(dāng)當(dāng)x=hx=h時時, ,最大值為最大值為k.k.在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小.

7、 在對稱軸的右側(cè)在對稱軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的右側(cè)在對稱軸的右側(cè), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 根據(jù)圖形填表：根據(jù)圖形填表：xy0a0 x0 xy0 (2)c確定拋物線與確定拋物線與y軸的交點位置軸的交點位置:c0 x0(0,c)c=0 xy0(0,0)c0 x=-b2aab=0 xy0 x=-b2aab0=00 (4)確定拋物線與確定拋物線與x軸的交點個數(shù)：軸的交點個數(shù)：xy0 xy0(x,0)xy、二次函數(shù)、二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0

8、)的圖象如圖的圖象如圖 所示，則所示，則a a、b b、c c的符號為（）的符號為（） A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BACooo練習(xí)：練習(xí)：熟練掌握熟練掌握a，b， c，與拋物線圖象的關(guān)系與拋物線圖象的關(guān)系(上正、

9、下負(fù)）上正、下負(fù)）(左同、右異左同、右異) c c4.4.拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的圖象經(jīng)過原點和的圖象經(jīng)過原點和 二、三、四象限，判斷二、三、四象限，判斷a a、b b、c c的符號情況：的符號情況： a a 0,b0,b 0,c0,c 0. 0. xyo=6.二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c3.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ）A 1個個 B 2個個 C 3個個 D 4

10、個個Dx-110y要點：尋求思路時，要著重觀察拋物線的開口方要點：尋求思路時，要著重觀察拋物線的開口方向，對稱軸，頂點的位置，拋物線與向，對稱軸，頂點的位置，拋物線與x軸、軸、y軸的軸的交點的位置，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想。交點的位置，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想。w二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點有軸交點有三種情況三種情況: :w(1)(1)有兩個交點有兩個交點w(2)(2)有一個交點有一個交點w(3)(3)沒有交點沒有交點二次函數(shù)與一元二次方程b2 4ac 0b2 4ac= 0b2 4ac0該拋物線與x軸一定有兩個交點(2)解:拋物線與x軸相交

11、時 x2-2x-8=0解方程得:x1=4, x2=-2AB=4-(-2)=6而P點坐標(biāo)是(1,-9)SABC=27xyABP前進(jìn)前進(jìn)xyOAxyOBxyOCxyOD 例例3:在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)和二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為的圖象大致為(二二)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判定函數(shù)圖象之間根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判定函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系的位置關(guān)系答案答案: B前進(jìn)前進(jìn) 例例4、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，圖象頂點在直線，圖象頂點在直線y=x+1上，并上，并且圖象經(jīng)過點（且圖象經(jīng)過點（3，-6）。求）。求a、b、c。解

12、：解：二次函數(shù)的最大值是二次函數(shù)的最大值是2拋物線的頂點縱坐標(biāo)為拋物線的頂點縱坐標(biāo)為2又又拋物線的頂點在直線拋物線的頂點在直線y=x+1上上當(dāng)當(dāng)y=2時，時，x=1 頂點坐標(biāo)為（頂點坐標(biāo)為（ 1 ， 2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又又圖象經(jīng)過點（圖象經(jīng)過點（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x(三三)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式前進(jìn)前進(jìn)例例5： 已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=x2+x-（1）求拋物線開口方向，對稱軸和頂點）求拋物線開口方向，對稱

13、軸和頂點M的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。（2）設(shè)拋物線與）設(shè)拋物線與y軸交于軸交于C點，與點，與x軸交于軸交于A、B兩點，求兩點，求C， A，B的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。（3）畫出函數(shù)圖象的示意圖。）畫出函數(shù)圖象的示意圖。（4）求）求MAB的周長及面積。的周長及面積。（5）x為何值時，為何值時，y隨的增大而減小，隨的增大而減小，x為何值時，為何值時，y有最大有最大 （小）值，這個最大（?。┲凳嵌嗌?？（?。┲?，這個最大（?。┲凳嵌嗌?？（6）x為何值時，為何值時，y0？1232解解:（1）a= 0 拋物線的開口向上拋物線的開口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 對稱軸對稱軸x=-1，頂點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)M

14、（-1，-2）121212前進(jìn)前進(jìn) (2)由由x=0，得，得y= - -拋物線與拋物線與y軸的交點軸的交點C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 與與x軸交點軸交點A（-3，0）B（1，0）32323212解解0 x(3)連線連線畫對稱軸畫對稱軸x=-1確定頂點確定頂點(-1,-2)(0,-)確定與坐標(biāo)軸的交點確定與坐標(biāo)軸的交點及對稱點及對稱點(-3,0)(1,0)3 2解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD ：（4）由對稱性可知）由對稱性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周長的周長=2MA+

