數(shù)值分析大作業(yè)2014

1、eg第流Z久大棗課程設(shè)計課程名稱：高等數(shù)值計算設(shè)計題目：數(shù)值計算B課程設(shè)計學(xué)號：姓名：完成時間：2014年10月20日題目一：非線性方程求根用Newton法計算下列方程3(1) XX1=0,初值分別為x0=1,%=0.45,Xo=0.65；32(2) x+94x-389X+294=0其三個根分別為13-98。當(dāng)選擇初值xo=2時給6出結(jié)果并分析現(xiàn)象，當(dāng)名=5父10,迭代停止。一、摘要非線性方程的解析解通常很難給出，因此非線性方程的數(shù)值解就尤為重要。本實(shí)驗(yàn)通過使用常用的求解方法二分法和Newton法及改進(jìn)的Newton法處理幾個題目，分析并總結(jié)不同方法處理問題的優(yōu)缺點(diǎn)。觀察迭代次數(shù)，收斂速度及初

2、值選取對迭代的影響。二、數(shù)學(xué)原理構(gòu)造迭代函數(shù)的一條很重要的途徑是，用近似方程來代替原方程去求根。因此，如果能將非線性方程用線性方程來代替的話，求近似根問題就很容易解決，而且十分方便。Newton法就是把非線性方程線性化的一種方法。在求解非線性方程f(x)=o時，它的困難在于f(x)是非線性函數(shù)，為克服這一困難，考慮它的線性展開。設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為xk,在xk處的Taylor展開式為f(x)：.f(xk)f(xk)(x-xk)令f(x)=0,可以得到上式的近似方程f(xk)-f(xk)(x-xk)=0設(shè)f(xk)#0,解其方程得到xk1=xk-f(xk)(k=。1)f(xk)這就是牛頓迭代公式。用牛頓迭

3、代公式求方程f(x)=0根的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義為，不斷用切線來近似曲線得到方程的根，我們知道方程f(x)=0的實(shí)根x*是函數(shù)y=f(x)的圖形與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)，xk+是函數(shù)f(x)在點(diǎn)(xk,f(xk)處的切線與x軸的交點(diǎn)，此時就是用切線的零點(diǎn)代替曲線的零點(diǎn)，因此，牛頓迭代法又稱為切線法。三、程序設(shè)計基于MATLAB軟件編寫程序，先定義一個用Newton法求解的功能函數(shù)，然后調(diào)用函數(shù)用于計算不同的方程。各變量定義見程序。1、選取初值。2、利用公式求解X-=Xk_x4(k=0,1,)f(Xk)3、計算所得Xk+-Xk是否滿足精度要求4、如不滿足繼續(xù)迭代運(yùn)算，如滿足則輸出所求結(jié)

4、果四、結(jié)果分析和討論1、第一題計算結(jié)果：首先得到函數(shù)在區(qū)間卜2.5,2.5的圖像，即可知函數(shù)f(X)與x軸有交點(diǎn)，也就是說有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置C口加亦&iidWindow(1)、取初值X。=1時得到卞g值r=1.3247,迭代次數(shù)t=4次(2)、取初值X。=0.45時得到卞g值r=1.3247,迭代次數(shù)t=42次(3)、取初值X=0.65時得到卞g值r=1.3247,迭代次數(shù)t=8次根據(jù)結(jié)果可以分析得到，當(dāng)使用牛頓迭代法時，所選初始值對迭代速度(迭代次數(shù))有較大影響。當(dāng)初始值X。充分接近方程的單根時，可保證迭代序列快速收斂，當(dāng)初值選擇不當(dāng)時會造成迭代次數(shù)大幅增加或不一

5、定收斂。2、第二題計算結(jié)果：初值X。=2時，得到根值r=-98,迭代次數(shù)為1次。>>工整M.t=HevtanRoct?('x'3-!f-1fc)root=L師»root,tj=KertonfcMrtS(-x-3-z-l'Fth4S)工力L受打t42»rwtatl=Kswt口由ootZt'k3rT：.必651rocrt=L32dT1=A3»cootjt=JIewtonRDicrt2('e刁+爾本/2711rllNjIDOt=j-98根據(jù)結(jié)果可以得到，給出的迭代初值不一定會收斂于離它最近的實(shí)根，收斂速度也不一t定會慢

6、。初值不同所得到的收斂值也不同。例如，在本題中更改初值為x0=4時，所得到的根是3,迭代次數(shù)為4次。五、完成題目的體會與收獲通過自己編程實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法，不僅讓我對牛頓迭代法有了更深刻的了解，同時也鍛煉了我編程解決數(shù)學(xué)問題的能力。原本上課時不清晰的思路被理清了，觀察計算結(jié)果之后，還對牛頓迭代法的規(guī)律和用法更加明了。希望以后能多有這樣的實(shí)踐作業(yè)。六、附錄functionroot,t=NewtonRoot2(f,a)%f是非線性函數(shù)%a為初值%eps為根的精度%root為求出的函數(shù)零點(diǎn)%t為迭代次數(shù)eps=5.0e-6;t=0;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);fun

7、=diff(sym(f);fa=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),a);root=a-fa/dfa;tol=abs(root-a);while(tol>eps)t=t+1;r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),r1);root=r1-fx/dfx;tol=abs(root-r1);endend題目二：線性方程組求解有一平面機(jī)構(gòu)如圖所示，該機(jī)構(gòu)共有13條梁（圖中標(biāo)號的線段）由8個較

