雙等腰三角形教師版

1、雙等腰三角形等腰三角形是幾何題目中常見(jiàn)的基本圖形，兩個(gè)等腰三角形為背景的題目也屢見(jiàn)不鮮，多數(shù)為兩個(gè)等腰三角形共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，或兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，或兩個(gè)等腰三角形的腰在同一直線上，那么有著特殊位置的兩個(gè)等腰三角形會(huì)有什么結(jié)論那？共腰雙等腰首先我們就一起研究一下兩個(gè)共腰的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共腰雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形各有一條腰在同一直線上,模型一、如圖， AB=AC , AD=AE，求證：/ BAD=2 ZEDC。AB=AC ,設(shè) ZABC= ZACB=a,AD=AE，設(shè) ZADE= ZAED=3,其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AE 與 AC 共線,AD 的夾角/ BAD=ZADC

2、-ZABC=232a, 啟 AD=2 zEDC。模型一變式、如圖， AB=AC ,如圖，AD=AE ,ZBAD=2 ZEDC，求證：AD=AE。ZBAD=2 ZEDC，求證：AB=AC。么兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角為兩個(gè)等腰三角形剩余底與底夾角的2倍。那么剩余的底 DE 與剩余的底BC 的夾角ZEDC=3 a,而剩余的腰和底不在同一直線上，那那么剩余的腰 AB 與剩余的腰模型二、如圖， AB=AC=AD ,求證：(1 )/CAD=2 /CBD;(2)/BAC=2ZBDC。AB=AD ,設(shè) ZABD= ZADB=a,AB=AC，設(shè) ZABC= ZACB=3,其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB 與

3、 AB 共線,那么剩余的底 BD 與剩余的底BC 的夾角ZDBC=3 a,那么剩余的腰 AC 與剩余的腰AD 的夾角ZCAD= /BAD- ZBAC=23-2a,AD=2JCBD。同理可證，/ BAC=2ZBDC。模型二變式、如圖， AB=AC，/CAD=2ZCBD，求證：AB=AD。如圖，AB=AC ,ZBAC=2ZBDC，求證:AB=AC 。模型二思考、等腰 ABC 與等腰 ACD 也可以看成是兩個(gè)共腰的等腰三角形,那么圖中誰(shuí)是剩余腰與腰的夾角，誰(shuí)是剩余底與底的夾角，它們之間還是否滿(mǎn)足2 倍的關(guān)系?模型三、如圖， AB=AC=AD，求證：(1)ZCAD=2 /CBD ; (2 )ZBAC=

4、2 ZBDC ; (3 )ZBAD=2 ZBCD。AB=AD，設(shè)厶 BD=厶 DB=a,例 1:如圖，RtABC 中，AB=AC , D、E 分別是 BC、AC 邊上一點(diǎn)，連接 AD、DE，若/BAD=2 /AB=AC ,設(shè)厶 BC=厶 CB=3,AD=2JCBD。模型二與模型三都可以看成點(diǎn) A 為BCD 的外心。模型一、二、三中兩個(gè)等腰三角形不光共腰，它們還共點(diǎn)，那是不是一定要滿(mǎn)足共點(diǎn)這個(gè)條件那？模型四、如圖，等腰 ABC 中，AB=AC，等腰ADEF 中，DE=DF，圖中 AB 與 DE 共線，那么剩余的 腰或底在圖中沒(méi)有交點(diǎn)， 就需要我們找到剩余A的腰或底所在直線，進(jìn)而找A到剩余腰與腰

5、的夾角和剩余底與底的夾角，通過(guò)前面的方法可證/ CPF=2 ZFQC。B典型例題賞析其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與 AB 共線,那么剩余的底 BD與剩余的底BC 的夾角ZDBC=3+a,那么剩余的腰 AC與剩余的腰AD的夾角ZCAD=23+2a,同理可證/ BAC=2ZBDC ;/BAD=2ZBCD。DCDE , CD=4 , AE=4,2，求 AC 的長(zhǎng)。例 1 解析：由 AB=AC 和 ZBAD=2JCDE，可得 AD=AE= 4,2,解AACD，可得 AC=2、2 2,6。例 2 解析：由 BG 是直角三角形 ABE 的斜邊中線，得 BG=AG ,由正方形 ABCD，得/BAC=45

