強烈推薦】2011年高考數(shù)學沖刺復習資料(共分五大專題)

1、2009年高考數(shù)學沖刺復習資料（共分五大專題）專題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，在高考中，主要出現(xiàn)在解答題的第一個試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換公式、性質與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，在高考中是一個熱點.如08年安徽理科第5題(5分)，考查三角函數(shù)的對稱性與向量平移、08年山東文第8題理第15題(5分)考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第17題(12分)考查三角函數(shù)的求值與向量積、07的天津文理第15題(4分)考查正余弦定理

2、與向量數(shù)量積等.根據(jù)2009年考綱預計在09年高考中解答題仍會涉及三角函數(shù)的基本恒等變換公式、誘導公式的運用、三角函數(shù)的圖像和性質、向量的數(shù)量積、共線(平行)與垂直的充要條件條件主要考查題型：(1)考查純三角函數(shù)函數(shù)知識，即一般先通過三角恒等變換公式化簡三角函數(shù)式，再求三角函數(shù)的值或研究三角函數(shù)的圖象及性質；(2)考查三角函數(shù)與向量的交匯，一般是先利用向量知識建立三角函數(shù)關系式，再利用三角函數(shù)知識求解；(3)考查三角函數(shù)知識與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起.【考試要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定義了解余切、正割、余割的定義掌握同角三角函數(shù)的基本關系式掌握正弦

3、、余弦的誘導公式了解周期函數(shù)與最小正周期的意義2掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正確運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明4理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(x+)的簡圖，理解A，的物理意義5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形6掌握向量的加法和減法掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算8掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問

4、題，掌握向量垂直的條件9掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式【考點透視】向量具有代數(shù)運算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以象數(shù)一樣滿足“運算性質”進行代數(shù)形式的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.而三角函數(shù)是以“角”為自變量的函數(shù)，函數(shù)值體現(xiàn)為實數(shù)，因此平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系.同時在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性.主要考點如下：1考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.2考查三角函數(shù)的性質與圖像，特別是y=Asin(wx+j)的性質和圖像及其圖像變換.3考查平面向量

5、的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要用以解決有關長度、夾角、垂直、平行問題等.4考查向量的坐標表示，向量的線性運算，并能正確地進行運算.5考查平面向量的數(shù)量積及運算律(包括坐標形式及非坐標形式)，兩向量平行與垂直的充要條件等問題.6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問題.【典例分析】題型一三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個知識系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實質是一樣的，它們都統(tǒng)一于同一坐標系的變化前后的兩個圖象中.解答平移問題主要注意兩個方面的確定：(1)平移的方向；(2)平移的單位.這兩個方面就是體現(xiàn)為在平移過程中對應的向量

6、坐標.【例1】把函數(shù)ysin2x的圖象按向量(，3)平移后，得到函數(shù)yAsin(xj)(A0，0，|j|)的圖象，則j和B的值依次為（ ）A，3B，3C，3D，3【分析】根據(jù)向量的坐標確定平行公式為，再代入已知解析式可得.還可以由向量的坐標得圖象的兩個平移過程，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經(jīng)對照即可作出選擇.【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入ysin2x得y¢3sin2(x¢)，即到y(tǒng)sin(2x)3，由此知j，B3，故選C.【解析2】由向量(，3)，知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體向左平移個單位，再向下平移3個單位，由此可得函數(shù)的圖象為ysin2(x)

7、3，即ysin(2x)3，由此知j，B3，故選C.【點評】此類題型將三角函數(shù)平移與向量平移有機地結合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應用能力，同時考查方程的思想及轉化的思想.本題解答的關鍵，也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小.題型二三角函數(shù)與平面向量平行(共線)的綜合此題型的解答一般是從向量平行(共線)條件入手，將向量問題轉化為三角問題，然后再利用三角函數(shù)的相關知識再對三角式進行化簡，或結合三角函數(shù)的圖象與民性質進行求解.此類試題綜合性相對較強，有利于考查學生的基礎掌握情況，因此在高考中常有考查.【例2】已知A、B、C為三個銳角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsin

