抽象函數(shù)求值高中數(shù)學(xué)高考

1、、求值問題例 1.對(duì)任意實(shí)數(shù) x,y，均滿足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f豐0,則 f(2001)=_解析:這種求較大自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一般從找周期或遞推式著手：f(n) 2f(1),令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令 x=y=0,得：f(0)=0,例 2. 已知 f(x)是定義在 R 上的函數(shù)，f(1)=1,且對(duì)任意 x R 都有 f(x+5) f(x)+5,f(x+1) f(x)+5，所以 g(x+5)+(x+5)-1 g(x)+x-1+5 ,又 f(x+1)wf(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1wg(x)+x-1+1即 g(x

2、+5) g(x),g(x+1)wg(x).所以 g(x)wg(x+5)wg(x+4)wg(x+3)wg(x+2)wg(x+1),故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1,故 g(2002)=1.例 3、已知偶函數(shù)f x對(duì)任意x, y恒有f x y f x f y 2xy 1成立，求f 0 , f 1的值.解：取x y 0,得f 00 f 0f 01，得f 01.取x y 1，得f 1 1f 1 f12 1,又f x為偶函數(shù)，則f 0 2f 1 1，故f 10.評(píng)注：利用抽象函數(shù)的條件，通過賦值是解決抽象函數(shù)問題的最常用的方法例 4.( 1996 年高考題)設(shè)f (x)是(， )上的奇函數(shù)，

3、f(2 x) f (x),當(dāng)0 x 1時(shí),f(x) x， 則f (7.5)等于(-0.5 )令x n, y 1,得f(n 1)-f(1)=,即f(n21)-f( n)2,故f(n)n,f (2001)220012(A) 0.5;(B) -0.5;(C) 1.5;(D) -1.5.例 5.已知f(x)的定義域?yàn)镽，且f (x y) f(x) f(y)對(duì)一切正實(shí)數(shù) x, y 都成立， 若f (8) 4，則f (2)。分析：在條件f(x y) f (x) f(y)中，令x y 4, 得f(8) f (4)f(4)2f(4)4，f (4)2又令x y 2，得f(4) f (2)f(2)2，f (2)1

4、例 6.已知f (x)是定義在 R 上的函數(shù)，且滿足：f (x 2)1 f (x)1 f (x)，f (1)1997，求f(2001)的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f (x)是周期函數(shù)，顯然f(x) 1，于是11f(x)1 f(x)，f 4)1 f(x 2)1 f(x) 11 f(x)1 f(x 2)11 f (x) f (x)1 f(x)8)丄f (x),故f (x)是以 8 為周期的周期函數(shù)，從而f(x 4)f (8 250 1) f (1)1997變式訓(xùn)練:2如果f (x y)f(x)f(y),且f(1)2則仞理型f(2)的值是f(2001)。2000f(1)f(3)f(5)

5、2f (1) f(2)f2(2)f(4)f2(3) f (6)f2(4)f(8).(f(n)2n,原式f(1)f(3)f (5)f2)=16)f(x 2)所以f(xf (2001)1. f(x)的定義域?yàn)?0,)，對(duì)任意正實(shí)數(shù) x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，4、函數(shù) f(x)為 R 上的偶函數(shù)，對(duì)x R都有f (x 6) f(x) f(3)成立，若f(1)2,則f (2005)=(13、對(duì)任意整數(shù)x, y函數(shù)yf (x)滿足：f (x y) f(x) f(y)xy 1，若f(1) 1,則f( 8CA.-1B.1C. 19D. 435、定義在 R 上的函數(shù) Y=f(

6、x)有反函數(shù) Y=f-1(x)，又 Y=f(x)過點(diǎn)(2, 1), Y=f(2x)的反函數(shù) 為 Y=f-1(2x)，則 Y=f-1(佝為()(A )11A) B)C) 8 D) 168166、已知 a 為實(shí)數(shù)，且 0 a 1, f(x)是定義在0,1 上的函數(shù)，滿足 f (0)0, f(1) 1,對(duì)所有 x y,x y均有 f( )(1 a)f(x) af (y)21(1)求 a 的值(2)求 f()的值1f(7)7、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(汽+s)，滿足條件：存在，使得i ,對(duì)任何x和y1/(宀成立。求：(1)f(0);( 2)對(duì)任意值x，判斷f(x)值的正負(fù)。*分析：由題設(shè)可猜測(cè)f(x)

7、是指數(shù)函數(shù)y=a的抽象函數(shù)，從而猜想f(0)= 1 且f(x) 0。解：( 1)令y= 0 代入八宀)n,則/Wl-/W-0o若 f(x)=0，則對(duì)任意心黑有”1)叮也0 ,這與題設(shè)矛盾，.f(X)M0,.f(0)= 1o(2 )令y=x工 0，則佇0,又由(1) 知f(x)01 f(2x) 0,即f(x) 0,故對(duì)任意x,f(x) 0 恒成立。A.2005B. 2C.1D.01 15、(1) f(2)a f(4)13又 f (L) f (44)(12 223八 f(4)(1 a)a aa)a2aa a(1a),可解得 a1 1(2)設(shè) f(y)b,則 f(-)207 12f (7) f()2

8、2732b,同理 f (3)3b,f (1) 7bQ得5評(píng)析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取= y = 2，這樣便把已知條件/(2) = b /(6) = -二與欲求的 f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。10 (2006 年安徽卷)函數(shù)f x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f x 21，若f 1f x5則f f 5。3.解：由f x12得f x 41f (x),所以f (5)f(1)5f xf x 2在區(qū)間(0, 6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是(B )A. 5B . 4C. 3D. 29. ( 05 福建卷f (X)是定義在 R 上的以 3 為周期的偶函數(shù)，且f(x y)f (x)f

9、 (y)，求 f ( 3), f (9)的值。解： 取x 2,y 3, 得f(6)f(2)f (3)因?yàn)閒(2) 1,f(6)1所以f(3)45511.已知定義域?yàn)镽的函數(shù) f(x),同時(shí)滿足下列條件：心 5 吩；14/(2) = 1/(6 =-因?yàn)?，所以5又取f (2)0，則方程f (x)=0f( 5) f( 1)1f( 1 2)1f(2)1,f(6);58.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù) f(x)，同時(shí)滿足下列條件：,求 f(3) , f(9)的值。解：取x = 2 y = 3，得屮6)可+于又取x y 3得f (9) f (3) f評(píng)析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取x 2,y 3，這樣

10、便把已知條件1與欲求的 f (3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。512、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(8, +7，滿足條件：存在血*比,使得乃),對(duì)任何x和y, I “) /W-/W成立。求：(i)f(0)；分析：由題設(shè)可猜測(cè)f(X)是指數(shù)函數(shù)y=a的抽象函數(shù)，從而猜想f(o) =1 且f(x) 0。解：( 1)令y= o 代入幾+刃/何*(刃，則畑餉，.若f(x)=0，則對(duì)任意心乜,有畑 K 小。，這與題設(shè)矛盾，f(X)M0,.f(0)= 1o13、設(shè)f(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足/(矽=W T3屮：= 1求：(1)f(1);(2)若f(x) +f(x 8) 2,求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f(x