高量7-01二次量子化方法b

1、2022-4-31年月年月第七章第七章 二次量子化方法二次量子化方法2022-4-32引言引言全同多粒子體系全同多粒子體系難以用通常的波函數(shù)處理難以用通常的波函數(shù)處理因而發(fā)展了因而發(fā)展了二次量子化方法二次量子化方法 引入引入粒子占有數(shù)表象粒子占有數(shù)表象用各單粒子態(tài)填充用各單粒子態(tài)填充的粒子數(shù)描述狀態(tài)；的粒子數(shù)描述狀態(tài)；交換對(duì)稱性交換對(duì)稱性自動(dòng)滿足自動(dòng)滿足 基本算符：粒子的基本算符：粒子的產(chǎn)生算符產(chǎn)生算符和和消滅算符消滅算符 任意態(tài)矢和力學(xué)量均可用它們表示任意態(tài)矢和力學(xué)量均可用它們表示 有系統(tǒng)的法則計(jì)算力學(xué)量的矩陣元有系統(tǒng)的法則計(jì)算力學(xué)量的矩陣元2022-4-337.1中心場近似中心場近似Cen

2、tral Field Approximation 2022-4-34一、多粒子體系的哈密頓量一、多粒子體系的哈密頓量考察序數(shù)為考察序數(shù)為 Z 的原子中的原子中 Z 個(gè)電子構(gòu)成的體系個(gè)電子構(gòu)成的體系在非相對(duì)論近似下，哈密頓量為在非相對(duì)論近似下，哈密頓量為ZirZeimiH122022|21jiijZjirerrrHijZiiiislrH)(22022-4-35一、多粒子體系的哈密頓量一、多粒子體系的哈密頓量對(duì)哈密頓量的分析對(duì)哈密頓量的分析序數(shù)的相對(duì)影響依賴于原子和21HH輕輕原子，前者重要，后者可視作微擾原子，前者重要，后者可視作微擾重重原子反之；原子反之；一般一般原子，二者都較重要原子，二者都

3、較重要120HHHHZiiiirZeimZiislrhHHi122120)(22為單粒子算符之和，可分離變量求解為單粒子算符之和，可分離變量求解2022-4-36二、中心場近似二、中心場近似 用單粒子位代替庫侖排斥力用單粒子位代替庫侖排斥力不能嚴(yán)格求解的存在使得EHH1因電子間庫侖斥力具有很大的球?qū)ΨQ成分因電子間庫侖斥力具有很大的球?qū)ΨQ成分可取一球?qū)ΨQ的可取一球?qū)ΨQ的單粒子位函數(shù)單粒子位函數(shù)之和代替之和代替ZiiZjireZiiirUrUhHij11)()(2視為微擾的選取應(yīng)使二者之差可)(irU中心場近似中心場近似2022-4-37二、中心場近似二、中心場近似 中心場近似的實(shí)質(zhì)中心場近似的實(shí)

4、質(zhì)將將 Z 個(gè)具有相互作用的電子看作相互無作用個(gè)具有相互作用的電子看作相互無作用地在一個(gè)共同的中心場中運(yùn)動(dòng)地在一個(gè)共同的中心場中運(yùn)動(dòng)零級(jí)近似零級(jí)近似零級(jí)近似哈密頓量零級(jí)近似哈密頓量ZiiirUhH10)(分離變量求解分離變量求解), 2 , 1 (), 2 , 1 (0NENH2022-4-38二、中心場近似二、中心場近似原子核物理中的獨(dú)立粒子模型原子核物理中的獨(dú)立粒子模型2022-4-397.2N個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)零級(jí)近似波函數(shù)零級(jí)近似波函數(shù)2022-4-310一、一、Slater行列式行列式 全同粒子具有不可分辨性全同粒子具有不可分辨性全同多粒子體系的波函數(shù)必須滿

5、足全同多粒子體系的波函數(shù)必須滿足交換對(duì)稱性交換對(duì)稱性 費(fèi)米子費(fèi)米子交換反對(duì)稱交換反對(duì)稱泡利不相容原理泡利不相容原理 玻色子玻色子交換對(duì)稱交換對(duì)稱中心場近似下中心場近似下N個(gè)費(fèi)米子體系的狀態(tài)波函數(shù)個(gè)費(fèi)米子體系的狀態(tài)波函數(shù)Slater行列式行列式；寫成求和形式；寫成求和形式N個(gè)對(duì)象的排列算符；個(gè)對(duì)象的排列算符； N=3的例子的例子2022-4-311二、全同玻色子體系的波函數(shù)二、全同玻色子體系的波函數(shù)N個(gè)玻色子占有個(gè)玻色子占有N個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)一般表達(dá)式一般表達(dá)式N=3的例子的例子N個(gè)玻色子占有個(gè)玻色子占有m個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)一般表達(dá)式一般表達(dá)式N=3的例子的例子2022-4-312三、一般結(jié)論三、一般結(jié)論