8、A)與向量(cosAsinA，1sinA)是共線向量.（）求角A；（）求函數(shù)y2sin2Bcos的最大值.【分析】首先利用向量共線的充要條件建立三角函數(shù)等式，由于可求得A角的正弦值，再根據(jù)角的范圍即可解決第()小題；而第()小題根據(jù)第()小題的結果及A、B、C三個角的關系，結合三角民恒等變換公式將函數(shù)轉化為關于角B的表達式，再根據(jù)B的范圍求最值.【解】（）、共線，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，則sin2A，又A為銳角，所以sinA，則A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2Bsin2Bcos

9、2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.【點評】本題主要考查向量共線(平行)的充要條件、三角恒等變換公式及三角函數(shù)的有界性.本題解答有兩個關鍵：（1）利用向量共線的充要條件將向量問題轉化為三角函數(shù)問題；（2）根據(jù)條件確定B角的范圍.一般地，由于在三角函數(shù)中角是自變量，因此解決三角函數(shù)問題確定角的范圍就顯得至關重要了.題型三三角函數(shù)與平面向量垂直的綜合此題型在高考中是一個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要條件將向量問題轉化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解.此類題型解答主要體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想、轉化的思想等.【例3】已知向

10、量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值；（）求cos()的值【分析】第()小題從向量垂直條件入手，建立關于的三角方程，再利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得tan的值；第()小題根據(jù)所求得的tan的結果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用兩角和與差的三角公式求得最后的結果【解】（），·0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故·6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，ta

11、n2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin××【點評】本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù).同時本題兩個小題的解答都涉及到角的范圍的確定，再一次說明了在解答三角函數(shù)問題中確定角的范圍的重要性.同時還可以看到第（）小題的解答中用到“弦化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現(xiàn)“切函數(shù)與弦函數(shù)”關系問題常用方法.題型四三角函數(shù)與平面向量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質|22，如果涉及到向量的坐標解答時可利用兩種方法：（1）先進行向量運算，再代入向量的坐標進行求解；（2）先將向量的坐標代入向量的坐

12、標，再利用向量的坐標運算進行求解.【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.【分析】利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標運算可解決第()小題；而第()小題則可變角()，然后就須求sin()與cos即可.【解】()|，22·2，將向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，cos().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.點評：本題主要考查向量的模、數(shù)量積的坐標運算、和角公式、同角三角函數(shù)的基本關系.

13、本題解答中要注意兩點：(1)化|為向量運算|2()2；(2)注意解的范圍.整個解答過程體現(xiàn)方程的思想及轉化的思想.題型五三角函數(shù)與平面向量數(shù)量積的綜合此類題型主要表現(xiàn)為兩種綜合方式：(1)三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系；(2)利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達到與數(shù)量積的綜合.解答時也主要是利用向量首先進行轉化，再利用三角函數(shù)知識求解.20090318【例5】設函數(shù)f(x)·.其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求實數(shù)m的值；（）求函數(shù)f(x)的最小值.分析：利用向量內積公式的坐標形式，將題設條件中所涉及的向量內積轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，從而，建立函

14、數(shù)f(x)關系式，第（）小題直接利用條件f()2可以求得，而第()小題利用三角函數(shù)函數(shù)的有界性就可以求解.解：（）f(x)·m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)1，當sin(x)1時，f(x)的最小值為1.點評：平面向量與三角函數(shù)交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數(shù)的交匯試題，其解法都差不多，首先都是利用向量的知識將條件轉化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關系”，再利用三角函數(shù)的相關知識進行求解六、解斜三角形與向量的綜合在三角形的正弦定理與余弦