6、，題中已知/BGH=90 得BGH=2 ZBAH ,由模型二的變式可得 GH=GB，為接下來(lái)固定圖形起到了至關(guān)重要的作用，設(shè) AH=k , CH=3k , BC=22k，連接 BH，得 BH=5k，由 GBH 為等腰直角三角形，得GB=GH=遠(yuǎn) k, AE=2BG=.10k, AB= 2.2k，得 BE= 云, 由厶 ADF 也 ZABE , DF=BE= Wk,2C例 2 :如圖，正方形 ABCD，過(guò)點(diǎn) A 作/EAF=90。，兩邊分別交直線DBC 于點(diǎn) E，交線段 CD 于點(diǎn) F，請(qǐng)占八例 1:如圖，RtABC 中，AB=AC , D、E 分別是 BC、AC 邊上一點(diǎn)，連接 AD、DE，若

7、/BAD=2 /AF=10k, CF=.2k，解 CFH，得 FH=.5k,得 AF=、2FH.例 3 :如圖，在菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上取點(diǎn) E,連接 BE，使/BEC=60 ，在 CD 邊上取點(diǎn) F，連1例 3 解析：本題由菱形構(gòu)成，菱形四條邊相等，所以不缺少等腰三角形，但是/CEF= ZABE 這個(gè)條21件不知如何使用。 連接 DE ,XBE 也DE ,ZABE=ZADE ,由 DA=DC ,ZCEF=ZADE ,得 DE=DF ,2設(shè) EO=k , BE=2k , DE=DF=2k , DC=BC=2k+4 , CO=16-k , B0=3k,勾股 BOC ,得 k=5 ,

8、AE=6。例 4:在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y - -x bx c與 x 軸正半軸交于點(diǎn) A,與 y 軸交于點(diǎn) B,直線AB 的解析式為y = -X 3.(1) 求拋物線解析式；(2) P 為線段 OA 上一點(diǎn)(不與 O、A 重合)，過(guò) P 作 PQ_bc 軸交拋物線于 Q,連接 AQ, M 為 AQ中點(diǎn)，連接 PM，過(guò) M 作 MN _LPM 交直線 AB 于 N，若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t,點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)為 n,求 n接 EF，且ZCEF=1ZABE，若2CF=4 ,CE=16BCQN 并延長(zhǎng)交 y 軸于 E,連接 AE，求 t 為何值時(shí)，MN /AE.錯(cuò)誤！未找到引用源。例 4 解析：有

9、已知可容易得(21）答案y = -X 2x 3。與 t 的函數(shù)關(guān)系;P A(2)共腰雙等腰部分(3 )在(2 )的條件下，連接2、如圖，在 ABC 中，/ABC=ZC , D、E 分別在 CB、AB 的延長(zhǎng)線上,連接 AD、DE ,且 ZE=1(3) MN=MP=MQ，得/NQP= / NMP=45 ,MHQ=ZAHP=45 ，得QNH=90 ，得 EQ 1AB , MN2/AE， 由M為AQ的中點(diǎn)， 得 N為EQ的中點(diǎn)， 得 AN垂直平分 EQ， 得AQ=AE， /EAO=QAEB-90 =(45 +QAEQ)-90 =QAEQ-45 又TQAQP=QAQE-45 , .zEAO=QAQP，

10、/EOA= ZQPA=90 , APQ BzOEA , AO=PQ=3，由 Q(t,-t22t 3),得-t22t 3,0(舍)，t?= 2。強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖：在厶 ABC 中，AB=AC，D、E 分別是 BC、ZCDE 的度數(shù).， 求ZADE，若/BDE=50，求ZDAC 的度數(shù).3、如圖，在 ABCBD、CD，若ACD，線段 BC 的垂直平分線交 AB 于點(diǎn) F，垂足為 E，D 為 EF 上一點(diǎn)，連接 AD、為等邊三角形，EF=2，求 BF 的長(zhǎng).EC4、如圖，在四邊形ABDC 中，連接 AD、BC，若D2、如圖，在 ABC 中，/ABC=ZC , D、E 分別在 CB、AB 的延長(zhǎng)線

11、上,連接 AD、DE ,且 ZE=AB=5，求 CD 的長(zhǎng).45、如圖，在菱形 ABCD 中，tan ZDAB= , AE=AB , AH JBE 于點(diǎn) H，連接 DE 交 AH 于點(diǎn) G,連3接 BG , BG=10，求 BE 的長(zhǎng).求 sinZADE 的值.6、如圖，RtKBC 中，/B=90 ,BAC=60，點(diǎn) E 是 AC 邊的中點(diǎn),AD 為 BC 上一點(diǎn)，若 BA=BD ,7、已知，在 ABC 中，AC=BC，匕 ACB=90 o, D 是 AC 的中點(diǎn)，E 為 AC 垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，連接邊垂足為 E，射線 EF 交直線4.5 時(shí)，求 AF 的長(zhǎng).AB 于 F，若 AC=4，四8

