用平移坐標(biāo)法探究平行四邊形的存在問題

1、-用平移坐標(biāo)法探究平行四邊形的存在問題存在性問題是近年來各地中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，不確定因素較多，對學(xué)生的知識運(yùn)用分析能力要求較高，有一定的難度為此借用簡單的平移坐標(biāo)法來探究平行四邊形的存在性問題解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算如果三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)如果兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況更為通用的方法是靈活運(yùn)用向量和中心對稱的性質(zhì)，可以使得解題簡便假定一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，然后在按照的三點(diǎn)來確定。平移坐標(biāo)法的思路

2、：先由題目條件探索三點(diǎn)的坐標(biāo)假設(shè)只有兩個(gè)定點(diǎn)，可設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 再畫出以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)最后根據(jù)題目的要求動(dòng)點(diǎn)在什么曲線上，判斷平行四邊形的存在性1、平移坐標(biāo)法的探究圖1 圖2 如圖1，點(diǎn)A、B、C是坐標(biāo)平面不在同一直線上的三點(diǎn)1畫出以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形 2假設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，寫出第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)解：1如圖3， 過A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線，則以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個(gè)：以BC為對角線，有CABD1；以AC為對角線，有ABCD2；以AB為對角線，有ACBD32在CABD1中，線段AC平移到

3、BD1，因AB橫坐標(biāo)增加、縱坐標(biāo)增加，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)得D1，同理得D2，、D3，結(jié)論：以不在同一直線上的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個(gè)由的三點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)圖形平移的坐標(biāo)性質(zhì)，直接寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)稱之為平移坐標(biāo)法2. 平移坐標(biāo)法的運(yùn)用2.1. 三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性例1 如圖4，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸是直線，頂點(diǎn)是1 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；2 經(jīng)過兩點(diǎn)作直線與軸交于點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使以點(diǎn)P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.圖4 圖5 解：1拋物線的函數(shù)表達(dá)式為2由條件易探究得A、C、N三點(diǎn)坐標(biāo)為A、 C、 N 下面探討

4、以三點(diǎn)A、C、N為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) 如圖5，由平移的性質(zhì)直接寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：以為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；以AC為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為；以AN為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為將其分別代入拋物線中檢驗(yàn)，其中只有在拋物線上點(diǎn)評：此題三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值，可以根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)直接寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值得注意的是，假設(shè)沒有約定由三點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為邊或?qū)蔷€，則三種情況都必須考慮例2 2021拋物線與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.直線與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)(1) 填空：試用含的代數(shù)式分別表示點(diǎn)與的坐標(biāo)，則；(2) 如圖6，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

5、形.圖6 圖7 解：12 由條件易探究得A、C、N三點(diǎn)坐標(biāo)為A、C、N下面探討以A、C、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖7假設(shè)以為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)為，代入解析式得，即；假設(shè)以AC為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)為，代入解析式得，即；假設(shè)以AN為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)為，代入解析式得0，不合題意，無解所以在拋物線上存在點(diǎn)和，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形點(diǎn)評：有些解法通過分析圖形認(rèn)為以AN為對角線顯然不可能，其實(shí)對于學(xué)生來說這個(gè)“顯然并不顯然2.2 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性。例3 2021 ：如圖8，關(guān)于的拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)1求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐

6、標(biāo)；2在拋物線上有一點(diǎn)，使四邊形為等腰梯形，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的解析式；3在2中的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，軸上有一動(dòng)點(diǎn)是否存在以為頂點(diǎn)的平行四邊形.解：1拋物線解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)是2，42點(diǎn)坐標(biāo)為， 直線的解析式為圖8 圖9 3直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M2，2假設(shè)軸上動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為下面探討以A、M、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)圖9假設(shè)以MQ為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得假設(shè)以AM為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得假設(shè)以AQ為對角線，第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得存在滿足條件的點(diǎn)有四個(gè)： ， ， ， 點(diǎn)評：先假設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其看成一個(gè)定點(diǎn)，按照平移

7、的性質(zhì)，寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)再由另一動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件，求出相應(yīng)的坐標(biāo)上述例題中總有兩個(gè)點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，尚可通過平移和旋轉(zhuǎn)來探究平行四邊形的存在問題如果題目中沒有兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，難么，難以通過分析圖形的相互位置關(guān)系來探究平行四邊形的存在問題然而平移坐標(biāo)法將是解決這一問題的一個(gè)法寶見例4 2021如圖12，拋物線：1求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)2將向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線，求的解析式3拋物線的頂點(diǎn)為P，軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，在、這兩條拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O、P、M、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)P為一邊的平行四邊形. 圖12 圖13解：1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2，2 23假設(shè)軸上動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)為有條件易得P下

8、面探究以O(shè)、P、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)OP為邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)N的坐標(biāo)如圖13，因?yàn)镻為拋物線、的最高點(diǎn)，假設(shè)以PM為對角線，有PNOM，則點(diǎn)N不可能在拋物線或上，故不可能存在滿足條件的點(diǎn)；假設(shè)以O(shè)M為對角線，用平移坐標(biāo)法看出點(diǎn)N坐標(biāo)為假設(shè)點(diǎn)N在拋物線上，可得：或；假設(shè)點(diǎn)N在拋物線上，可得：或存在滿足條件的N點(diǎn)有四個(gè)：、點(diǎn)評：此題中N點(diǎn)可以在拋物線上，也可以在拋物線上，運(yùn)動(dòng)的圍較大，學(xué)生難以探索，用平移坐標(biāo)法不必分析復(fù)雜的圖形，降低了分析的難度，表達(dá)了平移坐標(biāo)法強(qiáng)大的解題成效此題中因確定了以O(shè)P為一邊，所以只有兩種情況需要探究例5、拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C直接寫

9、出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的P上時(shí)，求拋物線的解析式；坐標(biāo)平面是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)M和中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由解：對稱軸是直線：，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0) 2分如圖，連接PC，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b3分當(dāng)時(shí)，4分5分存在6分理由：如圖，連接AC、BC設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為當(dāng)以AC或BC為對角線時(shí)，點(diǎn)M在*軸上方，此時(shí)CMAB，且CMAB由知，AB4，|*|4，*±4點(diǎn)M的坐標(biāo)為9分當(dāng)以AB為對角線時(shí)

10、，點(diǎn)M在*軸下方過M作MNAB于N，則MNBAOC90°四邊形AMBC是平行四邊形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312點(diǎn)M的坐標(biāo)為 12分綜上所述，坐標(biāo)平面存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形其坐標(biāo)為例6、如圖，拋物線y=*2-2*-3與*軸交A、B兩點(diǎn)A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為21求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；2P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；3點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在*軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)

11、點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由(1)  y=*2-2*-3=(*+1)(*-3) A(-1,0),B(3,0)把*=2代入y=(*+1)(*-3)中,得y=-3,C(2,-3)設(shè)直線AC的函 數(shù)表達(dá)式為y=k*+b, 將A, C兩點(diǎn)坐標(biāo)帶入得-k+b=0,2k+b=-3,解得k=-1,b=-1AC的函 數(shù)表達(dá)式為y=-*-1由題意設(shè)P(*,-*-1),E (*,*2-2*-3),PE=-(*-1)- (*2-2*-3)=-*2+*+2=-(*-0.5)2+9/4當(dāng)*=1/2時(shí),線段 PE長度的最大值為9/43存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是例7：2007·義烏如圖10，拋物線與*軸交A、B兩點(diǎn)A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為21求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；2點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在*軸上是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、F、G這