8、接點(diǎn)（圖中標(biāo)號的圈）聯(lián)結(jié)在一起。上述結(jié)構(gòu)的1號錢接點(diǎn)完全固定，8號較接點(diǎn)豎立方向固定，并在2號、5號和6號較接點(diǎn)，分別有如圖所示的10噸、15噸和20噸的負(fù)載，在靜平衡的條件下，任何一個較接點(diǎn)上水平和豎立方向受力都是平衡的，以此計算每個梁的受力情況。令a=1/,假設(shè)f為各個梁上的受力，例如對2號錢接點(diǎn)有：f2=f6、f3=1。對3號錢接點(diǎn)有：otf,=af5+f4>0（1+otf5+f3=0對4號錢接點(diǎn)有：f4=f8、f7=0對5號錢接點(diǎn)有：Otfg+0tf5+f7=15、Ctf5+f6=afg+f10對6號皎接點(diǎn)有：10=f13、fn=20對7號錢接點(diǎn)有：af12=afg+f8、af1

9、2+ctfg+降=0對8號錢接點(diǎn)有：6后+%=0一、摘要對于實(shí)際的工程問題，很多問題歸結(jié)為線性方程組的求解。本實(shí)驗(yàn)通過實(shí)際題目掌握求解線性方程組的數(shù)值解法，這里采用雅克比迭代法，如不收斂，再采用高斯列主元消去法。、數(shù)學(xué)原理1、雅克比迭代法設(shè)有一個n元線性方程組aiiXi-812X2一-am%a2lXi822X2一a2nXn=b2an1x1an2X2''annxnbn它的矩陣形式為AX=B,如果A=a)n約非奇異,且a.#0,i=1,2，,n。由上式可以得到Xi1，、(b-aijXj)(i=1,2,.,n)aiij4.jv而其相應(yīng)的迭代公式為n1(k)、x=一(bi一2”)(i=

10、1,2,.,n)aiija及把上式迭代公式稱為Jacobi(雅克比)迭代。由于迭代存在收斂性,an所以把分量形式的迭代公式改寫成矩陣形式。記y0a2ia1201in2n-an2<ann八則A=DL-U.方程組Ax=b改寫成x=D(LU)xDb與其相應(yīng)的矩陣形式的迭代公式為X(k1)=D九LU)XkDb也可以簡單地記為X(k+=BjXk+fJ式中，Bj=d,(l比)；fj=口節(jié)，上兩式也稱為Jacobi迭代。同時稱Bj為Jacobi迭代矩陣。2、高斯列主元消去法在消元過程進(jìn)行到第k步時，寫出其相應(yīng)的增廣矩陣，可以發(fā)現(xiàn)，此時第k個方程與后面的n-k個方程的地位并沒有區(qū)別，因此選擇第k列的元素

11、a(kk)(i=k,kY.,n)中絕對值最大的元素作為主元，即令二息,瞟如果這時候a(kk)=0,那么矩陣就奇異不可逆，方程的解也不確定，只有停止計算；否則，當(dāng)"則其增廣矩陣中交換第k行和第r行，即akjk)1a：k)(j=k,k1,.,n)b，使a；?成為主元，然后再按高斯消去法進(jìn)行消元運(yùn)算。上述這種消去法稱為高斯列主元消去法三、程序設(shè)計把方程組整理為矩陣形式:G010a000000001<0、01000-100000000001000000000010a00-1-a0000000000000a010a0000150000a100內(nèi)-100000000001000000f=0

12、0001000-100000000000000a01a00000000000100-1000000000001002000000001a00-a00,100000000000a10°J本題我先采用了雅克比迭代法進(jìn)行計算，所得結(jié)果發(fā)散，因此采用高斯列主元消去法計算。1、輸入數(shù)據(jù)A和b,置det=1o2、對于k=1,2,.,n1作，按列選主元、交換兩行、消元計算。»冀=b)x=7機(jī)3M320.MOO10.NOO-30.000014.H2120.QDOQ0-30.0DOO7.071125.000020.0000-35-366325.MOO3、置det=anndet。4、輸出線性方

13、程組的解。四、結(jié)果分析和討論得到結(jié)果，各個梁的受力情況分別為：-28.2843、20.000010.0000、-30.0000、14.1421、20.0000、0、-30.0000、7.071。25.0000、20.0000、-35.3553、25.0000（單位：噸）由結(jié)果分析，高斯列主消元法能準(zhǔn)確的計算出該線性方程組的解。五、完成題目的體會與收獲在解決本道題目的時候，我受到了重重困難。剛開始我并未考慮使用迭代法的收斂條件，便使用雅克比迭代法進(jìn)行計算，但在經(jīng)過多次嘗試后，才發(fā)現(xiàn)該方法不收斂，改用高斯列主消元法來計算。這讓我吸取了深深的教訓(xùn)。在今后的學(xué)習(xí)中，注意每種方法的使用限制條件，收斂條件

14、等，真正學(xué)而會用，才能徹底掌握知識。六、附錄高斯列主消元法:functionx=Gauss(A,b)n,m=size(A);det=1;x=zeros(n,1);fork=1:n-1max1=0;fori=k:nifabs(A(i,k)>max1max1=abs(A(i,k);r=i;endendifr>kz=A(k,:);A(k,:)=A(r,:);A(r,:)=z;z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;endfori=k+1:nm=A(i,k)/A(k,k);forj=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n);fork=n:-1:1forj=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=