12、、如圖，在四邊形ABCD 中，連接 AC、BD ,AC=AD=BC ，/ABC=60,AD=2,7, CD= 2.3,求 BD 的長(zhǎng).AC7、已知，在 ABC 中，AC=BC，匕 ACB=90 o, D 是 AC 的中點(diǎn)，E 為 AC 垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，連接9、如圖，等邊 ABC 中,D 為直線 BC 下方一點(diǎn)，滿(mǎn)足/ BDC=90，將點(diǎn) C 沿直線 BD 折疊得到點(diǎn)E,連接 DE、AE，交射線 DB 于點(diǎn) F.(1 )求證：/ AEC=30 ;(2)請(qǐng)你猜想 AE、CE、BF 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論10、如圖，在 RtABC 中，/ACB=90。，點(diǎn) 0 在 AB 邊上，OB=OC

13、，點(diǎn) D 在 0C 的延長(zhǎng)線上，連接AD，點(diǎn) E 在 AD 上，0E 交 AC 于點(diǎn) F, OE=OC ,ZABC=JCAD+30。，若 OF=4 , DE=3，求 OD 的9、如圖，等邊 ABC 中,D 為直線 BC 下方一點(diǎn)，滿(mǎn)足/ BDC=90，將點(diǎn) C 沿直線 BD 折疊得到點(diǎn)長(zhǎng)3答案:1、/CDE=68 2、/DAC=100 3、BF=44、CD=、105、BE=8 ,5/ 16、sinZADE=-27、AF= 3 &或 AF= 5,28、BD=89、( 1)略;(2) CE+BF=AE10、OD=7啟 DC=ZBFE。共底雙等腰接下來(lái)我們就一起研究一下兩個(gè)共底的等腰三角形有

14、什么特性及其應(yīng)用。共底雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，而剩余的腰不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰三角形腰與腰的夾角等于兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角。模型一、女口圖，AB=AC , BD=DE , (1)求證：ZABD=JCDE ; (2)延長(zhǎng) ED 交 AB 于 F,求證：ZBDC= ZBFE。證明：(1 )VAB=AC ,設(shè) zABC=ZACB=a,QB=DE ,設(shè) ZDBE= ZDEB=3,其中兩個(gè)等腰三角形的底 BC 與 BE 共線，那么腰 AB 與腰 BD 的夾角ZABD=厶 BC- ZDBE=a 3,那么剩余的腰 AC 與剩余的腰 DE 的夾角ZCDE=厶 CB- ZDEB=

15、a-3,BD=ZCDE。(2)TAB=AC，設(shè)厶 BC=厶 CB=a,DB=DE，設(shè) zDBE= ZDEB=3,其中兩個(gè)等腰三角形的底 BC 與 BE 共線，那么腰 AB 與腰 DE 的夾角ZBFE=180 ZABC- ZDEB=180 a-3,那么剩余的腰 AC 與剩余的腰 BD 的夾角ZBDC=180 ZACB- ZDBE=180 a-3,E模型一變式、如圖，AB=AC，/ABD= /CDE，求證：BD=DE。模型二、如圖，點(diǎn) D 為射線 CA 上一點(diǎn)，點(diǎn) E 為 BC 上一點(diǎn)，AB 交 DE 于 F，若 AB=AC , DB=DE ,求證：（1 ）/ABD=JCDE ; （2）/BDC=

16、 ZBFE。證明：（1 ）VAB=AC ,設(shè) zABC=ZACB=a,QB=DE ,設(shè) zDBE= ZDEB=3,如圖，BD=DE ,其中兩個(gè)等腰三角形的底 BC 與 BE 共線,啟 DC=ZBFE。模型二變式、如圖，2如圖,3如圖,AB=AC，/ABD=JCDE,BD=DE，/ABD=JCDE,AB=AC，/BDC= ZBFE,BD=DE，/BDC= ZBFE,求證：BD=DE。 求證：AB=AC。求證：BD=DE。 求證：AB=AC。那么腰 AB 與腰 BD 的夾角/ABD= ZDBE - ZABC =伊a.那么剩余的腰 AC 與剩余的腰 DE 的夾角ZCDE= ZDEB - ZACB =