15、定理在教材中是利用向量知識來推導的，說明正弦定理、余弦定理與向量有著密切的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要體現(xiàn)為以三角形的角對應的三角函數(shù)值為向量的坐標，要求根據(jù)向量的關系解答相關的問題.【例6】已知角A、B、C為ABC的三個內角，其對邊分別為a、b、c，若(cos，sin)，(cos，sin)，a2，且·（）若ABC的面積S，求bc的值（）求bc的取值范圍【分析】第()小題利用數(shù)量積公式建立關于角A的三角函數(shù)方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通過三角形的面積公式及余弦定理建立關于b、c的方程組求取bc的值；第()小題正弦定理及三角形內角和定理建立關于B的三角函數(shù)式，進而求得bc的

16、范圍.【解】（）(cos，sin)，(cos，sin)，且·，cos2sin2，即cosA，又A(0，)，A.又由SABCbcsinA，所以bc4，由余弦定理得：a2b2c22bc·cosb2c2bc，16(bc)2，故bc4.（）由正弦定理得：4，又BCpA，bc4sinB4sinC4sinB4sin(B)4sin(B)，0B，則B，則sin(B)1，即bc的取值范圍是(2，4.點評本題解答主要考查平面向量的數(shù)量積、三角恒等變換及三角形中的正弦定理、余弦定理、面積公式、三角形內角和定理等.解答本題主要有兩處要注意：第()小題中求bc沒有利用分別求出b、c的值為解，而是利用

17、整體的思想，使問題得到簡捷的解答；(2)第()小題的求解中特別要注意確定角B的范圍.【專題訓練】一、選擇題1已知(cos40°，sin40°)，(cos20°，sin20°)，則·（ ）A1BCD2將函數(shù)y2sin2x的圖象按向量(，)平移后得到圖象對應的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若·0，則ABC是（ ）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D任意三角形4設(,sina)，(cosa,)，且，則銳角a為（ ）A30°B45°C60°D75°

18、;5已知(sin，)，(1，)，其中(，)，則一定有（ ）ABC與夾角為45°D|6已知向量(6，4)，(0，2),l，若C點在函數(shù)ysinx的圖象上,實數(shù)l（ ）ABCD7由向量把函數(shù)ysin(x)的圖象按向量(m，0)(m0)平移所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小值為（ ）ABCD8設02時，已知兩個向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，則向量長度的最大值是（ ）ABC3D29若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，則與一定滿足（ ）A與的夾角等于abBCD()()10已知向量(cos25°,sin25°)，(sin20°,c

19、os20°)，若t是實數(shù)，且t，則|的最小值為（ ）AB1CD11O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：l()，l(0,)，則直線AP一定通過ABC的（ ）A外心B內心C重心D垂心2009031812對于非零向量我們可以用它與直角坐標軸的夾角a,b(0ap,0bp)來表示它的方向，稱a,b為非零向量的方向角，稱cosa,cosb為向量的方向余弦，則cos2acos2b（ ）A1BCD0二、填空題13已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，則sin2q的值為_14已知在OAB(O為原點)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若&

20、#183;5，則SAOB的值為_.15將函數(shù)f(x)tan(2x)1按向量a平移得到奇函數(shù)g(x)，要使|a|最小，則a_.16已知向量(1，1)向量與向量夾角為，且·1.則向量_三、解答題17在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若··k(kR).（）判斷ABC的形狀；（）若c，求k的值18已知向量(sinA,cosA)，(,1)，·1，且為銳角.()求角A的大??；()求函數(shù)f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域19在ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，滿足，bca

21、.()求A的大??；()求sin(B)的值20已知A、B、C的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）.（）若(，0)，且|，求角的大小；（）若，求的值21ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，(2bc，a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大??；()當y2sin2Bsin(2B)取最大值時，求角的大小.22已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求證：向量與向量不可能平行；（）若f(x)·，且x,時，求函數(shù)f(x)的最大值及最小值【專題訓練】參考答案一、選擇題1B解析：由數(shù)量積的坐標表示知·cos40

22、76;sin20°sin40°cos20°sin60°.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因為cosBAC0，BAC為鈍角.4B 【解析】由平行的充要條件得×sinacosa0，sin2a1，2a90°，a45°.5B 【解析】·sin|sin|，(，)，|sin|sin，·0，6A 【解析】l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7B 【解析】考慮把函數(shù)ysin(x)的圖象變換為ycosx的圖象，而ysin(x)cos(x)，即把ycos