15、AB=2 22+4=4 2+4MAB的面積的面積=ABMD=42=41212前進(jìn)前進(jìn)解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)當(dāng)當(dāng)x=-1時，時，y有最小值為有最小值為y最小值最小值=-2當(dāng)當(dāng)x-1時，時，y隨隨x的增大的增大而減小而減小;前進(jìn)前進(jìn)解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由圖象可知由圖象可知(6) 當(dāng)當(dāng)x1時，時，y 0當(dāng)當(dāng)-3 x 1時，時，y 0鞏固練習(xí)鞏固練習(xí):1、填空：、填空：（1）二次函數(shù)）二次函數(shù)y=x2-x-6的圖象頂點坐標(biāo)的圖象頂點坐標(biāo)是是_對稱軸是對稱軸是_。（2）拋物線拋物線y=-2x2+4x與

16、與x軸的交點坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)是是_（3）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=x2-x-4，當(dāng)函數(shù)值，當(dāng)函數(shù)值y隨隨x的增大而減小時，的增大而減小時，x的取值范圍是的取值范圍是_（4）二次函數(shù)）二次函數(shù)y=mx2-3x+2m-m2的圖象的圖象經(jīng)過原點，則經(jīng)過原點，則m= _。12（，-）125 24x=12（0，0）（2，0）x122.2.選擇選擇拋物線拋物線y=x2-4x+3的對稱軸是的對稱軸是_. A 直線直線x=1 B直線直線x= -1 C 直線直線x=2 D直線直線x= -2(2)拋物線拋物線y=3x2-1的的_ A 開口向上開口向上,有最高點有最高點 B 開口向上開口向上,有最低點有最低點 C 開口

17、向下開口向下,有最高點有最高點 D 開口向下開口向下,有最低點有最低點(3)若若y=ax2+bx+c(a 0)與軸交于點與軸交于點A(2,0), B(4,0), 則對稱軸是則對稱軸是_ A 直線直線x=2 B直線直線x=4 C 直線直線x=3 D直線直線x= -3(4)若若y=ax2+bx+c(a 0)與軸交于點與軸交于點A(2,m), B(4,m), 則對稱軸是則對稱軸是_ A 直線直線x=3 B 直線直線x=4 C 直線直線x= -3 D直線直線x=2c cB BCA A3、解答題：、解答題：已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，3），且圖象過點（3，2）。（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）

18、設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求線段OA，OB的長度之和。能力訓(xùn)練能力訓(xùn)練 1、 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在下列各不等式二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個數(shù)是中成立的個數(shù)是_1-10 xyabc0 a+b+c b2a+b=0 =b-4ac 02、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖。的圖象如圖。(1)、當(dāng)、當(dāng)x為何值時，為何值時，y隨隨x的增大而增大的增大而增大;(2)、當(dāng)、當(dāng)x為何值時，為何值時，y0,c0時時,圖象與圖象與x軸交點情況是軸交點情況是( )A 無交點無交點 B 只有一個交點只有一個交點 C 有兩個交點有兩個交點 D

19、不能確定不能確定DC3.(08長沙長沙)二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是圖所示，則下列關(guān)系式不正確的是( )A、a0 B、abc0C、a+b+c0 D、b2-4ac0.c 歸納小結(jié)：歸納小結(jié)： （1）二次函數(shù)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c及拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用及拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用 注意：圖象的遞增性，以及利用圖象求自變量注意：圖象的遞增性，以及利用圖象求自變量x或函或函數(shù)值數(shù)值y的取值范圍的取值范圍返回返回 （2）a，b，c，的正負(fù)與圖象的位置關(guān)系的正負(fù)與圖象的位置關(guān)系 注意：圖象與軸有兩個交點注意：圖象與軸有兩個交點A（x1，0），），B（x2

20、，0）時）時AB=|x2-x1|= (x1+x2)2+4x1 x2= 這一結(jié)論及推導(dǎo)過程。這一結(jié)論及推導(dǎo)過程。|a|3.如果關(guān)于如果關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程 x2-2x+m=0有兩個相等有兩個相等的實數(shù)根的實數(shù)根,則則m=,此時拋物線此時拋物線 y=x2-2x+m與與x軸有個交點軸有個交點.4.已知拋物線已知拋物線 y=x2 8x +c的頂點在的頂點在 x軸上軸上,則則c=.11161.1.已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形狀相同形狀相同, ,頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點

21、到且頂點到x x軸的距軸的距離離 為為5,5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式請寫出滿足此條件的拋物線的解析式. .解解: :拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形狀相同的形狀相同 a=1a=1或或-1-1 又又頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離為軸的距離為5,5, 頂點為頂點為(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式為所以其解析式為: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 展開成一般式即可展開成一般式即可. .7二次函數(shù)的綜合運用2.2.若若a+b+c=0,aa+b+c=0,a 0,0,把拋物線把拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下平移向下平移 4 4個單位個單位, ,再向左平移再向左平移5 5個單位所到的新拋物線的個單位所到的新拋物線的 頂點是頂點是(-2,0),(-2,0),求原拋物線的解析式求原拋物線的解析式. .分析分析: :(1)(1)由由a+b+c=0a+b+c=0