6、對(duì)稱性確保滿足全同性對(duì)稱性確保滿足全同性不可分辨性不可分辨性費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對(duì)稱性費(fèi)米子體系波函數(shù)的反對(duì)稱性確保滿足泡利不相容原理確保滿足泡利不相容原理在中心場近似下，只需知道在中心場近似下，只需知道1、哪幾個(gè)單粒子態(tài)被占有、哪幾個(gè)單粒子態(tài)被占有2、每個(gè)單粒子態(tài)上有幾個(gè)粒子、每個(gè)單粒子態(tài)上有幾個(gè)粒子即可知道全同粒子體系的狀態(tài)即可知道全同粒子體系的狀態(tài)2022-4-3137.3粒子數(shù)表象粒子數(shù)表象Representation of Particle Number 2022-4-314一、粒子數(shù)表象的由來一、粒子數(shù)表象的由來引入粒子的產(chǎn)生和消滅算符引入粒子的產(chǎn)生和消滅算符上述結(jié)論啟發(fā)人們采用上

7、述結(jié)論啟發(fā)人們采用粒子數(shù)表象粒子數(shù)表象以簡化多粒子體系力學(xué)量矩陣元的計(jì)算以簡化多粒子體系力學(xué)量矩陣元的計(jì)算這種方法就叫做這種方法就叫做二次量子化方法二次量子化方法2022-4-315二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符產(chǎn)生算符的定義產(chǎn)生算符的定義真空態(tài)定義；歸一化條件真空態(tài)定義；歸一化條件單個(gè)粒子的狀態(tài)單個(gè)粒子的狀態(tài)N個(gè)粒子的狀態(tài)個(gè)粒子的狀態(tài)2022-4-316二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符二、粒子的真空態(tài)；產(chǎn)生消滅算符消滅算符的定義消滅算符的定義作用于真空態(tài)的效果作用于真空態(tài)的效果產(chǎn)生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米產(chǎn)生和消滅算符互為厄米共軛；非厄米2022-4-317

8、7.4粒子數(shù)表象中費(fèi)米子體系粒子數(shù)表象中費(fèi)米子體系的波函數(shù)及力學(xué)量的表示的波函數(shù)及力學(xué)量的表示2022-4-318一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系的對(duì)易關(guān)系產(chǎn)生算符表示狀態(tài)應(yīng)與產(chǎn)生算符表示狀態(tài)應(yīng)與Slater行列式等價(jià)行列式等價(jià)產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系產(chǎn)生算符的對(duì)易關(guān)系消滅算符的對(duì)易關(guān)系消滅算符的對(duì)易關(guān)系2022-4-319一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系的對(duì)易關(guān)系態(tài)矢量的正交歸一化態(tài)矢量的正交歸一化產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系產(chǎn)生算符與消滅算符之間的對(duì)易關(guān)系態(tài)矢量內(nèi)積；三個(gè)可能值態(tài)矢量內(nèi)積；三個(gè)可能值N=1的情況的情況

9、N=2的情況的情況2022-4-320一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系的對(duì)易關(guān)系N個(gè)費(fèi)米子處于個(gè)費(fèi)米子處于N個(gè)單粒子態(tài)的態(tài)矢量表示個(gè)單粒子態(tài)的態(tài)矢量表示態(tài)矢量表示態(tài)矢量表示厄米共軛厄米共軛反對(duì)易關(guān)系反對(duì)易關(guān)系利用對(duì)易關(guān)系計(jì)算利用對(duì)易關(guān)系計(jì)算Niia2101111 |2022-4-321一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系的對(duì)易關(guān)系iiPinnnnnnnai1|)(|2121, 3 , 2 , 110ini，或11irrnP1|1)(|2121iiPinnnnnnnai2022-4-322一、波函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符一、波