23、(x)的圖象變換為ycosx的圖象，只須向右平行個單位，所以m，故選B.8C 【解析】|3.9D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()·()cos2acos2bsin2asin2b0，()()10C 【解析】|2|2t2|22t·1t22t(sin20°cos25°cos20°sin25°)t2t1(t)2，|，|min.11C 【解析】設BC的中點為D，則2，又由l()，2l，所以與共線，即有直線AP與直線AD重合，即直線AP一定通過ABC的重心12A 【解析】設(x,y)，x

24、軸、y軸、z軸方向的單位向量分別為(1,0)，(0,1)，由向量知識得cosa，cosb，則cos2acos2b1.二、填空題13 【解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q14 【解析】·5Þ10cosacobs10sinasinb5Þ10cos(ab)5Þcos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB×2×5×15（，1） 【解析】要經(jīng)過平移得到奇函數(shù)g(x)，應將函數(shù)f(x)tan(2x)1的圖象向下平移1個單位，再向右平移(kZ)個單位即應按照向量(，1) (kZ)進行平移要使|a|最小，16(1

25、，0)或(0，1) 【解析】設(x，y)，由·1，有xy1 ，由與夾角為，有·|·|cos，|1，則x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答題17【解】（）·bccosA，·cacosB，又··，bccosAcacosB，由正弦定理，得sinBcosAsinAcosB，即sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0AB，AB0，即AB，ABC為等腰三角形.（）由（）知，·bccosAbc·，c，k1.18【解】()由題意得·sinAcosA1，2sin(A)1，sin(

26、A)，由A為銳角得A，A.()由（）知cosA，所以f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx)2，因為xR，所以sinx1,1，因此，當sinx時，f(x)有最大值當sinx1時，f(x)有最小值3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是3，19【解】()由，得2sin2A1cosA0，即2cos2AcosA10，cosA或cosA1.A是ABC內角，cosA1舍去，A.()bca，由正弦定理，sinBsinCsinA，BC，sinBsin(B)，cosBsinB，即sin(B)20【解】（）由已知得：，則sincos，因為(，0)，.（）由(3cos4)·3cos3s

27、in·(3sin4)0，得sincos，平方，得sin2.而2sincossin221【解】()由，得·0，從而(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、B(0，)，sinB0，cosA，故A.()y2sin2B2sin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin1sin2B cos2B1sin(2B).由()得，0B，2B，當2B，即B時，y取最大值2.22【解】（）假設，則2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，2

28、cos2xsinxcosxsin2x0，2·sin2x0，即sin2xcos2x3，(sin2x)3，與|(sin2x)|矛盾，故向量與向量不可能平行（）f(x)·(cosxsinx)·(cosxsinx)sinx·2cosxcos2xsin2x2sinxcosxcos2xsin2x(cos2xsin2x)(sin2x)，x，2x，當2x，即x時，f(x)有最大值；當2x，即x時，f(x)有最小值1專題二：函數(shù)與導數(shù)的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】函數(shù)的觀點和方法既貫穿了高中代數(shù)的全過程，又是學習高等數(shù)學的基礎，是高考數(shù)學中極為重要的內容，縱觀全國及

29、各自主命題省市近三年的高考試題，函數(shù)與導數(shù)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值26分左右，如08年福建文11題理12題(5分)為容易題，考查函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系、08年江蘇14題(5分)為容易題，考查函數(shù)值恒成立與導數(shù)研究單調性、08年北京文17題(12分)為中檔題考查函數(shù)單調性、奇偶性與導數(shù)的交匯、08年湖北理20題(12分)為中檔題，考查利用導數(shù)解決函數(shù)應用題、08年遼寧理22題(12分)為中檔題，考查函數(shù)利用導數(shù)確定函數(shù)極值與單調性問題等.預測2009年關于函數(shù)與導數(shù)的命題趨勢，仍然是難易結合，既有基本題也有綜合題，函數(shù)與導數(shù)的交匯的考查既有基本題也有綜合題，基本題以考查

