高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、 高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、用多項(xiàng)式近似表達(dá)函數(shù)泰勒公式 如果我們能用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，這樣將會(huì)帶來(lái)很大的方便。 一般地說(shuō)，多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)。那么我們?cè)鯓影岩粋€(gè)函數(shù)近似地化為多項(xiàng)式函數(shù)呢? 定理1設(shè)f(x)在x0點(diǎn)及其附近有直到n1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么其中Rn(x)(在0與x之間)上式稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)附近關(guān)于x的泰勒展開(kāi)式簡(jiǎn)稱(chēng)泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余項(xiàng)。當(dāng)x0時(shí)，拉格朗日余項(xiàng)Rn(x)是關(guān)于的高階無(wú)窮小量，可表示為Rn(x)O()。 O()稱(chēng)為皮亞諾余項(xiàng)。這樣，函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)附近的泰勒展開(kāi)式又表示為：一般地，函數(shù)f(x)在xx0點(diǎn)附近泰勒

2、展開(kāi)式為：二、幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒公式例1、求函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式解：f'(x)f"(x)f(n)(x) f(0)f'(0)f"(0)f(n)(0)1 于是，在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為： 在上式中，令x1，可得求e的近似公式例2、求函數(shù)f(x)sin x在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式解：f'(x)cos x，f"(x)-sin x，f"'(x)-cos x，f(4)(x)sin x， f(0)0，f'(0)1，f"(0)0，f"'(x)1，f(4)(0)0， f(2n1)(0)，f(2n)(

3、0)0 于是，sin x在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為： 例3、求函數(shù)f(x)cos x在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式解：f'(x)-sin x，f"(x)-cos x，f"'(x)sin x，f(4)(x)cos x， f(0)1，f'(0)0，f"(0)1，f"'(x)0， f(4)(0)1， f(2n1)(0)0，f(2n)(0) 于是，cos x在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為： 例4、求函數(shù)f(x)ln(1x)在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式解：f'(x) ，f"(x)- ， f"'(x) ，f(4)(x)- ， f

4、(0)0，f'(0)1，f"(0)-1!，f"'(x)2!，f(4)(0)-3!， f(n)(0)(n1)! 于是，ln(1x)在x0點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式為：3、 羅必塔法則 1. 不定式定理1 如果當(dāng)xa時(shí)函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于零，在點(diǎn)a的某一鄰域內(nèi)(點(diǎn)a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0，且 存在(或無(wú)窮大)，則證明：根據(jù)柯西定理有在x與a之間，當(dāng)xa時(shí)a ， ，這說(shuō)明求可導(dǎo)函數(shù)與商的極限時(shí)可以轉(zhuǎn)化為求它們導(dǎo)數(shù)的商的極限。 當(dāng)x時(shí)，上述定理也成立。例1、求極限解：當(dāng)x0時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有 例2、求極限解：當(dāng)x1時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有 例3、求極限解：當(dāng)x時(shí)原式是型的不定式，用羅必塔法則有 2. 不定式定理2 如果當(dāng)xa時(shí)函數(shù)f(x)、g(x)都趨向于無(wú)窮大，在點(diǎn)a的某一鄰域內(nèi)(點(diǎn)a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)0且 存在(或無(wú)窮大)，則當(dāng)x時(shí)，上述定理也成立。例1、求解：當(dāng)x0+時(shí)原式