10、函數(shù)的表示；產(chǎn)生消滅算符的對(duì)易關(guān)系的對(duì)易關(guān)系iiinnnnnnnaaii2121|0in當(dāng)1in當(dāng)iiiaaN的意義的意義粒子數(shù)算符粒子數(shù)算符總粒子數(shù)算符總粒子數(shù)算符2022-4-323二、力學(xué)量的表示二、力學(xué)量的表示單粒子算符單粒子算符例：單粒子動(dòng)能算符例：單粒子動(dòng)能算符N個(gè)粒子體系的動(dòng)能算符個(gè)粒子體系的動(dòng)能算符在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義其中矩陣元的含義2022-4-324二、力學(xué)量的表示二、力學(xué)量的表示雙粒子算符雙粒子算符例：兩個(gè)粒子相互作用位能算符例：兩個(gè)粒子相互作用位能算符N個(gè)粒子體系總的相互作用位能算符個(gè)粒子體系總的相互作用位能算符在粒子數(shù)表象中的表

11、達(dá)式在粒子數(shù)表象中的表達(dá)式其中矩陣元的含義其中矩陣元的含義2022-4-325二、力學(xué)量的表示二、力學(xué)量的表示力學(xué)量表達(dá)式的由來力學(xué)量表達(dá)式的由來要求與波動(dòng)力學(xué)矩陣元表達(dá)式相等而總結(jié)得到要求與波動(dòng)力學(xué)矩陣元表達(dá)式相等而總結(jié)得到單粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元單粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個(gè)態(tài)不相同的情況有一個(gè)態(tài)不相同的情況雙粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元雙粒子算符在多粒子態(tài)矢量間的矩陣元有一個(gè)態(tài)不相同的情況有一個(gè)態(tài)不相同的情況2022-4-326二、力學(xué)量的表示二、力學(xué)量的表示力學(xué)量表達(dá)式的由來力學(xué)量表達(dá)式的由來在粒子數(shù)表象下用上述力學(xué)量計(jì)算的結(jié)果在粒子數(shù)表象下用上述力學(xué)量計(jì)算的結(jié)

12、果與此完全一致與此完全一致2022-4-3277.5維克定理維克定理Wick Theorem2022-4-328一、正規(guī)積與收縮一、正規(guī)積與收縮正規(guī)積定義正規(guī)積定義一個(gè)以上產(chǎn)生消滅算符乘積的正規(guī)積為全部一個(gè)以上產(chǎn)生消滅算符乘積的正規(guī)積為全部產(chǎn)生算符排在全部消滅算符的左邊產(chǎn)生算符排在全部消滅算符的左邊例子；正負(fù)號(hào)問題例子；正負(fù)號(hào)問題正規(guī)積作用于真空態(tài)正規(guī)積作用于真空態(tài)2022-4-329一、正規(guī)積與收縮一、正規(guī)積與收縮收縮的定義收縮的定義兩算符乘積的收縮乘積正規(guī)積兩算符乘積的收縮乘積正規(guī)積總共只有四種收縮總共只有四種收縮收縮是個(gè)數(shù)收縮是個(gè)數(shù)ABABNABAB0| )(|00|02022-4-33

13、0二、二、Wick定理定理n個(gè)產(chǎn)生算符與個(gè)產(chǎn)生算符與m個(gè)消滅算符的交叉乘積個(gè)消滅算符的交叉乘積在真空態(tài)上的平均值在真空態(tài)上的平均值當(dāng)當(dāng)n+m=奇數(shù)，為零奇數(shù)，為零當(dāng)當(dāng)n+m=偶數(shù)，為一切可能的收縮乘積之和偶數(shù)，為一切可能的收縮乘積之和例：例：0|0321aaa0|04321aaaa2022-4-331三、三、Wick定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用利用利用Wick定理，可以方便地計(jì)算矩陣元定理，可以方便地計(jì)算矩陣元0|02112aaaaaaaa計(jì)算單粒子算符和雙粒子算符矩陣元計(jì)算單粒子算符和雙粒子算符矩陣元0|011NNaaaaaa列表列表Niii12022-4-332三、三、Wick定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用計(jì)算單粒子算符的矩陣元（續(xù)）計(jì)算單粒子算符的矩陣元（續(xù)）0|011NNaaaataa2022-4-333三、三、Wick定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用計(jì)算雙粒子算符的矩陣元計(jì)算雙粒子算符的矩陣元0|011NNaaaaaaaa)(11ijjijijiiji