30、基本概念與運算為主，考查函數(shù)的基礎知識及函數(shù)性質及圖象為主，同時考查導數(shù)的相關知識，知識載體主要是三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題.主要題型：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值問題；(2)考查以函數(shù)為載體的實際應用題，主要是首先建立所求量的目標函數(shù)，再利用導數(shù)進行求解.【考試要求】1了解函數(shù)的單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性、奇偶性的方法2了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)3掌握有理指數(shù)冪的運算性質掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質4掌握對數(shù)的運算性質；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質5能夠運用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質解決

31、某些簡單的實際問題6了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念7熟記基本導數(shù)公式（c，xm（m為有理數(shù)），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導數(shù)）；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)8理解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【考點透視】高考對導數(shù)的考查主要以工具的方式進行命題，充分與函數(shù)相結合.其主要考點：（1）考查利用導

32、數(shù)研究函數(shù)的性質（單調性、極值與最值）；（2）考查原函數(shù)與導函數(shù)之間的關系；（3）考查利用導數(shù)與函數(shù)相結合的實際應用題.從題型及考查難度上來看主要有以下幾個特點：以填空題、選擇題考查導數(shù)的概念、求函數(shù)的導數(shù)、求單調區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值；與導數(shù)的幾何意義相結合的函數(shù)綜合題，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性或求單調區(qū)間、最值或極值，屬于中檔題；利用導數(shù)求實際應用問題中最值，為中檔偏難題.【典例分析】題型一導函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關系如果原函數(shù)定義域內可導，則原函數(shù)的圖象f(x)與其導函數(shù)f¢(x)的圖象有密切的關系：1導函數(shù)f¢(x)在x軸上、下方圖象與原函數(shù)圖象上升、下降的對應關

33、系： （1）若導函數(shù)f¢(x)在區(qū)間D上恒有f¢(x)0，則f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)，由此進一步得到導函數(shù)f¢(x)圖象在x軸上方的圖象對應的區(qū)間D為原函數(shù)圖象中的上升區(qū)間D； （2）若導函數(shù)f¢(x)在區(qū)間D上恒有f¢(x)0，則f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)，由此進一步得到導函數(shù)f¢(x)圖象在x軸下方的圖象對應的區(qū)間為原函數(shù)圖象中的下降區(qū)間.2導函數(shù)f¢(x)圖象的零點與原函數(shù)圖象的極值點對應關系：導函數(shù)f¢(x)圖象的零點是原函 數(shù)的極值點.如果在零點的左側為正，右側為負，則導函數(shù)的零點為原函數(shù)的極大值點；

34、如果在零點的左側為負，右側為正，則導函數(shù)的零點為原函數(shù)的極小值點.【例1】如果函數(shù)yf(x)的圖象如右圖，那么導函數(shù)yf¢(x)的圖象可能是（ ）【分析】根據(jù)原函數(shù)yf(x)的圖象可知，f(x)有在兩個上升區(qū)間，有兩個下降區(qū)間，且第一個期間的上升區(qū)間，然后相間出現(xiàn)，則反映在導函數(shù)圖象上就是有兩部分圖象在x軸的上方，有兩部分圖象在x軸的下方，且第一部分在x軸上方，然后相間出現(xiàn).【解】由原函數(shù)的單調性可以得到導函數(shù)的正負情況依次是正負正負,只有答案A滿足.【點評】本題觀察圖象時主要從兩個方面：(1)觀察原函數(shù)f(x)的圖象哪些的上升區(qū)間？哪些下降區(qū)間？；(2)觀察導函數(shù)f¢(x