17、3-a,BD=ZCDE。(2)TAB=AC，設(shè)zABC=zACB=a,DB=DE，設(shè)zDBE=ZDEB=3,其中兩個(gè)等腰三角形的底 BC 與 BE 共線，那么腰 AB 與腰 DE 的夾角 /BFE=180 -ZABC- ZDEB=180 a-3,那么剩余的腰 AC 與剩余的腰 BD 的夾角ZBDC=180 -ZACB- ZDBE=180 a-3,4如圖,模型三、如圖，點(diǎn) D 為射線 CA 上一點(diǎn)，點(diǎn) E 為射線 CB 上一點(diǎn)，若證：/ABD= ZCDE。證明：AB=AC ,設(shè) ZABC=ZACB=a,QB=DE ,設(shè)JDBE= ZDEB=3,其中兩個(gè)等腰三角形的底 BC 與 BE 共線，那么腰

18、 AB 與腰 DB 的夾角/ABD=180ZABC- ZDBE=180a-3,那么剩余的腰 AC 與剩余的腰 DE 的夾角ZCDE=180 ZACB- ZDEB=180 a-3,求模型三思考： 圖中兩個(gè)等腰三角形的底 BC 與 BE 共線，腰 AC 與腰腰 DB 的夾角為ZBDC ,那么剩余的腰 AB 與剩余的腰 DE 在圖中沒(méi)有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余的腰或底所在直 剩余腰與腰的夾角ZAFD，通過(guò)前面的方法可證ZBDC=ZAFD。典型例題賞析例 1 :如圖，等腰直角 ABC，/BAC=90 ,AB=AC , D 是 AB 上一點(diǎn)，連接 CD、DE，若CD=DE ,例 1 解析：AB=AC ,

19、 CD=DE，由共底雙等腰，得/ BDE= ZACD，過(guò) D 作 DF BC 交 AC 于 F，導(dǎo)角得 ZCFD= ZDBE=135 ，可得 ZCDF 也DB，/-BE=DF，由 DF=. 2AD，/-BE= .2AD。例 2:如圖，ABC 為等邊三角形，D 為 AB 上一點(diǎn)，點(diǎn) E 為 CD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CB，連接 BE例 2 解析：題目中已經(jīng)具備了等邊三角形ABC 和等腰三角形 CBE，并且兩個(gè)等腰三角形還是共腰的雙等腰，但是并不足以解決求CD 的問(wèn)題，所以我們?cè)?CF 上取點(diǎn) G,連接 BG,使得 FG=BG，再構(gòu)造出一個(gè)等腰 GFB ,由 CE=CB ,形成共底雙等腰，得 ZG

20、BC= ZFCE ,再由題目中的等邊三角形 ABC , 就出現(xiàn)了我們非常熟悉的ACD BZBCG ,.AD=CG=3 , FG=CF-CG=7-3=4 ，由 ACD 也/BCG , /CD=BG=FG=4。并延長(zhǎng)交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)U例 3 :如圖，在半OO 中，AB 為直徑，C 在半OO 上，且AC =BC，當(dāng) AB=4 時(shí)，連接 AC.(1 )求 AC 的長(zhǎng);(2)在BC上有一點(diǎn) D，當(dāng)tan . CAD=-時(shí)，求 AD 的長(zhǎng);3(3)在(2)的條件下，CD上有一點(diǎn) E,過(guò) E 作 EF 平行 AC 交 AD 于 F，連接 BE、BF，若 BE=BF ,(3)題目中已經(jīng)具備等腰三角形BE

21、F， 延長(zhǎng) EF 交 AB 于 P , vEF /AC ,二左 PB= /CAB=45 ， 過(guò) E 作 EM 1AB于 M，構(gòu)造出第二個(gè)等腰三角形 MEP，由共底雙等腰得，/ BEM= ZFBP，過(guò) F 作 FH 1AB1于 N, ZEMB zBNF , .-FN=BM ,設(shè) BM=k ,則 FN=k ,由 tan ZDAB= , .-AN=2k , BN=4-2k , .-EM=4-2k ,2,在AOEM 中,OE2 2=OM EM,OBM=k ,0M=2-k，連接 OE ,vZEMO=902共底雙等腰部例 3 解析：由已知條件，很容易求出(1）AC=2、2，（ 2）AD=8L5。5B點(diǎn) D 為射線 BA 上一點(diǎn)，作 DE=DC，交直線 BC 于點(diǎn) E ./ABC 的平分線A 作 AH JCD 于 H,當(dāng)/EDC=30 ,CF=4，求 DH 的長(zhǎng).強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖，等邊 ABC 中,BPC 的度數(shù).D 是 BC 的中點(diǎn),F2、如圖，等邊 ABC 中,BF，交 CD 于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn)4、如圖，等腰 ABC 中，AB=AC，過(guò) A 作 AD 1AB 交 BCAC 于 F，求證：EF=AB.D，過(guò) D 作 DE _LAC 于 E，過(guò) B 作 BF 丄5、如圖、等腰 ABC , AB=AC，將線段 AB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得線段 A