三角函數(shù)的積化和差與和差化積

1、精選文檔三角函數(shù)的積化和差與和差化積一、課標(biāo)要求：利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積公式，但不要求記憶.二、學(xué)問提要：三角函數(shù)的積化和差公式：積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過加減運(yùn)算推導(dǎo)而得.其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：三角函數(shù)的和差化積公式：和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要留意的是：其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sin+ sin=2 sincos積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元”思想.只有系數(shù)確定值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，假如一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函

2、數(shù)后再運(yùn)用公式化積.合一變形也是一種和差化積.三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用.積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不行分別，在解題過程中，要切實(shí)留意兩者的交替使用.如在一般狀況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡或計(jì)算.和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡求值.正由于如此“和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段.三、典型例題：1把下列各式化為和或差的形式：

3、解：2求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.解：法一 sin6°sin42°sin66°sin78° 法二 sin6°sin42°sin66°sin78° 3解：4求值：cos24°sin6°cos72°解：原式=(sin66°-sin6°)-cos72°=2cos36°sin30°-cos72°=cos36°-cos72°=2sin54°s

4、in18°=2cos36°cos72°=5求tan20°4sin20°的值.6求值： 解：原式=7已知sin(A+B)=，sin(A-B)=，求值： 解：原式=1sin22Asin2B=1sin22Asin2B=sin2B=sin(A+B)sin(AB)=×()=8求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.解：原式=1+(cos160°-cos40°)+sin100°-=-sin100°sin60°+sin100°=9試證：cos2(A-)+cos2(B)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值與無關(guān).證明：cos2(A-)+cos2(B)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-2cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-cos(A+B-2)-cos(A-B)=1- cos2(A-B)= sin2(A-B)原式的值只與A-B的值有關(guān)，而與的值