35、)的圖象哪些區(qū)間在大于零的區(qū)間？哪些部分昌小于零的區(qū)間？【例2】設f¢(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，yf¢(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象最有可能是（ ）【分析】先觀察所給出的導函數(shù)yf¢(x)的圖象的正負區(qū)間，再觀察所給的選項的增減區(qū)間，二者結合起來即可作出正確的選擇.本題還可以通過確定導函數(shù)yf¢(x)的圖象零點0、2對應原函數(shù)的極大或極小值點來判斷圖象.【解法1】由yf¢(x)的圖象可以清晰地看出，當x(0,2)時，yf¢(x)0，則f(x)為減函數(shù)，只有C項符合，故選C.【解法2】在導函數(shù)f¢(x)的圖象中，

36、零點0的左側函數(shù)值為正，右側為負，由可知原函數(shù)f(x)在x0時取得極大值.又零點2的左側為負，右側為正，由此可知原函數(shù)f(x)在x0時取得極小值，只有C適合，故選C.【點評】(1)導函數(shù)值的符號決定函數(shù)的單調性為“正增、負減”，導函數(shù)的零點確定原函數(shù)的極值點；(2)導函數(shù)的增減性與函數(shù)增減性之間沒有直接的關系，但它刻畫函數(shù)圖象上的點的切線斜率的變化趨勢.題型二利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性問題20090318若f(x)在某區(qū)間上可導，則由f¢(x)0(f¢(x)0)可推出f(x)為增（減）函數(shù)，但反之則不一定，如：函數(shù)f(x)x3在R上遞增，而f¢(x)0.f(x)在區(qū)

37、間D內單調遞增(減)的充要條件是f¢(x0)0(0)，且f¢(x)在(a，b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用導數(shù)求解函數(shù)單調性的主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的單調性函數(shù)求解參數(shù)問題；(3)求解與函數(shù)單調性相關的其它問題，如函數(shù)圖象的零點、不等式恒成立等問題.【例3】(08全國高考)已知函數(shù)f(x)x3ax2x1，aR()討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；()設函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)內是減函數(shù)，求a的取值范圍【分析】第（）小題先求導函數(shù)f¢(x)，由于含有參數(shù)a，根據(jù)判別式確定對a的分類標準，進而確定單調區(qū)間；第（）小題根據(jù)第（）小題

38、的結果，建立關于a的不等式組，由此可確定a的范圍.【解】()由f(x)x3ax2x1，求導得f¢(x)3x22ax1，當a23時，4(a23)0，f¢(x)0，f(x)在R上遞增，當a23，f¢(x)求得兩根為x，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上遞增，在區(qū)間(，)上遞減，在區(qū)間(，)上遞增.()由()得，且a23，解得a2.【點評】本題是利用導數(shù)求解函數(shù)單調性問題的兩類最典型的題型.由于函數(shù)解析式中含有字母參數(shù)a，因此解答第()小題時注意分類討論.第()小題的解答是根據(jù)第()小題的結果，利用集合集合間的關系建立不等式來求解的.第()小題還是利用函數(shù)在已知區(qū)間上減函數(shù)建

39、立不等式來求解.題型三求函數(shù)的極值問題極值點的導數(shù)一定為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，同時不可導的點可能是極值點.因此函數(shù)的極值點只能在導數(shù)為0的點或不可導的點產(chǎn)生.利用導數(shù)求函數(shù)的極值主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)解析式求極值；(2)根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)問題.解答時要注意準確應用利用導數(shù)求極值的原理求解.【例4】(08·四川)設x1和x2是函數(shù)f(x)x5ax3bx1的兩個極值點.()求a和b的值；()略.【分析】先求導函數(shù)f¢(x)，然后由x1和x2是f¢(x)0的兩個根建立關于a、b的方程組求解.【解】因為f¢(x)5x43ax2b，由x1和x2是

40、函數(shù)f(x)x5ax3bx1的兩個極值點，所以f¢(1)0，且f¢(2)0，即，解得a，b20.【點評】解答本題要明確極值點與導函數(shù)方程之間的關系：對于三次函數(shù)極值點的導數(shù)一定為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點.本題解得充分利用上述關系，通過建立方程組求得了a和b的值.【例5】(08陜西高考)已知函數(shù)f(x)(c0，且c1，kR）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是xc()求函數(shù)f(x)的另一個極值點；()求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求Mm1時k的取值范圍【分析】先求導函數(shù)f¢(x)，然后令f¢(c)0及一元二次方程根與系數(shù)的關系可解決第

41、（）小題；而解答第（）小題須對k與c進行分類討論進行解答.【解】()f¢(x)，由題意知f¢(c)0，即得c2k2cck0，即c1（*）c0，k0由f¢(0)0，得kx22xck0，由韋達定理知另一個極值點為x1()由（*）式得c1，當c1時，k0；當0c1時，k2()當k0時，f(x)在(，c)和(1，)內是減函數(shù)，在(c，1)內是增函數(shù)f(1)0，mf(c)0，由Mm1及k0，解得k.()當k2時，f(x)在(，c)和(1，)內是增函數(shù)，在(c，1)內是減函數(shù)Mf(1)0，m0，而Mm11恒成立綜上可知，所求的取值范圍為(，2)，)【點撥】第()小題解答的關鍵

42、是利用一元二次方程的韋達定理.第()小題的是與極值相關的解決恒成立問題，因此求函數(shù)在定義域上的極值是解答的關鍵.題型四求解函數(shù)的最值問題函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是比較所有極值點與端點的函數(shù)值所得結果，因此函數(shù)在閉區(qū)間a，b上的端點函數(shù)值一定不是極值，但它可能是函數(shù)的最值.同時，函數(shù)的極值不一定是函數(shù)的最值，最值也不一定是極值.另外求解函數(shù)的最值問題，還可以直接結合函數(shù)的單調性來求解.利用導數(shù)求解函數(shù)最值問題的主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的最大值；(2)根據(jù)函數(shù)在一個區(qū)間上的最值情況求解參數(shù)問題.【例6】(08浙江高考)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa).()略；（）求f(x)在區(qū)間0

43、，2上的最大值.【分析】首先求函數(shù)f¢(x)，再解方程f¢(x)0，得兩個根，而兩根含有參數(shù)，但不知兩根的大小，因此須分類討論討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間，進而確定f(x)在給定區(qū)間上的最大值.【解】()f¢(x)3x22ax令f¢(x)0，解得x10，x2當0，即a0時，f(x)在0，2上單調遞增，從而f(x)maxf(2)84a當2，時，即a3時，f(x)在0，2上單調遞減，從而f(x)maxf(0)0當02，即0a3，f(x)在0，上單調遞減，在，2上單調遞增，從而f(x)max，綜上所述，f(x)max.【點評】本題由于函數(shù)解析式中含有參數(shù)，因此方

44、程f¢(x)0的根含有參數(shù)，在確定函數(shù)單調區(qū)間時要注意對參數(shù)a的討論.本題的解答不是通過先確定函數(shù)在區(qū)間上的極值，再比較其與區(qū)間端點值的大小來求解的，而是利用函數(shù)單調性來求函數(shù)在各單調區(qū)間上的最值，再比較這些最值大小來求解的.題型五導數(shù)與數(shù)學建模的問題此類試題主要是利用函數(shù)、不等式與導數(shù)相結合設計實際應用問題，旨在考查考生在數(shù)學應用方面閱讀、理解陳述的材料，能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力，這是高考中的一個熱點.【例7】(08·湖北)水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似

45、函數(shù)關系式為V(t)，()該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i1ti表示第1月份（i1，2，12）,同一年內哪幾個月份是枯水期？()求一年內該水庫的最大蓄水量（取e2.7計算）.20090318【分析】根據(jù)解答分段函數(shù)“對號入座”的解題原則，分別利用兩段函數(shù)表達式建立不等式可求得第（）小題；而第（）小題則須先求函數(shù)V¢(t)，然后利用導數(shù)與函數(shù)最值關系求解.【解】()當0t10時，V(t)(t214t40)e5050，化簡得t214t400，解得t4或t10，又0t10，故0t4.當10t12時，V(t)4(t10)(3t41)5050，化簡得(t10)(3t41)0，解得1

46、0t，又10t12,故10t12.綜合得0t4,或10t12；故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.由V¢(t)e(tt4)e(t2)(t8)令V¢(t)0，解得t8(t2舍去).當t變化時，V¢(t)與V(t)的變化情況如下表：t(4，8)8(8，10)V¢(t)0V(t) 極大值由上表，V(t)在t8時取得最大值V(8)8e250108.32(億立方米).故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米.【點評】本題第()主要是根據(jù)題設條件給出的函數(shù)建立不等式，再解不等式，但要

47、注意分段求解.第()主要是通過求導取得極值，最后再求得最值的，但要注意要根據(jù)第()確定函數(shù)定義域.【例8】（2006年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：y=x2x+8 (0x120).已知甲、乙兩地相距100千米.（）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【分析】第（）小題直接根據(jù)所給函數(shù)的解析式進行計算；第（）小題須根據(jù)條件建立耗油量為h(x)關于行駛速度x的函數(shù)關系式，再利用導數(shù)的知識進行解答.【解】（I）當x=

48、40時，汽車從甲地到乙地行駛了=2.5小時，要耗沒(×403×40+8)×2.5=17.5（升）.答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升. （II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為h(x)升，依題意得h(x)=(x3x+8)·=x2+(0x120)，h¢(x)=(0x120)，令h¢(x)=0得x=80，當x(0,80)時，h¢(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h¢(x)0,h(x)是增函數(shù),當x=80時，h(x)取到極小值h(80)=

49、11.25,因為h(x)在(0,120上只有一個極值，所以它是最小值.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.【點評】解答類似于本題的問題時，可從給定的數(shù)量關系中選取一個恰當?shù)淖兞?，建立函?shù)模型，然后根據(jù)目標函數(shù)的結構特征(非常規(guī)函數(shù))，確定運用導數(shù)最值理論去解決問題.【專題訓練】一、選擇題1函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)有兩個極值點x1，x2，則x1·x2（ ）A9B9C1D12函數(shù)f(x)x3ax1在(，1)上為增函數(shù)，在(1，1)上為減函數(shù)，則f(1)為（ ）AB1CD13函數(shù)f(x)x33axa在(0，1)內有最小值，

50、則a的取值范圍為（ ）A0a1B0a1C1a1D0a4已知函數(shù)f(x)x2(axb)(a，bR)在x2時有極值，其圖象在點(1，(1)處的切線與直線3xy0平行，則函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為（ ）A(，0)B(0，2)C(2，) D(，)5函數(shù)yf(x)在定義域(，3)內可導，其圖像如圖所示.記yf(x)的導函數(shù)為yf¢(x)，則不等式f¢(x)0的解集為（ ）A，12，3)B1，C，1，2)D(，3)6設函數(shù)f(x)sin(x)1(0)的導數(shù)f¢(x)的最大值為3，則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是（ ）AxBxCxDx7函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)

51、，導函數(shù)f¢(x)在(a，b)內的圖象如下圖所示.則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點（ ）A1個B2個C3個D4個8函數(shù)f(x)(xR)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)f(logax)(0a1)的單調減區(qū)間是（ ）A0，B(，0)，)C，1D，8函數(shù)yxcosxsinx在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)（ ）A(，)B(，2)C(，)D(2，3)9下列圖象中，有一個是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的導函數(shù)f¢(x)的圖象，則f(1)等于（ ） ABCD或11已知對任意實數(shù)，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0時，f¢(x)0，g¢(x)0，則x0時（ ）Af¢(x)0，g¢(x)0Bf¢(x)0，g¢(x)0Cf¢(x)0，g¢(x)0Df¢(x)0，g¢(x)012若函數(shù)yf(x)在R上可導，且滿足不等式xf¢(x)f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，則下列不等式一定成立的是（ ）Aaf(b)bf(a)Baf(a)bf(b)Caf(a)bf(b)Daf(b)bf(a)二、填空題13右圖是一個三次多項式函數(shù)f(x)的導函數(shù)f¢(x)的圖象，則當x_時，函數(shù)取